L’équation (v) Pi + P'e — Q'y— Q'r+E

que nous avons signalée (n° 64) comme un cas particulier de l’équation générale de toutes les surfaces du second ordre, est celle d’un cylindre dont l’axe parallèle à l’axe des æ ne passe pas par l’origine. On le reconnaît sans difficulté en transportant cette origine sur un autre point du plan y, tout en conservant des axes rectangulaires parallèles aux anciens, ce qui donne les relations suivantes entre les nouvelles coordonnées et

les anciennes, Y=Y Tes 2=% +,

« et B désignant les coordonnées de la nouvelle origine par rapport à l’ancienne. Substituant ces valeurs dans (v), on obtient

Py Pet (neP—Q)y + (PQ) | HePHBP—QuQEHE ÎT°

équation qui se réduit à EPP — H, en faisant

H= Qa+ Q—E—éP= pp",

après avoir donné aux quantités # et 8 les valeurs

ap? FD

el

70. Des surfaces dépourvues de centre. Les combinaisons des signes des coefficiens, dans l'équation générale de ces surfaces, ne présentent que deux cas essentiellement différens :

(1)... P'y Pr = Qx, (2)... Py— P' 2? Qx.

Le premier se rapporte aux surfaces nommées paraboloëdes elliptiques, et le second aux surfaces nommées paraboloïdes hyperboliques. L’inspection des puissances des variables montre que des trois plans coordonnés auxquels sont rapportées ces équations, deux seulement, les plans æy et æx, sont diamétraux et principaux.

I GENRE. PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE. Cette surface ne coupe les axes coordonnés qu’à l’origine; car, en donnant la valeur zéro à deux des variables, on obtient cette même valeur pour l’autre. L’axe OX (PI. XIII, fig. 8), intersection des plans principaux æy, æz, est l’axe unique et indéfini du paraboloïde.

La section de la surface par le plan æy ayant pour

équation

est une parabole AOÂ que nous représenterons par y — px, en posant £ — p. De même, la section par

le planæz, dont les équations sont

y—=0 et = pe)

est une parabole BOB’ quenous désignerons parz?=p'x,

en posant 5 — p- Introduisant les paramètres p et p°

dans l'équation (1), elle deviendra

AE (SSD 5 +

On reconnait immédiatement que toutes les sections parallèles aux plans æy ét æx sont aussi des paraboles.

Les sections parallèles au plan y sont données par les équations simultanées

æ=h, Fe LT —=h;

he

d'où Jon voit que ce sont toujours des ellipses sem-

220 GÉO blables ; car le rapport de leurs demi-axes ph et p'h est une quantité constante Fr Ces ellipses croissent indé-

finiment avec » du côté des + positifs; mais elles de-

- Yiennent imaginaires pour toute valeur négative de h. Ainsi, le paraboloïde elliptique s'étend indéfiniment du côté des æpositifs, mais se termine à l’origine et n’a aucun point du côté des æ négatifs.

Lorsque les deux paramètres p et p'sont égaux, les cllipses deviennent des cercles, et le paraboloïde est de révolution autour de son axe OX (n° 4o).

En coupant la surface par un plan quelconque, on reconnait que les sections sont des ellipses ou des paraboles, suivant l’inclinaison du plan; circonstance qui motive le nom donné à cette surface.

IT° GENRE. PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE, Cette surface, représentée par l'équation

(2)... Py = Pr — Q>,

ne coupe encore les axes coordonnés qu’à l’origine, et n'a qu'un seul-axe indéfini OX, intersection des plans principaux æy, æ7, auxquels se trouve rapportée l’équation actuelle. Les sections faites par ces plans dans Ja surface, sont

5 À =— pe.

La première est la parabole AOA' (PI. XIIL, fig. 9), qui tourne sa concavité vers les æ positifs ; et la seconde, la parabole BOB qui, ayant un paramètre négatif, tourne sa concavité vers les æ négatifs. Introduisant les paramètres dans l'équation (2), elle prend la forme

2 2 : 0 z (GE ES le, ig Les sections parallèles au plan y, données par les équations

sont des hyperboles semblables qui croissent indéfiniment avec la grandeur de k; mais dont la position change suivant qu’on prend k positif ou négatif. Lorsque k est positif, l’axe réel DD’ de l’hyperbole est horizontal, et son axe imaginaire O'C est vertical, tandis que le contraire a lieu lorsque X est négatif ; l'axe réel EE’ est vertical, et l’axe imaginaire cd, horizontal. Ces circonstances , indiquées par l'équation précédente, montrent que la surface est composée d’une seule nape

GÉO continue indéfinie dans le sens des æ positifs comme dans celui des æ négatifs, mais dont la courbure présente une forme opposée dans ces deux sens. On en doit conclure que le paraboloïde hyperbolique ne peut jamais être de révolution.

Dans le cas de k — 0, la section, qui est celle du

plan y lui-même, se réduit à deux lignes droites,

asymptotes communes à toutes les hyperboles dont nous venons de parler, projetées sur le plan yz.

La combinaison de l'équation du plan avec l’équation (2°) fait connaître que toutes les sections planes de ce paraboloïde sont des hyperboles on des paraboles, et que ce dernier cas arrive seulement lorsque le plan sé- Cant est parallèle à l’axe OX.

71. Les variétés des surfaces de la seconde classe sont comprises dans les deux équations

PyQT; p’z? == = Qx,

qu’on obtient en faisant P'— 0 dans l'équation (1), et P'— o dans l'équation (2). La première exprime un cylindre parabolique dont la base est sur le plan æy, et la seconde un cylindre parabolique dont la base est sur le plan y, mais qui s'étend du côté des æ négatifs, car ce n’est qu’en prenant æ avec le signe — qu’on peut obtenir des valeurs réelles pour x.