ACHETE

car l'équation de la courbe A'B, rapportée dans le plan BOX’, même que celle de la courbe AB rapportée dans le

aux axes OZ et OX", est nécessairement la

plan ZOX, aux axes OZ et OX, puisqu'on peut imaginer non Seulement que la courbe AB a pris, par son Mouvement de rotation autour de OZ, la position AB, mais encore que le plan ZOX lui-même a tourné avec la courbe et coïncide avec lé plan ZOX’. Ainsi, les coordonnées & et 8 du point M’, dans le plan ZOX’, sont identiquement les mêmes en grandeur, que les Coordonnées æ et z du point M dans le plan ZOX; et comme, de plus, la coordonnée M'e — Od —B, est toujours comptée sur l’axe invariable OZ, si (æ,2) —0 est l'équation de la courbe dans lé plan #, 9(4,#) sera son équation dans le plan ZOX', c’est-à-dire que « sera toujours égal à æ pour toutes les valeurs de x; la différence de notation signifie donc seulement que la courbe AB est dans une position quelconque A'B.

Ceci posé, observons que les coordonnées, dans l’espace, du point quelconque M', sont

Ma—=2, Mbæy, M'e

et que, de plus, nous avons, en achevant le parallélipipède rectangle OM,

Ma Mb. Ma,

c’est-à-dire, en général,

Éliminant « entre cette équation et l'équation y(u,z)—0, nous obtiendrons une équation finale qui ne contiendra plus que les trois variables æ, y, z, et sera, par conséquent, l'équation de la surface courbe, engendrée par le mouyement de la courbe AB, autour de axe OZ.

De là résulte cette règle très-simple : Prenez l'axe de rotation pour axe des , et rapportez l'équation de la courbe génératrice aux coordonnées x, 2, ce qui vous donnera une équation

p (x, LV (7

Remplacez dans cette équation x par «, et tirez de ? (2,2) la valeur de u, que vous dubsiiriiere dans l'équa-

tion.… (p) LL Y = &,

Le résultat sera l'équation demandée de ta surface courbe, rapportée à trois plans coordonnés rectangulaires, ayant Pour origine origine de l'équation ÿ(x,1) — o,et les mêmes axes des x et des 7.

39: Proposons-nous, pour Premier exemple, de trouxer l'équation de la surface courbe engendrée par

la révolution d’uné ellipse autour de son grand axe. L’équation au centre de l’ellipse étant (voyez tome I, page 524)

Es y FE

dans laquelle a est le demi grand axe, et b le demi petit axe, prenons le grand axe 24 pour axe des z;

; plaçant le centre de l’ellipse à l’origine O (pl. XII, fig. 11), observons que dans le plan æz les abscisses On sont représentées par 7, et les coordonnées Om par x;

l'équation de l’ellipse dans le plan æz sera donc

Remplaçant æ par «, nous avons immédiatement

Mettant cette valeur dans (p), il vient b?

x? + y =b—#, ou.....(q) x? Ÿ x?

re Sr Fais

Telle est l'équation de l’ellipsoïde allongé.

Si, au lieu de faire tourner l’ellipse sur son grand axe 24, on le faisait tourner sur son petit 2b, on produirait l’ellipsoïde aplati; mais alors (PI. XII, fig. 7), l'équation de la courbe dans le plan æ& serait

car les abscisses Om sont représentées par des æ, et les

coordonnées On par des z. Remplaçant æ par «, on aurait

d'où

ce qui donnerait définitivement, pour l'équation de l’ellipsoïde aplati,

x? ÿ p FN Î He

Les deux ellipsoïdes deviennent des sphères lorsque a — 0:

4o. Lorsque la courbe génératrice est une parabole, son équation dans le plan æz est, en plaçant son sommet à l’origine O (PI. XIT, fig. 13),

Ti —px; ce qui donne æ —p#, et, par suite... (r),