HO

les multipliant l’une et l’autre par dt et intégrant, nous obtiendrons

dx — GROS Mens te nie

a et b sont des constantes arbitraires qu’on peut déter-

: Eten rie CRC miner immédiatement, en observant que dt et =

expriment les vitesses horizontale et verticale du mobile à l’origine du mouvement, ou lorsque t— 0, vitesses qui sont les composantes de la vitesse initiale due à la force impulsive.

Multipliant les dernières équations par dt et intégrant de nouveau, il vient = at, y—=— gl + bt.

Nous m’ajouterons pas de constantes, parce qu’en

comptant le temps à partir de l’origine du mouvement, on doit avoir æ— 0 et y — 0 lorsque { — 0.

.Eliminant {, nous aurons définitivement

b ya £a

C’est l'équation de la trajectoire; il ne faut plus que remplacer & et b par leurs valeurs pour que tout y soit déterminé. Or, nous ayons reconnu que ces quantités ne sont que les composantes de la vitesse initiale ; ainsi, désignant par » cette vitesse, et par «& l'angle BAX que fait sa direction AB avec l’axe des æ, nous avons

4A—=VCOS gx, b=vsine;

MOU 325 substituant dans l'équation précédente, nous aurons

y—= x tang x — 9

v? COS 72” ce qui est l'équation d’une parabole.

Si l’on veut connaitre la vitesse V en un point quelconque de la trajectoire , il faut faire dans l’expression générale (7) Z=0 et X—0, Y——9g, ona

Va [T—ody | = 20 +0:

et comme cette intégrale doit donner la vitesse initiale à l’origine du mouvement où y= 0, la constante C est égale à v?, d’où

La vitesse du mobile diminue donc à mesure que l’ordonnée y augmente, elle est la plus petite lorsque y est l’ordonnée du sommet de la parabole, puis elle augmente successivement pour redevenir égale à la vitesse initiale v, au moment où le mobile rencontre la ligne horizontale AX ; au-dessous de cette ligne, l’ordonnée devenant négative, la vitesse s’accroît de plus en plus.

Le problème que nous venons de résoudre est celui du mouvement des projectiles dans le vide; nous renverrons, pour le cas d’un milieu résistant, au mot BaLis- TIQUE de notre premier volume. La question s’y trouve traitée dans les plus grands détails. Voyez, pour les trajectoires des corps célestes, le mot TRAJECTOIRE, tome II.

20. Mouvement d'un point matériel sur une courbe. Le mouvement des mobiles assujettis à glisser le long d’une courbe présente quelques particularités remarquables que nous devons signaler.

Considérons la courbe comme une portion de polygone Amm'm' (PI. XVI, fig. 15), et imaginons que le pointm, qui est contraint de la parcourir en vertu d’une force d’impulsion, soit sans pesanteur. Nommons v la vitesse du mobile, lorsqu'il est arrivé au point m où il est forcé de quitter sa direction Am pour prendre celle du côté mm. Représentons la vitesse v par la partie mv de sa direction, et achevons le rectangle mpvr; mp et mr seront les composantes de v. Or, la composante mp étant normale au côté mm', se trouve détruite par la résistance de ce côté, et la composante mr a seule son effet ; c’est donc uniquement avec cette vitesse que le mobile parcourra le côté mm’ du polygone.

Nous pouvons donc concevoir la résistance exercée par la courbe au point » comme une force mp' égale et opposée à la composante mp; car, abstraction faite de

la courbe, si le mobile était sollicité par les deux forces mp’ et mv, il prendrait la direction min avec la vitesse mr, tout comme il le fait par suite du concours de la résistance de la courbe avec la force mo.

Nommons « l’angle de la vitesse mo avec la composante »”, nous aurons

Mr — 0 COS, MP—VSIN 0.

Lorsque le mobile est arrivé au point m, on peut de nouveau faire abstraction de la résistance du côté m'm', qui change sa direction mm’, en Jui substituant une force égale et opposée à la composante mp' de la vitesse perpendiculaire à mm, et ainsi de même à chaque changement de côté.

21. Dans le cas d’une courbe continue, les côtés Am, mm, mm et, sont infiniment petits ; et pour remplacer la résistance de la courbe, qui change alors à chaque point la direction du mobile, il faut imaginer une force agissant continuellement sur le mobile, dans une direction normale à sa trajectoire, d’où l’on voit que la résistance de la courbe peut être assimilée à une force accélératrice.

22. Faisons observer, avant de passer outre, que la vitesse d’impulsion v, demeure la même sur toutes les parties de la courbe. En effet, étant la vitesse sur l'élément Am, la vitesse sur l'élément mm est égale à

mr, où à UCos», et par conséquent D — VCOS — (1 — COS &) d

représente la perte de vitesse effectuée par le passage d’un élément sur le suivant. Mais l’angle » est l'angle de la courbe avec sa tangente ; et l’on sait que cet angle, nommé angle de contingence, est infiniment petit; ainsi COSw — 1, et Ù — 0COS w — 0. Il résulte de ces considérations que le mobile assujéti à parcourir une courbe conserve toujours toute la vitesse qui lui a été imprimée à l’origine du mouvement; si cette vitesse varie par l'effet de forces accélératrices, qui peuvent agir sur le mobile, la résistance de la courbe n’entre pour rien dans cet effet.

23. Imaginons maintenant que, outre la force d’impulsion, à Jaquelle est due la” vitesse », le mobile est soumis à plusieurs forces acctlératrices; chacune de ces forces pouvant être décomposée en deux autres, dont l’une soit normale ct l’autre tangente à la courbe, il est visible que la somme de toutes les composantes normales est détruite par la résistance de la courbe; de sorte qu'enreprésentant par Nune force égaleet opposée

la somme de toutes les forces détruites par cette résistance, On peut, en introduisant cette nouvelle force dans le système, faire abstraction de la courbe et considérer le mouvement-du mobile comme celui d’un point matériel libre.

Désignons donc, comme ci-dessus, par X, Y,Z, les composantes parallèles à trois axes rectangulaires fixes, des forces accélératrices appliquées au mobile et pour faire entrer dans le système la force N égale et opposée à la résistance de la courbe, observons qu’en nommant «, B, y les angles que cette force accélératrice, normale à la trajectoire, fait avec les trois axes, les composantes de N, suivant ces axes, seront respectivement

Ncose, Nocospÿ, Nocosy.

De cette manière , les sommes des composantes parallèles aux axes, de toutes les forces aecélératrices du système, sont

X+N cosu,

Y+Ncosp, Z+Necos;;

et nous avons, d’après le n° 10, pour les équations générales du mouvement... (c)

Je = X ELNcose, di 5

= + N cos p, d'z

de = ZLTNcos %

auxquelles on doit joindre ces deux autres... (d)

COS? + cos?B + cos?y = 1, . cos a + . cos B + COS y — 0, qui résultent des relations nécessaires qu'ont entre eux les angles «, 8, 7. En effet, la première est la relation connue des trois angles d’une droite avec les axes coordonnées (voy. GÉOM. AUX TROIS DIM. , n° 13). Quant à la seconde, en voici une déduction très-simple :

La direction de la force N étant, à chaque point de la courbe, perpendiculaire à la tangente de ce point, si nous désignons par «', f', y les angles de la tangente avec les trois axes, nous aurons (voy. GÉON., n° 16)

cosz. cosa + cosf. cos" + cosy. cosy —= 0.

Mais les angles «’, 5’, y sont également ceux de l’élément ds de la courbe avec les trois axes, puisque la tangente n’est que le prolongement dé l’éléments ainsi

À dæ d ; Z COSKX = 05 = BTE

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on aura la seconde des équations (d).

24. Pour obtenir lexpression de la vitesse en un point quelconque de la courbe, rappelons-nous qu’en désignant cette vitesse par ©, nous avons encore ici

(voy. n° 16) FT

car la courbe n’est plus qu’une simple trajectoire. Or, multipliant la première des équations (c) par 2dæ, la seconde par 2dy, la troisième par 2dz, il viendra, en les ajoutant ensuite,

2 > 12 RE 124 [ra + Ydy + 22)

+ 2 N [ dx cos a+ dy cos à + de cos 7

Le second terme du second membre étant nul en vertu de la seconde des équations (d) et le premier membre d (ds°

se réduisant à dé

il vient, en intégrant,

d 2 TE — 2[ [ré + Ydy + ax ]+ Ge

et, conséquemment, ..…. (e)

v'— à [[xae+ay+ zac] C.

25. La première conséquence qu'on doit tirer de l'expression (e), c'est que la vitesse du mobile est indépendante de la résistance de la courbe. Dans le cas où les forces accélératrices X, Y, C sont nulles, on a simplement

ICS

c’est-à-dire que la vitesse est constante, comme si le point matériel était libre (n° 18).

26. Lorsque la seule force accélératrice agissant sur le mobile est la pesanteur, et qu’on prend l’axe des z vertical dans la direction de cette force, on a

Ces valeurs, mises dans l'équation (e), donnent

v— à [ads + C—gz+C.

Pour déterminer la constante C, sypposons que la vitesse soit v' lorsque 3 = 0, nous aurons

et, par suite, ..…. (f) v—Vo2gzLv,

cette expression de la vitesse étant indépendante des relations différentes qui existent entre les coordonnées Æ, y, z pour chaque courbe particulière, on voit que la forme de la courbe n’exerce aucune influence sur la vitesse du mobile. Il en résulte que si plusieurs corps (LAVE fig. 18) avec une même vitesse initiale v', pour se mouvoir dans des courbes différentes AB, AB', AB’, etc., ils auront tous la même vitesse quand ils atteindront le plan horizontal MN. Si la vitesse initiale v' est nulle, la la vitesse commune aux points B, B', B', etc., sera

pesans partent d’un même point A, où z —

v— V'2gz, c'est-à-dire la même que si tous les mobiles fussent tombés librement de la hauteur z — Az.

27. Quant à la durée du mouvement, elle est liée à la nature de la courbe, et, bien que tous les mobiles atteignent le plan horizontal MN avec la même vitesse, ils ne l’atteignent pas tous au même instant. Pour obtenir les relations qui existent entre le temps et l’espace parcouru, nommons s l’arc OA (PI. XVI, fig. 19) compris entre le point de départ O du mobile et un point quelconque A de la courbe, t le temps employé à décrire cet arc, et plaçons l’origine des coordonnées au point O en comptant les coordonnées verticales z dans le sens de l’action de la pesanteur. Nous savons que

ds se ; v= 3; ainsi, l'équation (f) nous donne

d + ” = Vo2gz Lo, d’où nous tirerons..… (g) ds dt = ————— V'agz + v?

Il faudra, dans chaque cas particulier, tirer de l’équation de la courbe la valeur de z en fonction des, ou vice vers, et la substituer dans (g), puis, en intégrant cette équation, on aura la valeur de £ correspondante à une valeur quelconque de s ou de z.

28. Prenonspour exemple d'application lemouvement d'un point matériel pesant sur une cycloïde : Soit ADB (PI. XVI, fig. 20) une cycloïde située dans un plan verticaletdontle grand axe AB est horizontal; CD étant le diamètre du cercle générateur, D est le point le plus bas de la courbe, et ce point est le seul où un mobile pesant pourrait demeurer en équilibre ; car en le plaçant, sans impulsion initiale, à tout autre point M, la gravité le ferait glisser Le long de l'arc MD, et il arriverait en D avec uue vitesse due à la hauteur verticale pD de la chute,

vitesse en vertu de laquelle il remonterait sur l’autre branche DB jusqu’à un point M'situé à la même hauteur verticale que le point M. On sait que la longueur de la cycloïde entière ADB est égale à quatre fois celle du diamètre CD du cercle générateur (voy. tom. IT, page 415), et qu’un arc quelconque MD est égal au double de Ja racine carrée du produit du diamètre CD par l’abscisse correspondante pD. Ainsi, désignant MD pars, CD par a et pD par &, nous avons

s— 9V/au, ou s— fau.

Si le point O est le point de départ du mobile, la variable 3 de l'équation (g) sera comptée à partir de ce point, c’est-à-dire qu’en m, par exemple, la coordonnée z du mobile aura pour valeur

Mz—PD—pD,

de sorte qu’en désignant par À la distance verticale de l'origine O au point D, nous aurons généralement

Ceci posé et faisant nulle, pour simplifier, la vitesse initiale v du mobile au point O, observons que l'arc 8 compté du point D diminue quand £ augmente, d’où il

résulte qu'il faut donner à l'équation (g) la forme

dd=—-— x V2 gz

Subetituant dans cette dernière la valeur de z et celle

de ds tirée de l'équation s° — 4{au, savoir :

FE oadu 2adu Va. du ù aVau Vu ?

il viendra

Re Op

DATE" On obtient, en intégrant, De 2u — } — — . arc|cos — LE t | 29 ( 08 F )

expression à laquelle il n’y a pas besoin d'ajouter de constante, parce que le temps # étant compté à partir

du point de départ O, on doit avoir à la foisu — À,

fi —10:

Si l’on fait u — 0, on aura le temps employé par le mobile pour parvenir au point D; ce temps est donc

VS. arc (cos —=—1);

mais l'arc dont le cosinus — — 1 est égal à la moitié de la circonférence (voy. Sixus, tom. 11). Ainsi, désignant par 7 la demi-circonférence, nous avons

d'où l’on voit que le temps du mouvement est indépendant de la hauteur verticale k du point de départ, et, conséquemment , que le mobile emploiera toujours le même temps pour arriver au point le plus bas D de la cycloïde, quel que soit ce point de départ. Cette propriété a fait donner à la cycloïde le nom de courbe tautochrone. (Voy. Taurocuroxe, tom. Il.)

29. Il nous reste à indiquer les moyens d'obtenir l'expression de la force normale N, qui entre dans les équations (c) et qui est équivalente à la résistance de la courbe, ou plus exactement à la pression qu’exerce le point matériel sur chacun des points de la courbe par suite de l’action des forces sollicitantes. D’après ce que nous avons vu précédemment (22 et 23), la pression totale en un point quelconque comprend non seulement la somme de toutes les composantes normales à ce point des forces accélératrices, mais encore la composante normale de la vitesse; si le mobile était en repos, cette seconde partie de la pression n’existerait pas, car c’est uniquement l’état de mouvement qui développe cette force, due à la tendance continuelle qu’a le mobile à s’échapper suivant la tangente de sa trajectoire en vertu de son inertie. Dans la recherche de la pression totale exercée contre une courbe par un corps en mouvement, il est donc nécessaire d'évaluer séparément la pression due à la vitesse, et qu’on nomme la force centrifuge du mobile, et la pression due aux forces accélératrices auxquelles le corps est soumis. Pour évaluer d’abord la force centrifuge, soient mm ct m'm' (PI. XVI, fig. 21) deux droites infiniment petites faisant entre elles un angle infiniment petit #mm' = w, ces droites seront deux élémens successifs d’une courbe quelconque, et nous aurons pour l’expression de la composante normale à l'élément m'm", de la vitesse v qui a lieu sur le premier élément mm’,

vsinv,

c’est ce que nous avons trouvé ci-dessus n° 20. Par les milieux «a et b des droites mm’, mm, menons les perpendiculaires aO et bO, et par le point de concours O de

ces perpendiculaires menons Om'; les angles en a et en b

du quadrilatère aObm’ étant droits, nous avons angle aOb + angle am b = 2 droits; $ d'où

angle a0b = angle n”m'n = w.

Mais on peut considérer les élémens mm, mm comme égaux ; ainsi «0 — bO, et l'angle aOm' est la moitié de l'angle w. Or, le triangle rectangle aom donne

: am

sin + «