TR RATE

laquelle se réduit en effet à l'identité

Ces exemples suffisent pour indiquer la marche à suivre dans tous les cas.

Le rapport de la masse d’un corps à son volume est ce qu’on nomme sa densité (voy. Densité, tome I et ARÉOMÉTRIE dans ce vol.). On peut encore, dans les questions de mécanique, substituer le produit du volume par la densité à la masse et réciproquement.

MOMENT. (Statique.) On considère, en mécanique, diverses espèces de momens (voy. ce mot, tom. II), dont nous allons exposer la théorie et les usages.

SI. Des momens par rapport à un point. Le moment d'une force par rapport à un point est le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction. Soit, par exemple, une force P représentée par la partie AP de sa direction (PI. XV, fig. 16). Si d’un point quelconque O on abaisse sur AP ou sur son prolongement une perpendiculaire OB — p, le produit AP > OB ou Pp sera le moment de la force P par rapport au point O. Le point d’où l’on abaisse la perpendiculaire se nomme centre des miomens.

1. Cesmomens jouissent d’une propriété remarquable qui fait l’objet de la proposition suivante.

Le moment de la résultante de deux forces, dirigées dans un même plan, pris par rapport à un point quelconque de leur plan, est égal à la somme ou à la différence des momens des composantes, pris par rapport au méme point : à la somme, quand le centre des momens est en dehors de l'angle des composantes et de son opposé au sommet; à la différence, quand ce point est compris dans l'angle des composantes, où dans son opposé au sommet.

Soit donc P ct P° deux forces, AP et AP' (PI. XV, fig. 17), leurs directions; R leur résultante, AR sa direction. Prenons d’abord le centre des momens en O hors de l’angle PAP’, ct abaissons les perpendiculaires Op =—p, Or=r, Op —p', nous aurons

Rr — Pp + P'?..

MOM

En effet, menons une droite OA qui joigne le centre des momens et le point d’application des forces, et nommons

a, la droite OA, «, l'angle RAO, u', l'angle PAO, æ', l'angle P'AO;

les triangles rectangles ApO, ArO, Ap'O nous donneront.... (a)

P—=ACOSu, T—ACOSa;, p—ûAcos«".

Ceciposé, décomposons les trois forces P, P', R, suivant deux axes rectangulaires AX, AY, en faisant, pour plus de simplicité, coïncider l’axe AX avec la droite OA; les composantes suivant l’axe AX nous fourniront l'équation (voy. RÉSULTANTE)

R cos & — P cos « + P' cos «’.

Multipliant tous les termes par @&, et substituant à la place de & cos, acosa', a cos x’, leurs valeurs r, P:p', il viendra

Rr = Pp +Pp',

ce qui démontre la première partie de la proposition.

2. Prenons maintenant le centre des momens dans l'intérieur de l’angle PAP’ des forces P et P' (fig. 18, pl. XV) ou dans l’angle de leur prolongement p'Ap (fig. 19), et conservons les dénominations précédentes, nous aurons toujours les relations (a) ; mais les composantes rectangulaires des trois forces P, P', R, suivant l'axe AX, nous donneront

Rcosu— P cos & — P'cos x’,

et par suite Rr—Pp—P?p';

ce qui démontre la seconde partie de la proposition.

Dans ce dernier cas, les perpendiculaires abaissées du centre des momens ne sont pas toutes situées du même côté de la droite OA qui joint le centre des momens au point d’application des forces, de sorte qu’on peut embrasser les deux parties de la proposition par une seule, en donnant des signes différens aux perpendiculaires , suivant qu’elles sont à la droite ou à la gauche de la droite OA. D’après cette convention, la perpendiculaire Op' — p' qui est positive, par exemple, dans la fig. 17, sera négative dans les figures 18 et19 ou vice vers. L'énoncé du théorème devient alors simplement :

MOM

Le moment de la résultante de deux forces, par rapport à un point quelconque pris dans leur plan, est égal à la somme des momens de ces deux forces.

5. Il faudra, dans les diverses applications de ce théorème, affecter du signe —- ou du signe —, à volonté, les perpendiculaires situées d’un même côté de la droite qui joint le centre des momens au point d’application des forces, et donner un signe contraire à celles qui sont situées de l’autre côté.

4. On donne ordinairement au théorème en question un autre énoncé qui dispense de considérer les signes des perpendiculaires. Voici le fait : si l’on suppose que le point O soit fixe et que les perpendiculaires Op, Or, Op soient des droites inflexibles, on peut imaginer que les forces P, R, P’ agissent aux extrémités de ces droites, et comme alors elles ne peuvent produire qu’un mouvement de rotation autour du point O, on voit que, lorsque le point O est dans l’intérieur de l’angle PAP’ ou de son opposé au sommet (fig. 18 et 19), la force P et la résultante R tendent à faire tourner leurs points d’application pet r dans un sens, et que l’autre force P'tend à faire tourner le sien, p', dans un sens opposé; tandis que lorsque le point O est hors de ces angles (fig. 17), les trois forces P, P', R’ tendent à faire tourner leurs points d'application dans le même sens. Observant que, dans le premier cas, la résultante R agit dans le même sens que la puissance dont le moment est le plus grand, on a l'énoncé général suivant :

Le moment de la résultante de deux forces est égal à la somme ou à la différence des momens de ces forces, selon qu'elles tendent à faire tourner leurs points d'application (supposés aux pieds des perpendiculaires) dans le même sens où dans des sens différens.

On doit observer que le mouvement de rotation introduit dans ce principe n’est qu’un moyen indirect pour déterminer les signes des momens.

5. Ce que nous venons de dire pour la résultante de deux forces s'étend facilement à la résultante d’un nombre quelconque de forces agissant dans le même plan. Soient P, P', P', P”, etc., des forces dirigées dans un même plan et appliquées à différens points situés sur ce plan, désignons par

IR la résultante des deux forces P et Rés R, la résultante des deux forces R,<etp#, R, la résultante des deux forces R, et p'",

CLIS ACL

et représentons en outre par p, p', p', p''', cle., ROUE

r,, ete., les perpeudiculaires abaissées respectivement du

MOM 309

centre des momens sur les directions de ces forces. Nous aurons, en vertu du principe démontré, les équations

Ir, =Pp+Pp, R,r, = Rir, + P'p", R;r, = R;r, LP?”

CC —'eLCr:

puis, en substituant chaque valeur dans celle qui la suit,

R,r, = Pp + Pp + P'p", Br, = Pp PP Pptp",

etc: — elc:, et, en général... (b),

Rr = Pp+Pp —+ P'p"—+ etc...

R étant la résultante de toutes les forces P, P', P”,etc. , et r la perpendiculaire abaïssée du centre des momens sur sa direction. Il est bien entendu que dans l’équation (b) il faut donner le signe — aux momens des forces qui tendent à faire tourner le système dans le même sens que la résultante R, et le signe — aux momens de celles qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé.