AZ

A désignant la distance de l’origine où la droite coupe l’axe des æ; l'équation deviendrait donc

ay —A?,

qui est celle d’un cylindre droit.

44. En prenant, comme nous l’avons fait jusqu'ici, l’origine des coordonnées de la courbe pour origine des coordonnées de la surface, nous avons obtenu les équations de cette dernière sous leur forme la plus simple, et il serait facile ensuite, par des transformations, de rapporter ces équations à d’autres systèmes de plans

GÉO coordonnés rectangulaires ou obliques. On pourrait également, en faisant tourner les courbes autour d’autres axes que leurs axes principaux, engendrer, avec les sections coniques, des surfaces très-différentes de celles que nous venons d'examiner; nous en donnerons un exemple.

Soit AMBNA (PI. XII, fig. 1) une ellipse assujettie tourner autour de la droite MN, située dans son plan d'une manière quelconque par rapport à son grand axe AB. Par le point O, où MN coupe le grand axe AB, menons OX perpendiculaire à MN, et rapportons l’équation de la courbe aux deux axes OZ et OX. Cette équation, par rapport au grand axe AB et au centre C, étant, en désignant les coordonnées par 2’, y ....(1),

nous avons, entre les coordonnées +’, y et les nouxelles coordonnées x et x, les relations connues

L'—X COSa— x sinx—q,

ÿ =æsinx—zcose,

dans lesquelles à désigne l'angle BOX, et q la distance OC de l’ancienne origine à la nouvelle, prise négativement, parce qu’elle est dans le sens des # négatives. (Voy. t. IX, p: 567.)

Substituant ces valeurs dans (1), nous obtiendrons pour l’équation de l’ellipse, dans le plan xx,

a (æsinz—z cose) +? (x cos ax Sin —q)? — a? b?,

Développant les puissances et posant, pour abréger,

A —Ù? cos ?4 + @° sin,

B — D? sin ?x a? cos ?«, C=— 2 (a — 0?) sinx. cos x, D — 2qb° cos x,

E — oqb° sin w, cetle équation deviendra A + (2C — D) 2 — a? D? — b? q — B: — Ez.

Changeant + en +, et résolvant par rapport à &, nous trouverons

Cz—D POSTE TO TS me 4 D — bp — Br Ez

Tom, iv,

Substituant cette valeur dans (p), nous obtiendrons

=—— Ci—D

rares re

A (Cz—D}) is 44 L

équation qui s’élèvera au quatrième degré par la dispa-

rition des radicaux. La forme de la surface courbe qu'elle représente est très-remarquable : elle offre un noyau vide autour de l’axe des x, lorsque q est plus grand que a, et une espèce d’entonnoir formé par la nape intérieure, lorsque q est plus petit que a.

Si l’axe de rotation OZ était perpendiculaire à l'axe principal AB de l’ellipse, l'équation deviendrait beaucoup plus simple, car on aurait alors «—0, d’où sin 4 —0, COS«—1, et, par suite,

AB, C—0, D = 2qb?, E — 0.

La surface serait donc

2 2 mtr=(itvle-%z]).

Lorsque a — b ou que l’ellipse est un cercle, l’équation se réduit à

D +ÿ= (a Me Var).

C’est celle du fore, surface courbe qu’on rencontre dans les tracés de la géométrie descriptive.

11 suffirait de faire 4 — 0, dans cette dernière, pour exprimer que l’axe de rotation est un diamètre, et l’on retrouverait l'équation de la sphère

CE net

45. DE L’ENTERSECTION DES Surraces. L’intersection de deux surfaces quelconques est toujours une ligne dont la nature est déterminée par les équations de ses projections sur deux des plans coordonnés. On obtient ces équations en opérant comme nous l’ayons fait cidessus pour l'intersection de deux plans, c’est-à-dire que l’équation de la projection sur le plan æz résulte de l'élimination de y entre les équations des deux surfaces; que celle de la projection sur le plan y# résulte de l'élimination de æ, et qu’enfin l'équation de la projection sur le plan æy résulte de l'élimination de x entre les mêmes équations.

Lorsqu'une des surfaces est un plan parallèle à l’un des plans coordonnés, la projection de l'intersection sur ce plan est une ligne parfaitement égale et semblable à l'intersection, elle suit donc pour Ja faire connaitre,

210 GÉO Si, par exemple, la surface courbe était‘cellé de lellipsoide

ttes,

et que le plan coupant fût parallèle au plan des xy, son équation étant de la forme zx — h, l'équation de la

projection sur le plan æy serait

C’est l'équation d’un cerele qui a pour rayon

LR? L?

0 CEE ) ;

d’où il suit que toutes les sections de l’ellipsoïde, parallèles au plan des æy, sont des.cercles, ce qui est d’ailleurs une conséquence immédiate de:la génération de cette surface. Si le plan coupant était parallèle au plan æ7, Son équation serait de la forme y—h, et l’équation de la projection sur ce plan æz deviendrait

DANS k° FT Ur 0 b a b

laquelle appartient äune ellipse- dont les demi-axes, qu'on obtient en faisant successivement 3— 0, æ— 0,

sont ras ep FE Ji EVER, VER.

Toutes les sections parallèles au plan des æz sont donc des ellipses, et, de plus, ces ellipses sont semblables, car, quelle que soit la valeur de », le rapport des deux axes est le même pour toutes les ellipses, sa-

ST , FOIS voir: — Dans le cas d’un plan sécant parallèle à l'un

b des plans coordonnés, il est visible que les deux autres projections sont des lignes droites.

Lorsque le plan sécant n’est parallèle à aucun des plans coordonnés, aucune des trois projections n’est identique avec la courbe d’intersection ; mais on peut, en effectuant une transformation de coordonnées, choisir le plan sécant lui-même pour nouveau plan des æy, et alors il suffit de faire 3 — 0 dans l'équation de la surface pour avoir l'équation de l'intersection considérée dans le plan sécant. Nous allons indiquer les moyens d'obtenir directement celte équation.