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tang 2 « —

On parvient donc définitivement à une équation de la forme (9)

Pr? + P'y + P'2 — Qu — Q'y— Q'z+E—=0,

laquelle renferme encore toutes les surfaces du second ordre.

G2.- Les coeficiens P, P', P

avoir des valeurs numériques et des si

gnes quelconques,

elc., pouvant

l'équation (à) représente diverses espèces de surfaces qu'il s’agit maintenant de classer. Examinons d'abord si elles ont toutes un centre, effet (n° 58),

et posons, pour cet

D A bre

Ces valeurs, substitutes dans (9), donnent, en retran-

chant les accens,

Pa P'y Pa + (9aP —Q)x + (20P—Q')y — (2cP°" —Q") + PAPE P'e LE =

d’où résultent les conditions

24P—Q 0, 20P; —Qi—i0:,.2cP" — Q— 0:

Or, tant que P, P', Pont des valeurs finies, on peut satisfaire à ces conditions parides valeurs finies de ga,

b,c; ainsi l'équation (9); ramenée à la forme... (e » 7 ,

Pa PA PER

comprend toutes les surfaces du second ordre douées d’un centre.

63. Lorsque dans l'équation (9) un seul des coelliciens des carrés, P par exemple, est nul, et que le coefficient correspondant Q de la première puissance n'est pas zéro, on ne peut plus faire disparaître le terme Qz, puisque la condition 2aP — Q — o entraïinerait une valeur infinie pour &; mais on peut, en place de ce terme. faire évanouir le terme absolu, en posant les trois équations de conditions

ahP— Q —0 , 200 — Q —0}

CPL + PE LE 0;

ce qui réduit l’équation (9) à la forme... (u) Py + P'e = Qu,

qui comprend toutes les surfaces du second ordre dépourvues de centre. k

64. Si l’on avait à la fois P — 0, Q—0, l'équation générale (3) se réduirait d’elle-même à la forme... (v)

Py Pa —Qy—Qr+E—o.

Celle-ci comprend un genre particulier de surfaces appartenant à la première classe; car on peut la ramener à la forme

Py PH,

qui se déduit de (:) en posant P — 0.

65. Enfin, si l’on avait en même temps P= 0, P—0, l'équation (9) réduite à

Pa — Qr—Qy—Qr+E—o,

pourrait se ramener, comme nous le verrons plusloin, à la forme

qui n’est qu'un cas particulier de (y).

Toutes les surfaces du second ordre sont donc comprises dans deux classes représentées par les équations

Pat + Py +P'z —=H, P'y +P'z —Qx,

dont les coordonnées sont rectangulaires. Nous allons les examiner chacune en particulier.

66. Des surfaces douées d'un centre. L'équation générale de ces surfaces, x

Pa? + Py + PH,

ne renfermant que les puissances paires des trois variables æ, y, z, se trouve rapportée à trois plans principaux conjugués entre eux (n° 59); d’où nous voyons que cette première classe des surfaces du second degré admet généralement un tel système de plans diamétraux. Comme elles ne peuvent différer les unes des autres que.par les signes des coefliciens P, P', P', H, nous n’ayops à considérer que trois cas essentiellement distincts, savoir :‘

QG} Pa + Py + Pa =H, (2)... Pr —Py +P2—H, (3)... Pa — Py—P# =;

car il est évident que toutes Les autres combinaisons de

signes se ramèënent à celles-ci par un changement général, à l'exception de la combinaison

Pa? Py PH,

qui ne peut représenter une surface réelle.

I" cas. Trois carrés positifs. Les coefficiens P, P', P’, représentant maintenant des nombres essentiellement positifs, l'équation

(1)... Pa? EP PH

exprime exclusivement un genre particulier de surfaces courbes dont il s’agit de trouver la nature. Pour cet effet, déterminons les points où la surface rencontre les axes coordonnés, points qu’on nomme généralement les sommets de la surface. Faisant successivement y =0, %—=0, tiendrons

BTS = 0 nous ob-

Yy—=0;

z pe

Il y a donc six sommets réels situés deux à deux sur chaque axe à égale distance de l’origine. Construisant

Les droites Ven 7 E PA | LAS

et Mprenant OA == 10 ME MOBEIO0BE— D; OC—OC'— c (PI. 15, fig. 3); les points A, A’, B, B', C, GC’ seront les six sommets de la surface.

Chacune des droites 24, 2b, 2c étant l'intersection de

deux plans principaux se nomme un axe ou un diamètre principal de la surface. On peut introduire ces axes dans l'équation (1), en observant que

H 10 EN Ps Ph Pr |

et elle prend alors la forme symétrique