CN

pour l'équation du paraboloïde de révolution.

41. La révolution de l’hyperbole engendre deux surfaces distinctes, suivant qu’on la fait tourner autour de son grand axe ou de son petit axe, dit l'axe imaginaire. Dans le premier cas (PI. XIL, fig. 9), les abscisses On de la courbe doivent être comptées sur l’axe OZ, et ses ordonnées Om sur l’axe OX. On a ainsi, pour son équation,

Faisant æ — «, il vient

DU ne pie

ce qui donne, en substituant dans (p)....(s),

équation de l’hyperboloïde à deux napes. L’hyperbole ayant deux branches isolées, cette surface se compose de deux napes qui se prolongent à l'infini en sens opposé, et sont séparées l’une de l’autre par un espace vide, comme le montre la figure. La discussion de l’équation (s) met au jour toutes ces circonstances, mais nous ne pouvons nous y arrêter.

Dans le second cas, où l’on fait tourner l’hyperbole autour de son axe imaginaire, il faut compter les abscisses Om (PI. XIT, fig. 12) sur l’axe OX, et les ordonnées On sur l’axe OZ; on a alors pour l’équation de la courbe, dans le plan æ7,

On entire, en faisant &t —«,

GÉO C'est l'équation de l’hyperboloïde à une seule nape, surface courbe qui s'étend indéfiniment dans le sens des x positifs et des x négatifs.

42. Quelle que soit la courbe plane génératrice, on parviendrait de la même manière à l’équation de la surface courbe engendrée par sa révolution autour de l'axe des z. Si on voulait faire tourner la courbe autour de l’axe des æ, il suffirait d’une transposition de lettres, ce qui est d’ailleurs insignifiant, parce qu’on obtiendrait toujours les mêmes équations, sauf que les z y seraient désignés par des +, et vice versà.

43. Cette méthode peut encore s'appliquer au cas où la génératrice serait une simple ligne droite donnée par son équation sur le plan æ#

z = AX + b.

Nous rappellerons que , dans cette équation, a désigne la tangente trigonométrique de l’angle de la droite avec l'axe des x ; et b, l’ordonnée du point où la droite coupe

l'axe des z (tome I, page 105).

Faisant 4 — «, nous obtiendrons

Cette valeur, mise dans (p), nous donnera pour l’é-

-quation de la surface engendrée

tp (:—0), ou bien, en posant 4 — tang », mp — (z— b)?.cot°7.

L’angle étant le complément de l'angle constant que la droite fait avec l’axe des zx, on voit que cette équation est identique avec celle du cône droit trouvée ci-dessus (n° 56). Si la droite était parallèle à l’axe des z, on aurait &— œ, b— æ, d’où