Si l’un des plans coordonnés, celui des yx, par
MOM 311
exemple, passait par le centre des forces parallèles, le moment de la résultante Rz, deviendrait nul, à cause dez,— 0, et l’on aurait pour la somme des momens, Par rapport à ce plan, l'équation... (k)
Pz+Pz Ps — etc. = 0.
15. Ce qui précède suffit pour trouver les conditions générales de l’équilibre d’un système de forces parallèles P, P', P', etc., appliquées à des points situés d’une manière quelconque dans l’espace, et liés entre eux d’une manière inébranlable. En efïet, pour qu’un tel système soit en équilibre, il faut qu’une quelconque des forces soît égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres ; ainsi faisant
R'—=P'+P'+P'"etc., on a pour première condition PER —0o, ou
(a). PHP'ÆP'—H etc, = 0;
et il s’agit d'exprimer que les deux forces P et R’ sont directement opposées. Or, désignant par «, B; yles coordonnées du point d'application de la force R', ou du centre des forces parallèles P', P”, P’, etc., on doit
avoir, en vertu des équations (2)... (k) Ra = P'& + P'x + etc.,
RB—=Py + P'y Let, R'y = P'z, + P'2 — etc. ;
mais le point d'application de la force R' doit se trouver sur la direction de la force P; car sans cela ces deux forces ne pourraient être directement opposées; de sorte que si l’on prend, pour simplifier, le plan des æy perpendiculaire à cette direction, les coordonnés zet seront sur une même droite perpendiculaire au
plan æy, et l’on aura de plus CET
Substituant done æ à &«, y à Bet — P à R' dans les deux premières des équations (k), on obtiendra
Pæ—P'æ + Pa etc.
Py+Py +P'y +etc.
= 0 , a) One si équations qui, jointes à l'équation (1), renferment toutes les conditions de l'équilibre d’un système de forces parallèles. Ces deux dernières signifient que La somme des momens des forces P, P', P', ete., est nulle par
312 MOM
rapport aux plans des xz et des Yz, qui sont parallèles à leur direction.
Ainsi, pour qu’un système de forces parallèles soit en équilibre, il est nécessaire et il suflit :
1° Quela somme de ces forces soit égale à zéro;
2° Que la somme de leurs momens soit nulle, par rapport à deux plans parallèles à leur direction.
16. Un système de forces dirigées d’une manière quelconque dans l’espace pouvant toujours être décomposé en deux systèmes, dont l’un ne renferme que des forces parallèles, et l’autre des forces dirigées dans un même plan, ses conditions d'équilibre dépendent des deux espèces de momens dont nous venons d’exposer les principes fondamentaux. Voy. RÉSULTANTE pour tout ce qui concerne la composition et la décomposition des forces.
MOMENT D'ACTIVITÉ, voy. Quantité D'ACTION.
MOMENT D'INERTIE. ( Dynamique.) On donne ce nom à la somme des produits de tous les élémens matériels d’un corps, par les carrés de leurs distances respectives à l’axe de rotation de ce corps; c’est l'intégrale
de l'expression fran :
dans laquelle dm désigne l'élément de la masse du corps, et r sa distance à l’axe fixe de rotation.
Nous nous bornerons ici à indiquer les moyens d’obtenir les valeurs numériques de ces momens qu’on est conduit à considérer dans les questions relatives au mouvement d’un corps solide autour d’un axe fixe (voy. Mouveuenr), et qui trouvent d'importantes applications dans la théorie des machines.
1. Le cas le plus simple est celui d’un solide homogène de révolution; le moment d'inertie étant pris par rapport à l’axe même de la figure génératrice. Soit donc (fig. 8, PL XVI) ACB une courbe quelconque dont la révolution autour de la droite AB engendre le solide dont il s’agit de déterminer le moment d'inertie relatif à cette droite. Imaginons ce solide partagé en une infinité de tranches, d’une épaisseur infiniment petite, par des plans perpendiculaires à l’axe AB, et chacune de ces tranches partagée en une infinité d’anneaux circulaires concentriques d’une largeur infiniment pelite; soit abm' la section d’un de ces anneaux, o son centre, om son rayon intérieur, et om son rayon extérieur. Nommons r le rayon om, dr la largeur mm’ de l'anneau, et prenant À pour l’origine des abscisses comptées sur l’axe AB, faisons A0=%; dx sera l’épaisseur de l’anneau.
MOM
IL est visible que l'anneau en question est la différence de deux cylindres qui ont pour hauteur commune dx, pour rayons respectifs retr— dr, et dont les volumes sont conséquemment rr°dx, r(r—+-dr)dæ ; le volume de l'anneau sera donc représenté par
r(r+-dr)/dx — rr°dx , ce qui se réduit à 2 r r drdx,
en développant le carré et en négligeant le terme rdr°dx infiniment petit du troisième ordre. Si nous désignons maintenant par p la densité du corps, la masse de l’anneau sera 2rprdrdæ, et comme tous ses points sont à des distances de l’axe AB qu’on peut considérer comme égales à r, puisque la distance des plus éloignés ne diffère de r que de la quantité infiniment petite dr, le produit
2rprdrdæ X r? ou 2rpr'drdx
sera le moment d'inertie de l'anneau.
L'intégrale de cette quantité prise, par rapport à r, entre les limites r —0 etr—oC, donnera le moment d'inertie d’une tranche élémentaire du solide, ou la somme des momens d'inertie de tous les anneaux dont cette tranche est composée. Cette intégrale est, en désignant oC par y,
) 1 f 2 rprdrdx = F, rpy"dæ.
Mais le moment d'inertie du solide est égal à lasomme des momens d'inertie de toutes ses tranches élémentaires, donc intégrant cette dernière quantité par rapport àæ, ct entre les limites æ—0, æ—AB, on obtiendra définitivement l’expression de ce moment.
La question se réduit donc à tirer la valeur de y en fonction de æ, de l'équation de la courbe génératrice, et, après l’avoir substituée dans la formule
(nes : rpy" dæ,
à iniégrer cette formule depuis += 0 jusqu’à æ — AB. 2. Soit, pour premier exemple, la génératrice une
simple droite CD (fig. 5) tournant autour de l'axe MN
mené dans son plan, son équation sera de la forme
y —= ax + b.
Prenons le point A pour origine, et AB pour axe des abscisses, nous aurons
b — AC, aq = tang BSD;
MOM et substituant la valeur de y dans (1), le moment d'inertie demandé sera
: re. [lar+ b)‘ax:
désignant AB par h, et intégrant entre les limites 3—0,
—h, nous obtiendrons , pour le moment d’inertie du cône tronqué CBD, engendré par la révolution du trapèze ABDC autour de la droite AB... (a),
1 To
ee 5 —b°.
L four |
3. Lorsque la droite CD est parallèle à l'axe, on a a — 0 et le cône devient un cylindre. Le moment d'inertie d’un cylindre par rapport à son axe est donc... (b)
rat + = rphb! ;
h étant la hauteur du cylindre, et b le rayon de sa base; si l’on décompose cette quantité en trois facteurs
Lu, e et rhb?, et qu’on observe que p X rhb? est
le produit de la densité b par le volume 7hb?, on en pourra conclure que le moment d'inertie d'un cylindre tournant autour de son axe propre, est égal à la moitié du produit de sa masse par le carré de son rayon.
4. On peut tirer de l'expression (b) la valeur du moment d'inertie d’un anneau cylindrique, par rapport
à son axe, en observant que ce moment doit être la -
différence de ceux des deux cylindres qui auraient respectivement pour rayons le plus grand et le plus petit rayon de l’anneau. Si Am —r (fig. 6, pl. XVI) est le plus grand rayon, et Am — r' le plus petit, le moment d'inertie de l'anneau cylindrique mps sera donc
2 RL RE ñ "h\ Téhr —; réhr = rh (ré—rt);
hk exprimant la hauteur mp.
a r+r Désignons par R le rayon moyen — 2 »etpare
l'épaisseur mm — r — r' de l'anneau, cette expression deviendra
rh) x (RE), ce qui signifie que le moment d'inertie d'un anneau cy-
lindrique tournant autour de son axe propre, est égal au produit de sa masse par la somme du carré du rayon
| moyen et du carré de la moitié de l'épaisseur de l'an-
neau.
Supposons, pour second exemple d'application, To, x.
MOM 313 que la courbe génératrice ACB (fig. 8, PI. XVI) soit une demi-circonférence de cercle, son équation rapportée aux axes At, Ay sera (voy. APPLICATION, tome Ï)
ÿ} = 247 — à 2a désignant le diamètre AB. Cette équation fournit
y = 4e? at — ax + xt;
et, substituant dans l’expression(1), la formule à intégrer devient
: re (4a? &?— ax +-x") dx,
dont l'intégrale est
Tel est le moment d'inertie de la portion de sphère engendrée par le secteur AoC; pour avoir celui de la sphère entière, il faut prendre æ — 24, et l’on obtient
— pu” ,
observant que dre exprime la masse de la sphère,
on en conclut que le moment d'inertie de la sphère par rapport à un axe passant par son centre, est égal au produit de sa masse par les deux cinquièmes du carré de son rayon.
5. Lorsque le solide dont on cherche le moment d'inertie n’est point un solide de révolution ; la valeur de ce moment ne peut être déterminée que par une triple intégration. C'est ce que nous allons éclaircir par un exemple.
Soit BE (PI. XVI, fig. 12) un parallélipipède rectangle et composé ‘d’une matière homogène, le solide dont il s’agit de déterminer le moment d'inertie par rapport à une de ses arêtes AB, par exemple, prise pour axe. Nommons a, b, e les trois arêtes AC, AD, AB de ce solide, et supposons le partage en une infinité de parties élémentaires par des plans perpendiculaires à chacune des arêtes; prenons AB pour axes des z, AD RO axe AE y, et AC pour axe des æ. Chaque partie élémentaire
m, correspondante aux coordonnées æ, y; ?, ‘era un
petit parallélipipède rectangle ayant pour arêtes dr, dy, >: son volume sera exprimé par dædydz, etsa masse par
odædydz ;
e désignant la densité.
314 MOM
La distance Ap de cet élément à Paxe des z est égale à [a+] > Ou à Va+y; ainsi, son moment d'inertie a pour expression
p (a°+y°) du dydz ,
et l'expression du moment d'inertie du solide est
Chu ff f'ete-+u dodys:
le triple signe'f indiquant qu'il faut intégrer successivement par rapport à chacune des variables, en considérant à chaque opération les deux autres comme constantes.
Pour que l'intégrale embrasse tous les élémens du parallélipipède BE, il faut intégrer d’abord par rapport à z, entre les limites z—0, 3 — AB—c; puis, par rapport à y, entre les limites y—0, y— AD — b, et enfin par rapport à æ, entre les limites x = 0, æ — AC = Q.
La première intégration donne
pe [feet aruy,
la seconde
e | (ao se 3) de ;
et la troisième
expression qu’on peut mettre sous la forme
pabe “
mais abc est le volume du parallélipipède, et pabcc sa masse; donc, le moment d'inertie d’un paralléhpipéde rectangle, par rapport à l’une de ses arêtes , est égal au tiers du produit de sa masse par la somme des carrés des deux autres arêtes.
6. Cherchons encore le moment d'inertie du même parallélipipède par rapport à un axe OZ passant par le centre des deux faces opposées BE, DC (fig. 13). Choisissant cet axe, qui est égal et parallèle à l’arête AB,
pour axe des z, nous prendrons les axes des y et des
æ respectivement parallèles aux arêtes AD et AC, et par
MOM
les mêmes considérations que ci-dessus, nous trouve-
rons pour l'expression du moment d'inertie,
[fe (a y?) ddydz ;
mais il est évident, ici, que la première intégration, par rapport à z, doit s'effectuer entre les limites z=—0, z=—c; la seconde, par rapport à y, entre les limites
2 1 1 she =On —-b, y—=— On — — = b; etla troisième, x + n 1 par rapport à æ, entre les limites 4 — Om — 3%
, 1 e He = — Om = — 3 a. Effectuant les opérations, la
première intégration donne
eff (æ°+-y°) dædy,
on obtient par la seconde
shoes?
peb| C uk = Va.
et par la troisième, — pabe (a? +-b*).
Ainsi, le moment d'inertie d’un parallélipipède rectangle tournant autour d'un axe qui passe par les centres de deux faces opposées et qui est, par conséquent , parallèle à l’une de ses dimensions, est égal au douzième du produit de sa masse par la somme des carrés des deux autres dimensions. |
7. Les momens d'inertie de tous les solides par rapport à des axes quelconques sont exprimés par l’intégrale triple (2); car on peut concevoir un solide, quelle que soit sa forme, comme composé d’un nombre infini de parallélipipèdes rectangles infiniment petits ; la seule difficulté est done de déterminer les limites entre lesquelles doivent être effectuées les intégrations, pour que la dernière embrasse tous les points du solide, ce qui n’est généralement possible que lorsque la sur: face du solide est susceptible d’être représentée par une équation. Voici la marche qu’on doit suivre dans ce Cas.
Considérons un solide AOCB (PI. XVI, fig. 7) compris entre trois plans rectangulaires coordonnés et une surface courbe donnée par l'équation... (c)
Le) 0:
Le moment d'inertie d’un élément m de ce solide par rapport à l'axe OZ sera, d’après ce qui précède... (d)
e Qu? +y?) dadydz;
MOM
et en intégrant cette expression, par rapport à z, depuis z=— 0 jusqu’à la valeur de z donnée par l’équation (c), on aura le moment d'inertie d’un parallélipipède élémentaire pq commencant au plan æy, et se terminant à la surface courbe. Si nous désignons par f(æ,y) la valeur de z tirée de (c), le résultat de la première intégration sera de la forme
e (a+ y?) f(æ y) dedy.
Regardant + et dx comme constans, il est visible que l'intégrale de cette expression, par rapport à y, sera le moment d’une tranche élémentaire rst parallèle au plan Zy; mais pour que cette tranche se termine à la surface courbe, il faut prendre l'intégrale entre les limites Y = 0 et y = Ov; cette valeur Ov n’est autre chose que l'ordonnée y du point t, dont l’abscisse est æ et qui appartient à la section CtB de la surface courbe, par le plan æy; on obtiendra donc Ov en faisant z — 0 dans l'équation (e), et en la résolvant par rapport à y. Le moment d'inertie de la tranche élémentaire rst deviendra en définitive
px. dx;
9æ désignant une fonction de la seule variableæ. L’intégrale de cette dernière quantité, prise entre les limites æ—oet x — OB,. sera la somme des momens d'inertie de toutes les tranches élémentaires qui composent le solide et par conséquent le moment d'inertie du solide. La limite OB est la valeur de x donnée par l’équation (c), après y avoir fait y— 0,
8. L'ordre des intégrations est tout-à-fait arbitraire ; mais l’intégrale, par rapport à &, étant toujours la plus simple à déterminer, on fera bien de commencer par elle, puis on intégrera par rapport à & ou à y, suivant le plus ou moins de facilité qu’il en pourra résulter pour les calculs. Si l’on prend la seconde intégrale par
rapport à æ, les limites seront æ —0 etæ — à la valeur qu'on tire de l'équation (ec), après y avoir fait z— 0; les limites de la troisième intégrale seront alors y — 0 ety=— à la valeur fournie par (e), après avoir fait 3 —0, æ—0. L'exemple suivant éclaircira ce procédé.
Soitle solide AOCB un quart d’ellipisoïde à trois axes rapporté à ses demi-diamètres principaux OB = @, OC —b, OA —c, nous aurons, pour l'équation de Ja surface courbe (voy. GÉOM. aux rno1s im, n° 64)... (d),
nr ia ts
prenant pour la limite supérieure de l'intégrale, par rapport à x, de l'expression
FF fe cer +0 doayes,
MOM
la valeur de x tirée de l'équation (d), savoir :
nous trouverons, pour cette intégrale,
[feie-tnvls = 5%] dois,
ce qu’on peut mettre sous la forme... (e).
teffrvL-5-tJes
Occupons-nous d’abord du premier terme de cette dernière expression. L'intégration par rapport à y devant s’effectuer comme si æ et dæ étaient des quantités constantes, posons, pour abréger,
et le premier terme de (e) deviendra, abstraction faite des signes d'intégration... (f),
pcæ”dæ
En Vr— y. dy.
Faisant, dans l'équation de la surface, 2 — 0, et tirant la valeur de y, il viendra
br?
a 79 21 JP = b? — = ?»?, y ps
Ainsi, les limites de l’intégrale par rapport à y sont y—=0, y—r; or, l'intégrale de dyV/r—y?, prise entre ces limites, est égale au quart de l’aire du cercle dont le rayon est r (voy. Quannraruge, t. II, p. 395), donc
r désignant le rapport de la circonférence au diamètre. Remettant pour r? sa valeur, cette intégrale devient
entre les limites #3—0, æ—a, donne... (9)
— pbcar ;
to
316 MOM
telle est, conséquemment, la valeur du premier membre de l'expression (c), et nous avons
2 2 ge [ fe v{: — M = “| dxdy = Te pbcaÿr.
is
Observons maintenant que le second membre de (e) serait identique avec le premier si l’on y changeait y en æ etb en a, et qu'il suffit, par conséquent, d’opérer ce changement dans la valeur du premier membre pour obtenir immédiatement celle du second, qui est ainsi :
< F a? 2 1 e [fiv ii leu 15 PRE
Ajoutant ces deux valeurs, nous obtiendrons pour le moment d'inertie du quart d’ellipsoïde à trois axes, tournant autour de son demi-diamètre c ou de l’axe des z, l'expression
A abcpr (a? + b?).
On peut en conclure que le moment d'inertie de l’ellipsoide entier par rapport à l’axe des z, est
à abcpr (a? + b?) ;
car les relations de distance des molécules élémentaires avec l’axe des sont les mêmes dans chaque quart de ce solide.
Un simple changement de lettres fait connaitre les momens d'inertie de l’ellipsoïde par rapport aux axes des y et des æ; le premier est:
À abcer (+ à), et le dernier
À abepr (6 +).
dr
Observant que le volume de ce solide est égal 3
abc,
are … AT , et qu’ainsi la quantité 7 bcp représente sa masse, les
valeurs des trois momens d'inertie deviendront, en désignant la masse par M :
Par rapport à l'axe des æ . : -
Par rapport à l’axe des y + + »
e M Par rapport à l'axe des 4 » + (a? + b?);
MOM
d'où l’on voit que le plus grand moment répond au plus petit diamètre principal et réciproquement.
9. Si l’on fait a—b—c, l’ellipsoïde devient une sphère, et les trois momens d'inertie se réduisent à la même quantité
8 5 75 CEE
c’est ce que nous avions trouvé ci-dessus n° 4.
10. Toutes les déterminations précédentes des momens d'inertie supposent que les solides sont homogènes, c’est-à-dire que toutes leurs parties ont une même densité; si cette circonstance n'avait pas lieu, il faudrait chercher séparément le moment d’inertie de chaque partie homogène, et la somme de tous les momens partiels donnerait le moment d'inertie total. Dans le cas où la densité varierait d’un élément à l’autre, on aurait une quatrième intégration à effectuer, pour laquelle il deviendrait essentiel de connaître la loi que suit la densité dans les couches successives du solide. Considérons, par exemple, un cylindre d’une hauteur À tournant autour de son axe propre; son moment d'inertie est, comme nous l'avons trouvé plus haut, dans le cas d’une densité constante p,
= rphb".
Si la hauteur À augmente d’une quantité infiniment petite et devient h + dh, l'accroissement correspondant
