III: cas. Un seul carré positif. Opérant sur l’équation

(3)... Pa? — P'y —P'>—=H,

comme nous venons de le faire sur les précédentes, nous trouverons, pour les distances où la surface rencontre les axes coordonnés, les valeurs

Il n’y a donc que deux sommets réels À et A' (PI. XIII, fig. 5), et les quatre autres sont imaginaires; mais on

n’en nomme pas moins les distances OA=a, 0OB—=b, OC—c,

les demi-aæes de la surface ; le premier seul rencontre la surface, et, pour cette raison, est dit l'axe réel. L’équation (2) prend la forme

ZM

2 > PA mn — — ] c?

bd

re

par l'introduction de ces axes.

Toutes les sections parallèles aux plans coordonnés sont données par les trois systèmes d’équations

TN Lite: x? x? 1/0 rh aa Tr 2 2 h?

= Eh; ra AR

d’où l’on voit que : 1° les sections parallèles aux plansæx sont toutes des hyperboles semblabies, et celle de ce

GÉO plan même est l’hyperbole PAQ, qui a pour demi-axes act b; 2° les sections parallèles au plan des æy sont pareillement des hyperboles semblables; celle de ce plan lui-même est l’hyperbole MAN, dont les demiaxes sont & et c; 5° enfin, les sections parallèles au plan y# sont toutes des ellipses semblables. Les demi-

axes de ces dernieres, donnés par les expressions

Tee =

nous montrent qu’elles se réduisent à des points pour les valeurs k—a, h——a; qu’elles sont imaginaires pour toutes les valeurs de k comprises entre k— o et h—+a; mais, qu'à partir de À— + a, leurs dimensions croissent indéfiniment avec la grandeur de k. Ilen résulte que la surface nommée l’hyperboloïde à deux napes se compose de deux napes indéfinies séparées l'une de l’autre par un intervalle; elle devient de révolution autour de l’axe OX lorsque les deux axes imaginaires sont égaux.

67. Sans entrer dans de plus grands détails, nous voyons que la première classe des surfaces du second degré comprend trois genres principaux , les ellipsoïdes, les hyperboloïdes à une nape et les hyperboloïdes à deux napes; mais nous devons encore examiner quelques variétés résultant de la valeur zéro que peuvent avoir un ou plusieurs des coefliciens de l’équation générale de cette première classe.

Soit d’abord P —0, ce qui réduit les trois équations (1), (2), (3) à la forme

(1°)... Py PH, (2°)... Py —P'e =H, (3)... Pubs H:

La dernière (3°) ne pouvant représenter aucune surface réelle, puisque quelque valeur qu’on prenne pour y on obtient des valeurs imaginaires pour z et vice versd, nous n'avons à nous occuper que des deux premières. Or, la variable æ ne se trouvant ni dans lune ni dans l’autre, clles représentent évidemment des cylindres dont la base est sur le plan yz; l'équation (1°) appartient à un cylindre elliptique (fig. 6), et l'équation (2°) à un cylindre hyper bolique (fig. 7). Ces deux surfaces ont une infinité de centres tous situés sur l’axe OX qu’on nomme alors l’axe du cylindre.

Les hypothèses isolées P— 0, ou P°— 0 conduisent également à des cylindres dont les bases, au lieu d’être sur le plan yz, sont sur le plan æy, ou sur le plan æz.

Si l’on avait à la fois P —0, P'— 0, les trois équations principales deviendraient

PH, Pa=-H, PH,

GEO dont la première n’est qu'un système de deux plans

parallèles au plan æz :

ne.

(voy. n° 20), et dont les deux autres expriment des plans imaginaires. Les hypothèses P—0, P'—0, ou P'—0o, P'—0 conduisent aux mêmes résultats.