NES

= rcb*dh du moment d'inertie, exprimera le moment

d'inertie d’une tranche cylindrique perpendiculaire à l'axe. Or, sile cylindre n’est point homogène, mais composé d’une infinité de tranches homogènes, la densité P sera fonction de la hauteur h, et il faudra, pour obtenir le moment d'inertie du cylindre, intégrer la formule

— rpb‘dl 3 h qui exprime le moment d’inertie d’une tranche quel-

conque. D'où l’on voit que le moment d'inertie d’un cylindre composé de tranches circulaires homogènes

est égal à = ab? f edh ,

expression dans laquelle b est une fonction de k. Dans”

le cas où la densité diminuerait comme la hauteur augmente, on aurait, en désignant par 0 la densité de la première tranche ,

à cause de

fr —= Log h;

l'intégrale devant être prise depuis kÀ — o jusqu’à

11. Si le cylindre, au lieu d’avoir une densité variable dans le sens de sa hauteur h, était composé de couches cylindriques homogènes, la variation s’effectuerait dans le sens de son rayon b, etpar conséquent le moment d'inertie d’une quelconque de ces couches serait la différentielle du moment d'inertie

= eh, prise par rapport à b, c’est-à-dire

8 rphb db ;

de sorte que le moment d'inertie du cylindre à densité

V ariable de viendrait — rh eb db.

Dans l’hypothèse d’une densité, variant de l’axe à la surface convexe, en rapport inverse du rayon de la couche cylindrique, on poserait

p désignant la densité de l’axe, et l’on aurait, pour le moment d'inertie,

gro [was … Srhdt ;

l'intégrale étant prise entre les limites b— 0, b — b.

12. Soit, encore, une sphère composée de couches homogènes concentriques. On trouvera, par des considérations semblables aux précédentes, que Le moment d'inertie d’une couche élémentaire est égal à la différentielle de celui de la sphère homogène prise par rapport au rayon, c’est-à-dire à

- rpa*da ,

MOM 317

de sorte que p étant une fonction de a, le moment d'inertie de cette sphère à densité variable est

- r fea'da.

Admettons que la densité décroisse, du centre à la surface, proportionnellement aux carrés des rayons des couches concentriques, et désignons par à la densité au centre, nous aurons, pour la densité d’une couche quelconque ,

LRO

,. . \ JET et par suite, pour le moment d'inertie de la sphère,”

5 m3 J'arda —= srda.

Ces exemples nous paraissent indiquer suffisamment la marche qu’il faudrait suivre pour tout autre solide et pour toute autre loi des densités.

15. Lorsque le moment d'inertie d’un corps, par rapport à un axe passant par son centre de gravité, est connu, il est facile d’en déduire son moment d'inertie par rapport à tout autre axe parallèle au premier.

En effet, prenons le premier axe pour axe des x, le centre de gravité pour origine , et faisons æ — 2, y—f, les coordonnées du point où le nouvel axe de rotation coupe le plan des zy auquel il est aussi perpendiculaire. Désignons de plus par a la distance des deux axes, par r la distance d’une molécule élémentaire au premier de ces axes, et par r' la distance de la même molécule au second. Le moment d'inertie qui se rapporte au premier axe, et qui est supposé connu, sera fr°dm, et [r'?dm sera celui qui se rapporte au second axe. Or, nous avons

Ge) +(y— 6), = D + — 240 — 06y + LP, et, de plus, = +y; &—a +p, donc = PH — our — 98y.

Multipliant tout par dm et intégrant, il vient

fran = fra — L'adm— 24 | adm — 28 | ydm.

Le Le

Mais l’axe de gravité étant sur l'axe de x, il en ré-

J ædm = 0, ya = 0;

sulte