Soient

QG). f(&; y: 4) =,

(2). AE By+Cz+D—o,

l'équation de là surface courbe, et

celle du plan sécant, par rapport aux trois axes rectangulaires OX, OY, OZ (PL XII, fig. »). Représentons par la courbe AMB l'intersection de ces deux surfaces, et par la droite OX la trace du plan sécant sur le plan æy menons, dans ce plan sécant, la droite OX" perpendiculaire à O’X', et. proposons-nous de rapporter à ces deux axes la courbe d’intersection AMB.

D'un point quelconque M de la section, abaissons MP perpendiculaire sur O'X', et MQ perpendiculaire sur le plan æy; joignons P. et Q par la droite PQ, et menons QR perpendiculaire sur OX. Il est visible que OR, QR,

QM sont les coordonnées dans l’espace du point M, par rapport aux premiers axes, et OP, PM les coordonnées de ce même point dans le plan sécant, par rapport aux axes O’X’, O'Y’. Nous pouvons done poser, en distin- | guant par un accent les dernières coordonnées des pre- |

OR—%;.QR—y; MQ—%, O'P—x, PM—Y.

‘ornc mières , {

Or, PQ est perpendiculaire sur OX, el par conséquent l’angle MPQ, que nous désignerons par », mesure inclinaison du plan sécant sur le plan æy; la grandeur de cet angle est donc donnée par lexpression (n°32) ....(u)

COS

VAE EC de plus, l’équation de la trace OX (n° 19) étant Ax “ie By nn D—o0,

on a pour l'angle XO'X' —», de celle trace avec l'axe O’X, la relation ....(v)

A tango = — Be

Ceci posé, le triangle rectangle PQM donne

en désignant généralement PQ par y.

$i nous considérons maintenant le point Q, projection du point M, comme rapporté successivement aux deux systèmes de coordonnées rectangulaires ;

z—OR, y —QR, x =0P, y—=PQ,

GÉO dont les premières ont pour.axes OX, OY,-et les secondes O‘X', O‘Y’, nous aurons entre ces deux systèmes, en désignant par m la distance des deux origines O, 0’, les relations (voy. TRANSFORMATION DES , COORDONNÉES ; tome IT)

x—x cos? y sin + m, y —=X Sin? —Yy COS y.

y est pris ici avec le signe —, parce que, dans notre figure, les y’ positifs se projettent sur les y négatifs. Substituant dans ces formules la valeur de ÿ —y cosw, nous obtiendrons les relations suivantes entre les coordonnées æ, y, z et æ', y ....(æ)

Z—x cos? y coOSw.sinv—<+m, y—X Sins —Y COSw.COSY,

Z2—y sin.

Ces formules, substituées dans l'équation f(æ, y, z)—=0, donneront évidemment l'équation f(x’, y) —0 de l’intersection rapportée à deux axes rectangulaires pris dans son plan.

Si le plan sécant était perpendiculaire au plan æy, il faudrait faire w — 90°, et les formules (x) deviendraient simplement (y)

Œ—T cosy + M, y= x sin,

Ur

Dans tous les cas, on poseraitm=—0 , si le plan :sécant passait par l’origine O.

47. Appliquons ces formules à quelques exemples particuliers. L’équation du paraboloïde de révolution élant (n° 40)

Der, nous obtiendrons l'équation de sa section par un plan quelconque, en donnant à æ, y, z les valeurs (æ) ; mais nous parviendrons à des expressions plus simples en prenant l'axe des æ pour axe de révolution, ce qui,

, tes a . rEr

d'après la remarque du n° 42, change l'équation précédente en