AO
ou
Bt (r—f},
développant le carré et dégageant r, il vient
k? Are 2f 2
formule peu commode pour le calcul logarithmique,
PE
et qu'on ne doit employer que lorsque les quantités k et f sont exprimées par un petit nombre de chiffres. Ici
nous aurions
(15,5925)? Æ (5,862) TEE C6 9
Pour obtenir maintenant la grandeur de l’arc développé, il faut observer que si la grandeur d'un arc en parties du rayon, pris pour unité, est exprimée par le
nombre #, et que sa grandeur angulaire soit exprimé® par le nombre »° de secondes sexagésimales , il existe nécessairement entre ces deux nombres » et m' le même rapport qu'entre les nombres + et 648000, dont le premier représente la demi-circonférence du cercle au rayon — 1, et le second la valeur angulaire, ou le nombre des secondes d’une demi-circonférence ; c’està dire qu’on a
m—Mm 648000"
Si le rayon du cercle, au lieu d’être l'unité, était un nombre quelconque r, on aurait
m'rTr
car les ares d’une même grandeur angulaire, dans des cercles différens, sont proportionnels à leurs rayons. Appliquant ces considérations à l’arc AD, nous aurons, en-désignant par &’ le nombre des secondes contenues dans la valeur angulaire «,
a RTE £
= a Te ei
ou bien, en substituant les nombres de la question qui nous occupe,
a —100101 x 33,408 X one 107,295, l'arc entier est ainsi de 52°,446; et, en comparant avec la valeur primitive 52",519, on voit que la contraction totale est — 0",075; ce qui ne donne, à très-peu près, qu'un millimètre de contraction moyenne pour chaque joint.
Le calcul de la valeur.de l’arc développé est trop prolixe pour ne pas employer les logarithmes, et il faut
donner à l’expression précédente la forme
(5)... loga—— 6 + 0,6855749 + log «’ +-dogr,
à cause de
log
5,415926536\ ( Gns = — 6-1 0,68557/48668.
L'opération se trouve réduite, de cette maniere, à une addition.
Une question plus importante, sous le rapport pratique, est celle de caleuler les effets de tassement que doivent éprouver les arches dans diverses hypothèses de contraction de joints. Supposons, par exemple, qu'une arche projetée, pour avoir sur les cintres une corde de 30 mètres et un arc total de douelle de 51",12, soitcomposée de 3g voussoirs offrant 80 joints, dont
on ait évalué la contraction moyenne à 0",0015, de sorte qu'après le décintrement l’are total contracté ne soit plus que de
I s’agit de trouver la valeur angulaire de ce nouvel arc et son rayon; la corde est toujours la même avant et après la contraction.
M. de Prony donne, pour cet objet, la formule nouvelle et très-élégante que nous allons rapporter.
Soit toujours (PI. XIV, fig. 2) 2a l’arc ADB exprimé en unités linéaires, et 2k la grandeur de sa corde AB en
mêmes unités. Désignons par
x la valeur angulaire du demi-arc AD exprimée en degrés et fractions décimales de degré ; e le nombre de degrés contenus dans l’arc égal au
rayon, savoir : 57°, 2997700;
on a....(4)
