DENT MOTTE

Dans ce cas, le mobile partirait du repos, et son mouvement ne scrait dû qu’à l’action de la seule force accélératrice constante dont on représente l'intensité par la vitesse qu’elle produit dans l’unité de temps, c’est-àdire par g. L'expression de cette force accélératrice est ainsi

Nous n’entrerons pas dans de plus grands détails sur une théorie déjà développée aux mots AccécéRé (tom. ]) et Force.

10. Lorsque les accroissemens de vitesse ne sont pas les mêmes dans des intervalles égaux de tenips, le mouvement est dit varié d’une manière quelconque, et l’on entend toujours par la vitesse de ce mouvement, à un instant déterminé, celle qui aurait lieu si, à partir de cet instant, le mouvement devenait uniforme ; de sorte qu'il est facile de voir qu’on à toujours la relation de — vdt entre l’espace, le temps et la vitesse. Mais, les accroissemens de vitesse étant différens pour deux intervalles égaux de temps, quelque petits que soient ces intervalles, ce n’est qu’en prenant un intervalle de temps infiniment petit qu'on peut considérer la vitesse comme croissant par degrés égaux pendant sa durée; ainsi, désignant par + l'accroissement constant de vitesse qui a lieu à chaque instant de l'intervalle dt, ct qui finit par produire un accroissement total du dans

Tom. 11.

la durée de cet intervalle, nous aurons, d’après la loi (4),

et comme cette vitesse # est l’effet de la force variée et représente son intensité (v0y. Force), nous pourrons dire que la grandeur d’une force variée d’une manière quelconque est égale à la dérivée différentielle de la vitesse prise par rapport au temps.

Substituant, dans la valeur de, celle de v tirée de l'équation de — vdt, savoir :

de

= en observant que dt est une quantité constante, il viendra

C’est l'expression générale, en fonction du temps et de l'espace, de la force accélératrice qui produit un mouvement varié d’une manière quelconque. Nous l’avons déjà déduite d’autres considérations, au mot ACCÉLERÉ, tom. I, et nous ne la rappelons ici que parce que nous allons en faire usage plus loin.

11. Mouvement curviligne. Le mouvement produit par une seule force ou par plusieurs forces, agissant dans une même direction, étant nécessairement rectiligne, tout mouvement qui ne s'effectue pas en ligne droite exige le concours de plusieurs forces agissant dans des directions différentes. Examinons les circonstances générales d’un tel concours.

Soit un point mobile M (PI. XVI, fig. 14), sollicité par deux forces instantanées P et Q dans les directions AP et AQ; prenons sur ces directions les parties MA ct MB, telles que la première représente la vitesse uniforme due à la force P, ou l’espace qu’elle ferait parcourir au mobile dans l'unité de temps, si elle agissait seule, et que la seconde représente également la vitesse due à la force Q agissant isolément. Construisons sur ces deux vitesses le parallélogramme MARB, sa diagonale MR sera la direction de la résultante des forces PetQ, et représentera la vitesse avec laquelle le point M se mouvra uniformément sur cette direction dans l'unité de temps (voy. RÉSULTANTE ). Supposons maintenant qu'arrivé en M', par l’action de la résultante R des deux forces PetQ, le mobile recoive dans la direction M'S l'impulsion d'une nouvelle force instantanée S , capable de lui faire parcourir l'espace MB dans l'unité de temps; alors, au lieu de parcourir M'A'— MR, le mobile prendra la direction M'R' de la diagonale du paralléla-

gramme construit sur les vitèésses M'A’ et M'R', et continuera à se mouvoir uniformément dans cette direction avec la vitesse M'R'. Si, arrivé en M”, où il tend à décrire M'A"— M'R' dans l'unité de temps, une nouvelle force instantanée vient encore à agir sur lui dans Ja direction M'T, et tend à lui faire décrire M'T dans le même temps, sa direction se brisera de nouveau, il décrira la diagonale M'U du parallélogramme M'TUR’, et ainsi de suite; de sorte que, en vertu des diverses impulsions qu’il aura reçues, le mobile aura décrit les côtés MM’, MM’, M'M'", ete. , d’un polygone.

Pour passer de cette espèce de mouvement en ligne brisée à un mouvement curviligne, il suffit de supposer que les impulsions successives sont données sans interruption, comme celles qui sont produites par une force constante, car les côtés du polygone deviennent alors infiniment petits, et il se change en ligne courbe.

12. Tout mouvement curviligneexige donc le concours d’une force accélératrice au moins. Le cas le plus simple de ce mouvement est celui où le mobile n’est sollicité que par deux forces, l’une instantanée et l’autre constante; par exemple, si la force instantanée P, qui tend à donner au point M une vitesse uniforme dans la direction MP, se trouve combinée avec une force accélératrice agissant dans la direction MQ, les impulsions successives de cette dernière se succédant dans des intervalles infiniment petits de temps, les points M, M', M’, etc., où la direction du mobile change à chaque impulsion, se suivent immédiatement, et le mobile décrit une courbe dont les côtés, infiniment petits MM’, M'M', M'M'", etc., sont les élémens.

15. Si la force accélératrice cessait d'agir en un point quelconque M° de la courbe, il est évident que le mobile continuerait à se mouvoir avec sa dernière vitesse dans la direction M'R’, prolongement du dernier élément de courbe M'M', c’est-à-dire qu'il s'échapperait par la tangente de la courbe au point M”.

On nomme vitesse d’un mouvement curviligne, à un instant déterminé, la vitesse effective qu’aurait le mobile, si, à cet instant, le mouvement devenait rectiligne et uniforme, c’est-à-dire si toutes les causes qui font varier la vitesse et la direction du mobile venaient à cesser et qu’il continuât à se mouvoir uniformément sur la tangente de sa trajectoire, au point où il se trouve à l’instant que l’on considère.

14. Pour déterminer les diverses circonstances du mouvement d’un point matériel dans espace, il faut rapporter Sa trajectoire à trois plans coordonnés, ce qui permet d’assigner à chaque instant la position des projections du mobile sur les trois axes fixes. On peut alors considérer chaque projection comme un point mobile qui suit lc point matériel dans son mouvement et se

trouve lié avec lui; de sorte que toutes les questions relatives au mouvement curviligne se réduisent à la recherche des lois de trois mouvemens rectilignes. Nous allons éclaircir cette théorie en considérant encore la trajectoire du mobile comme une ligne brisée OMM'M', ete. (fig. 15, PI. XVI), dont il parcourt successivement lescôtés OM, MM', M'M', etc. , avec des vitesses uniformes, pour chaque côté en particulier, mais qui varient à mesure qu'il passe d’un côté sur l’autre.

Rapportons cette ligne aux trois axes rectangulaires OX, OY, OZ; imaginons que l’origine O est le point de départ du mobile, et menons les droites Mm, M'm', M'n', etc., perpendiculaires à l'axe OX ; les points m, m',m', ete., seront les projections des points M, M', M", etc., de la trajectoire sur cet axe; et les droites Om, mm, mm, ctc., les projections des côtés OM, OM’, M'M', etc.

Ceci posé, observons que, pendant que le point matériel parcourt les côtés OM, MM’, M'M', sa projection parcourt Om, mm', m'm, de manière qu’elle est en m lorsqu'il est en M, en æ lorsqu'il est en M”, et ainsi de suite. Or, en quelque nombre que soient les forces appliquées au mobile lorsqu'il est en O, on peut toujours les réduire à trois, dirigées suivant les trois axes OX, OY, OZ, et dont OM est la résultante; ainsi, représentant par Om, On et Op les vitesses des composantes, OM sera la diagonale du parallélipipède construit sur ces droites, et on peut observer que, si la composante Om agissait seule, le mobile décrirait l’espace Om que parcourt sa projection quand il décrit OM par suite de l'action simultanée des trois composantes. Ce que nous disons de la projection sur l’axe OX s'applique évidemment aux projections sur les deux autres axes, et nous pouvons établir, généralement, que dans le trajet du mobile de O en M chacune deses projections se meut uniformément sur son axe respectif comme si elle était sollicité par la composante dirigée suivant cet axe.

Arrivé au point M, où le mobile reçoit l’action de nouvelles forces qui lui font prendre la direction MM’, si nous décomposons de nouveau toutes les forces sollicitantes en trois forces parallèles aux axes, nous reconnaîtrons que, dans le cas où la composante Mg parallèle à OX agirait seule, elle ferait parcourir au mobile la droite Mg égale à la droite mm que parcourt la projection du mobile lorsqu'il décrit MM° en vertu de l’action simultanée des trois composantes Mg, Mr, Ms; nous pouvons donc considérer le mouvement de la projection du mobile de m en m' comme sil était dû à la composante parallèle à l'axe OX. Continuant de la même manière, nous verrons que le mouvement de la projection sur l'axe des æ ne dépend que des vitesses qui seraient produites par les forces parallèles à

cet axe, et qu'il en est de même pour les deux autres projections par rapport à leurs axes respectifs.

Cette propriété ayant lieu quelle que soit la grandeur des côtés OM, MM’, MM", etc., elle existe encore lorsque ces côtés sont infiniment petits, ou lorsque le mobile décrit une courbe par l’action combinée de plusieurs forces instantanées et accélératrices ; donc:

Si l'on décompose en trois forces parallèles à trois axes fixes les forces quelconques qui produisent le mouvement curviligne d'un point matériel dans l'espace, et si l'on considère comme des points mobiles les projections du point matériel sur cesaæes, le mouvement sur chaque axe sera dù aux forces qui lui sont parallèles et sera le même que si les autres forces étaient nulles.

15. Cette importante proposition conduit directement aux équations différentielles du mouvement curviligne d’un point matériel soumis à l’action d’un nombre quelconque de forces accélératrices et instantanées. Ces dernières peuvent toujours être ramenées à une seule force qui aurait imprimé une vitesse finie au mobile à l’origine de son mouvement, et qui n’exerce conséquemment aucune influence sur les variations de vitesse qu'il éprouve en parcourant sa trajectoire.

Désignons par æ, y, z les trois coordonnées du mobile après un temps quelconque t, et observons que ces coordonnées, qui seront des fonctions de é, sont également les espaces décrits par les projections du mobile , depuis l’origine, où nous supposons que le temps t commence, jusqu'à l’instant où il se trouve sur le point de sa trajectoire auquel elles répondent. Décomposons chacune des forces accélératrices données en trois autres respectivement parallèles aux trois axes, et désignons par X la somme de toutes les composantes parallèles à l'axe des æ, par Y la somme des composantes paralléles à l’axe des y, et par Z la somme des composantes parallèles à l'axe des 3. Ces trois forces X, Y, Z, dont on aura la valeur en fonction des coordonnées æ, y, , dans chaque cas particulier, doivent être prises avec les signes ou —, suivant qu’elles tendent à augmenter ou à diminuer les coordonnées.

Soient maintenant v, v', vw’ les vitesses respectives des projections sur les trois axes, à l'expiration du temps f, vitesses qui demeureraient uniformes si les forces accélératrices eessaient d’agir à cet instant, et qui ont pour expressions (n° 10)

s dz

d—= —- DV —= —*", di.

dt

Les variations de ces vitesses, dues aux forces X, Y, Z, dans l'instant infiniment petit d£f qui suit le temps #, seront

do = dE

JU TEE

mnt:

Lodr: TL

d'= + dv

MOU 323 et comme ces variations, divisées par le temps dans lequel elles ont lieu, représentent les forces accélératices qui les produisent (n° 10), nous aurons, en vertu de la théorie du mouvement varié,

dx

d'y d’z dé? 2°

Telles sont les équations générales du mouvement curvyiligne d’un point matériel dans l’espace; elles sont indépendantes de la vitesse initiale du mobile, c’est-àdire de celle qui est due aux forces instantanées, Cette dernière sert à déterminer les constantes arbitraires avec lesquelles on complète les intégrales. Lorsque les fonctions X, Y, Z sont données par la nature d’un problème, on a trois équations différentielles à intégrer, et après avoir obtenu les intégrales complètes, l’élimination de { conduit à deux équations qui ne contiennent plus d’autres variables que #, y, z, et sont les équations de la trajectoire.

16. Les fonctions X , Y, Z, représentant uniquement la somme des forces accélératrices parallèles à chaque axe, lorsque le mouvement de la projection sur l’un de ces axes est uniforme, la variation de la vitesse est nulle pour cet axe, et il faut égaler à zéro l’expression de la force accélératrice qui lui correspond. Nous en donnerons plus loin un exemple.

16. Pour déterminer la vitesse du mobile à un instant quelconque de son mouvement, il faut observer que celle qui a lieu sur l'élément OM est, en désignant cet élément par la différentielle ds de la courbe,

Or, multipliant la première des équations (6) par 2dx, la seconde par 2dy, la troisième par 247, on a, en ajoutant les résultats,

2 o 2 zd?'z> pu Pme . Rte —2 [sa + Ydy +- us].

Mais le premier membre de cette égalité n’est que la différentielle de dx? + dy? + dz? divisée par dé; ainsi elle revient à

d|dæ* ee dz?] ee, [rar + Ydy + Le | ;

ou simplement à

d = »[ ar + Ydy + za],

à causé de ds? = dx? + dy? + d=*. Intégrant, en re-

gardant dt? comme constant, il vient

ea = 2 [ {sue + Ydy + ue] + C,

La

ds ou, remplaçant apaxv

(7)... v— à [Trac + Ydy + za | + C.

Cette expression est la seconde loi fondamentale du mouvement curviligne.

17. On obtient une autre expression de Ja vitesse en remplaçant simplement, dans l'équation

l'élément ds de la courbe par sa valeur 1/[dx? + dy? + +de]; il vient

= L[e dy +4],

ou plutôt, en observant que toutes les différentielles sont prises par rapport au temps,

Bueel/f #48]

18. Lorsque toutes les forces agissent dans le même plan, il faut prendre ce plan pour celui des æ, y, alors

la variable z n’existe pas, et il suffit d'employer les deux équations

Dans ce cas la trajectoire est une courbe plane; dans tous les autres, c’est une courbe à double courbure.

18. Pour première application des lois précédentes, cherchons l'équation de la trajectoire d’un point matériel qui se meut dans l’espace en vertu de l’unique impulsion d’une force instantanée. Ici, toutes les forces accélératrices sont nulles, et l’on a