Cherchons encore la nature des sections faites

par un plan dans Ja surface d’un cylindre droit, dont l'équation est

ÿ hr A,

en prenant l’axe des æ pour axe de révolution. Substituant dans cette équation les valeurs de y et de z données par les formules (æ), nous obtiendrons

y? sin © — (4 siny— y cos w cosy)? = A°?.

Développant le carré, et posant

P — cos? . cos? +- sin *w, Q= sin°o,

R=siny.cosw. cos, l'équation de la section prendra la forme Py? + Qz°? — Ray — A;

ce qui nous apprend que, pour toutes les valeurs de o autres que zéro, les sections sont des courbes fermées, coupant les axes aux points

Dion = DES ÿ—=—|

a'=0, ÿ =+| GE

us

elles sont des cercles, lorsque = »— 90°, et des ellipses dans tous les autres cas. Quant aux sections correspondantes à w — 0, ou parallèles au plan æy, leurs projections sur ce plan æy étant déterminées par les deux équations

zh; y Lx — A, on voit qu’elles se réduisent à deux lignes droites y=+VA RE, y=Vax — h,

parallèles au plan æ£.

49. Les considérations précédentes peuvent s'étendre aux intersections de deux surfaces courbes, toutes les fois que ces intersections sont des courbes planes; mais, lorsque les sections sont des courbes dites à double courbure, on ne peut les considérer que dans l’espace à trois dimensions, ce qui exige toujours le concours des équations de deux projections.

Quand on connait les équations de deux projections d’une courbe quelconque située dans l’espace, on peut évidemment l’envisager, quelle que soit sa nature et

celles des surfaces dont elle est l'intersection, comme la section commune des deux surfaces cylindriques qui ont pour directrices les projections, et pour génératrices des droites parallèles aux axes qui ne sont pas dans les plans de ces projections; de cette manitre, toutes les courbes sont ramenées à un mode unique de génération, et les intersections de deux surfaces courbes quelconques aux intersections de deux surfaces eylindriques. (Voy. ProsrcrTioN.)

.5o. Lathéorie des surfaces courbes présente, comme celle des lignes, deux problèmes fondamentaux qu’on peut énoncer en ces termes :

I. Trouver l'équation d'une surface ; sa description et ses propriétés caractéristiques étant données.

IL. Étant donnée l'équation d'une surface, la décrire et trouver ses principales propriétés.

Les élémens de la solution du premier problème viennent d’être exposés ; il nous reste à présenter ceux du second.

51. Une équation quelconque à trois variables f(æ, y; 3) — 0, dans laquelle +, y, z représentent des droites respectivement parallèles à trois axes coordonnés, est une équation doublement indéterminée qu’il est toujours possible de satisfaire en donnant des valeurs arbitraires à deux de ses variables. Si nous faisons, par exemple, æ—m, y—n, et qu’en résolvant l'équation f(&sm,n) — 0, nous obtenions z—p, les trois coordonnées

TM, Y—=N s À —=P

appartiendront à un point de l’espace qui se trouvera complètement fixé et ne pourra plus être confondu avec aucun autre. Si nous obtenons de même

zx — pen faisant æ—Mm , yY—",

DR bol ny:

CICNS SEC ME RCLCS

tousles points (m,n, p), (m',n', p'), (m',n",p"),cte., seront déterminés ; de sorte qu’en les supposant infiniment proches les uns des autres, leur réunion formera une surface.

Or, tous les points de cette surface ayant des coordonnées liées par la même relation f(æ; y; 7) —0; c’est cette relation qui caractérise la surface, la distingue de toutes les autres qu’on peut imaginer dans l’espace, et constitue en un mot ce qu'on nomme son équation. Ilrésulte de là qu’une équation à trois variables représente toujours une certaine surface dont la nature et les propriétés dépendent évidemment du degré de l’équation et de la grandeur des constantes qu'elle renferme. Lorsque l'équation est du premier

degré, la surface est toujours plane, comme nous l'avons reconnu (n° 20); dans tous les autres cas, la surface est courbe et se classe d’après le degré de son équation. Ainsi, toutes les surfaces courbes dont les équations sont du second degré composent la classe des surfaces du second ordre, celles dont les équations sont du troisième degré forment la classe des surfaces du troisième ordre, et ainsi de suite.

52. Une équation qui a pour coefliciens des nombres déterminés en grandeur et en signe ne peut nécessairement représenter qu'une seule et unique surface; par exemple, @ et b étant des nombres donnés essentiellement positifs, l'équation

rimes pret

conyient exclusivement à l’ellipsoïde aplati derévolution, tandis que l'équation

représente exclusivement l’hyperboloïde de révolution à une seule nape (n° 59 et 41). Mais si l’on considère les coefliciens comme pouvant être positifs, négatifs ou nuls, une même équation devient susceptible de représenter plusieurs surfaces, et l’on concoit aisément que toutes les surfaces d’un même ordre ou d’un même degré sont comprises dans l'équation générale de ce degré. Ce n’est donc qu’en partant de la forme la plus générale d’une équation à trois variables d’un degré quelconque, qu’il est possible de reconnaitre les diverses surfaces correspondantes aux valeurs particulières des coefliciens. Observons, en outre, qu'une même surface peut être représentée par plusieurs équations très-différentes les unes des autres, quoique du même degré; car, en rapportant, par exemple, l’ellipsoïde à d’autres axes coordonnés rectangulaires ou obliques, nous obtiendrons des équations beaucoup moins simples que la précédente, et qui, cependant, ne seront que les représentations de la même surface. Il résulte de ces considérations que, lorsqu'une équation est donnée, il faut d’abord la ramener à sa forme la plus simple par des transformations convenables des coordonnées; car il est toujours plus facile alors de reconnaître la nature et les propriétés des surfaces qu’elle exprime. Cette réduction d’une équation à sa forme la plus simple exige quelques notions préliminaires.

55. On nomme cordes toutes les droites menées d’un point d’une surface à ses autres points.

Lorsqu'il existe dans l’espace un point tel que toutes les cordes menées par ce point y sont divisées cha-

cune en parties égales, il prend le nom de centre de la surface.

54. Si, dans une surface quelconque, on mène une suite de cordes parallèles entre elles et qu’on les partage en deux parties égales, la surface qui passera par tous ces milieux sera ce qu’on nomme une surface diamétrale de la première. Le degré de cette surface dia métrale dépendra du nombre des points d’intersection des cordes avec la surface donnée. Si le degré de cette dernière est n, chaque droite indéfinie la rencontrera dans n points différens, réels ou imaginaires, qui, combinés deux à deux, fourniront sur cette même droite

n (n—1 ee ; n(n—1 ( 1) Cordes différentes ct par conséquent, ( ii)

points différens pour la surface diamétrale. Donc, cette : : ; n (n—1 dernière pouvant être rencontrée en nn) par

une même droite, est du degré — (roy. SURFACE);

n(n—1 M L s LG) se réduisant à 1 lorsque n —2, on voit que

les surfaces diamétrales des surfaces du second ordre sont des plans.

55. Lorsque trois plans diamétraux sont disposés de telle manière que chacun d'eux coupe en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à l'intersection des deux autres, ils sont dits conjugués entre eux.

L’intersection des deux plans conjugués se nomme un diamètre de la surface.

56. Un plan diamétral qui se trouve en même temps perpendiculaire aux cordes qu’il coupe, recoit le nom de plan principal.

L'intersection de deux plans principaux est un diamètre principal, ou un are de la surface courbe.

57. Examinons maintenant comment la considération des centres et des plans diamétraux peut servir à ramener une équation donnée à sa forme la plus simple.

Dans toutes les surfaces courbes douées d’un centre, si l’on transporte l’origine des coordonnées à ce centre, l'équation transformée ne contiendra plus que les termes dans lesquels la somme des exposans des variables est de même parité que le degré de l’équation. En effet, AA‘ étant une corde quelconque dont nous supposerons l'extrémité À au-dessus du plan æy, ou du côté des z positifs, il est visible que l'extrémité A' est située au dessous de ce plan d’une manière symétrique; car AA’ étant coupée en deux parties égales par l’origine, les coordonnées æ, y, z du point À sont égales et de signes contraires aux coordonnées du point A’. Ainsi, lorsque l'équation de la surface est satisfaite par un système de valeurs æ’, y’. 2’, elle doit l'être également par le système de signes 0pposés =®',—7—% ; d'où il résulte que

214 GÉO cette équation doit demeurer identiquement la même quand on change à la fois les signes des trois variables Po Qlo ce

Si l'équation est de degré pair, elle ne pourra donc renfermer que des termes dont le degré soit pair; et si elle est de degré impair, tous ses termes devront être aussi de degré impair ; de sorte qu’elle ne pourra avoir

de terme absolu. Par exemple, l'équation

Dxy + Exz + Fry +G—o,

qui ne change pas en remplaçant æ, y, z par — x, US Eo représente une surface dont le centre est à l'origine des coordonnées actuelles, et il en est de même

de l’équation Aa + Bay + Cæryz + Dz+EyFr—0.

Toute équation proposée qui ne remplit pas ces conditions n’est donc pas rapportée au centre de la surface comme origine , ou ne peut appartenir qu’à une surface dépourvue de centre.

58. Pour reconnaitre si une surface dont l'équation est rapportée à des axes quelconques admet un centre, il faut transporter ces axes parallélement à eux-mêmes en un point indéterminée z, B,y, ce qui exige simplement de substituer, dans l'équation f(æ, y, z) = 0, les

valeurs

T2 a, y y, 33 bc

(voy. Traxsronmariox). On parvient ainsi à une équation f(x, y,z) —o, dont on ne conserve que les termes dans lesquels la somme des exposans des variables est de même parité que le degré de l'équation. Les autres termes, égalés à zéro, fournissent les équations de condition nécessaires à la détermination des coordonnées du centre &, 8, y. Si ces coordonnées admettent des valeurs réelles et finies, la surface proposée est doute d’un centre; dans le cas contraire, elle en est dépourvue.

59. Les équations des surfaces qui admettent des plans diamétraux deviennent plus simples, lorsqu'on choisit l’un de ces plans pour plan coordonné. Si, par exemple, la surface f(æ, y, z) — 0 est dans ce cas, et qu'après avoir pris les axes des + et des y dans un plan diamétral, on prenne l’axe des z parallèle aux cordes coupées en deux parties égales par ce plan, l'équation nouvelle f (æ,y, z) devra donner évidemment deux valeurs de z égales et de signes contraires pour chaque système de valeurs t—m, y—n; ainsi cette équation ne devra contenir que des puissances paires de Z; d'où l’on peut conclure, réciproquement, que lorsqu'une équation ne renferme que des puissances paires de z, le plan æy est diamétral et coupe en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l’axe des 3. Ilen

GÉO serait de même pour chacun des plans æ3, yz, si l’équation ne renfermait que des puissances paires de y ou de æ. Une équation rapportée à trois plans diamétraux conjugués (55) comme plans coordonnés, ne peut donc contenir que des puissances paires de chacune des trois variables. Il faut observer que, dans les surfaces douces d’un centre, tous les plans diamétraux, quand il en existe, passent par le centre ; de sorte qu’en prenant un plan diamétral pour plan des æy, et le centre pour origine, la nouvelle équation ne contient plus que des termes doni le degré est de même parité que celui de l'équation et qui ne renferment, en outre, que des puissances paires de z. Lorsqu'il peut y avoir trois plans diamétraux conjugués, l'équation se simplifie encore, car elle doit toujours satisfaire à la première condition et ne contenir que les puissances paires des trois variables. Appliquons ces considérations aux surfaces du second ordre, comprises toutes dans l'équation

générale du second degré à trois variables... (x).

A? + A'y + A2 + Bay + B'xz + B'yz + Cx+Cy+C'z+D