X— 0, AY — 0, ZE

Ceci posé, a désignant le rayon de la sphère, l'équation de sa surface est

apr —=o,

(voy. GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS, n° 44) et nous

avons, en posant L= a ++ =

pour les trois dérivées différentielles de L,

du du (|

TEE et PE CERTES de plus,

Nr. a -

RÉAVCE TETE

Ces valeurs réduisent les équations générales (k) à... (à)

dx æ ae EN d y a HN d?z x dé = q + L a

Pour éliminer + N entre ces équations, multiplious

chacune d’elles par la différentielle de la variable qu’elle renferme et prenons leur somme, il viendra .... (k)

dædx + dyd? dzd?z Ë AE UE —dz + N(xdx + ydy + xdx)

. observant que l’équation diflérentiée de la sphère

donne ..…. (l) ædx + ydy + xdz = 0,

nous verrons que l’équation (k) est la même chose que

5 dt

d’où l’on tire, en intégrant les deux membres, ….

c' étant une constante arbitraire.

Nous obtiendrons une seconde équation débarrassée de + N, en éliminant cette quantité entre les deux premières des équations (+). Pour cet effet, il suffit de multiplier la première par y, la seconde par x, et de prendre leur différence, qu’on trouve être

yd*æ nl æd ?y di de

ou bien, en supprimant un des facteurs de df?, et observant que ydx — xdy = d(ydx — xdy),

d(ydx — ædy) .

FTP EE |

intégrant et désignant par c une constante arbitraire, la seconde équation cherchée sera... (n)

ydx — xdy = ct.

Les trois équations (1), (m), (n) renferment la détermination du mouvement d’un point matériel pesant sur la surface d’une sphère. En éliminant entre ces équations deux des variables z, y, z, on obtiendra la troisième en fonction du temps t, ce qui fera connaître toutes les circonstances du mouvement indépendamment de la force normale N, qui a disparu de ces équations. Pour parvenir à une équation finale en z, mettons l'équation ({) sous la forme

ædx + ydy = — kids;

élevons-la au carré, ainsi que l’équation (n), ce qui.

nous donnera

dd? + 2xydxdy + y dy? = r°d2?, y'da? — axydxdy + «dy? = dE ;

ajoutant ces deux dernières, il viendra (er pr) + (8 y) = AE + PE

substituant dans celle-ci la valeur de æ* + y? tirée de l'équation de la sphère, savoir :

æ? ya — 32; et la valeur de dx? +-dy tirée de l'équation (m), savoir : da? + dy — 2gzdt + cdtût — ds},

nous aurons définitivement

dt = —————

l'intégrale de cette expression, qu’on ne peut obtenir sous une forme finie, mais dont on obtient les valeurs approximatives par le développement en série, fera connaître z en fonction de t ou réciproquement.

11 faut observer que l’ordonnée z fait seulement connaître le plan horizontal dans lequel se trouve à chaque instant le mobile, ce qui ne suflit pas pour déterminer complètement sa situation ; mais, comme en cherchant les expressions des deux autres coordonnées x et y, on tombe sur des équations dans lesquelles ces variables ne sont pas séparées du temps f, il est plus simple de fixer la position du mobile en faisant concourir son rayon vecteur avec sa coordonnée z; or la position du rayon vecteur est connue lorsqu'on connaît l'angle que fait sa projection horizontale avec l'axe des x ou celui des y: ainsi il s’agit d'obtenir l'expression générale de cet angle que nous désignerons par 0.

Obseryons que la projection horizontale du rayon vecteur est le côté d’un triangle rectangle qui a ce rayon lui-même pour hypothénuse et l’ordonnée x pour troisième côté: sa valeur est donc

Va — 7%, et l’on a, conséquemment .... (0) Œ— COS 0". Va—#,

y = sin0Ve — x;

différentiant ces équations, on obtient

' Es zdz A — sin 0. d9 Ve — 2 — — — cos û, Ô Œ — 2 — — zdz dy cos0.d6V/a — 7 — —""— sine, Va — 2

Multipliant la dernière de ces équations par la première des équations (0) et la première par la seconde de ces

mêmes équations (0), puis retranchant le premier produit du second et observant que sin 0 + cos? — 1, il viendra

ydæ — ady = — (a? — #) do = (2° — d)db.

Comparant avec (n), nous aurons

do — RE —a

Cette dernière équation intégrée par approximation, après y avoir substitué pour dt sa valeur précédente, fera connaître la valeur de 0 en fonction de z, et l’on aura ainsi pour un instant quelconque la position du mobile sur la sphère, puisque Z est censé connu en fonction de t.

33. L'expression de la vitesse en un point quelconque de la surface sphérique est donnée immédiatement par l'équation (m), car en désignant par ds élément de la trajectoire et se rappelant que

cette équation est la même chose que

D — 292 +Àc', d’où où = V2 + ec,

la constante c’ est la vitesse initiale ou Ja vitesse qui a lieu lorsque z — 0.

34. Si l’on demande la valeur de la force N égale et opposée à la pression qu’exerce le mobile contre la surface de la sphère, il faut multiplier respectivement chacune des équations (i) par la variable qu’elle renferme et prendre la somme des produits, ce qui donne ..….. (p)

nd? 2 le Re UE à (a+ y +2), — 9: + Na,

à cause de &? y} + 2 = à.

Mais, en différentiant l'équation ({), on trouve

œd'e + dx . de + ydy +-dy . dy+xdx+dz. di= 0,

d’où, en divisant par dé”,

cbr Pyy Eds. de Lt...

CR MORE dË |

Substituant dans (p), on obtient

On choisira toujours celui des deux signes de N qui rend sa valeur positive, parce que cette quantité, qui représente l’intensité d’une force concourante avec d’autres forces en un même point, ne saurait avoir de valeur négative. (Voy. Résuzranre.) Dans tous les cas, abstraction faite du signe, la quantité

est égale à la pression exercée par le mobile contre la surface de la sphère.

55. Mouvement d'un corps autour d'un axe fixe. Lorsqu'un corps solide, qu'on peut toujours considérer comme un assemblage de points matériels liés entre eux d’une manière invariable, est assujetti à tourner uniformément autour d’un axe fixe AB (PI. XVI, fig. 22), ‘si l'on imagine une infinité de plans perpendiculaires à cet axe, on pourra considérer chaque point matériel comme décrivant, dans une révolution entière, une circonférence de cercle sur l’un des plans. Les molécules ou masses élémentaires m, m',m", etc. parcourent ainsi dans le même temps des ares d’un même nombre de degrés, et leurs vitesses respectives seront d'autant plus grandes que les arcs parcourus appartiendront à des circonférences plus grandes. Les arcs d’un même nombre de degrés étant proportionnels à leurs rayons, il en sera de même des vitesses, de sorte qu’en prenant pour unité la distance d’une molécule à l'axe et en désignant par w sa vitesse, qui sera la vitesse angulaire du système, les vitesses des molécules m, m', m', etc., placées à des distances am=—r, am —T', am — 7, ete., seront respectivement représentées par

To, T'o;s ro, rs etc.

Les quantités de mouvement effectives qui animeront les masses élémentaires m, m', m', etc., auront donc pour expressions

Mo, Mr'o, MmTr'o, MT 'o, etc.

Supposons que des forces données en grandeur et en direction agissent simultanément sur toutes ces molécules et leur impriment des vitesses qui seraient v, v', v’, ete., si les molécules étaient entièrement libres ; les quantités de mouvement reçues seront conséquemment

CPU

mo, mo’, mo", m''v'", cte.

et il faudra, d’après le principe de d’Alembert, (voy. «tom. IT, pag. 398) qu'il y ait équilibre entre les quantités de mouvement imprimées et les quantités de mouvement effectives, chacune de ces dernières étant prise en sens contraire de sa direction.

Pour obtenir l'équation d'équilibre, considérons en particulier la masse élémentaire m, et représentons la force mv qui agit sur elle par la partie mn de sa direction; abaissons du point » la perpendiculaire np sur le plan du cercle décrit par cette masse; nommons 0 l'angle nmp entre la force et le plan, et décomposons mn où mv en deux forces, l’une np — mw sin 0 parallèle à l’axe fixe AB, et l’autre pm—mv cos 0, située dans le plan mpa. La première sera détruite par la résistance de l'axe, et la seconde aura son effet. Désignant de même par 9’, 6”, 0", etc. les angles que les forces m'v,m'v", etc. font, avec les plans de rotation des molécules m', m', m'", etc., les quantités de mouvement imprimées aux divers points du système seront

mx cos 0, m'v cos 0", m'v"' cos D", cte.,

et elles se trouveront situées dans les mêmes plans que les quantités de mouvement eflectives mo, Mmrw, mr'o, etc.

Or, puisque toutes ces quantités de mouvement agissent dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation, leur effet doit être le même que sitousces plansn'en formaient qu'un seul ; ainsi, projetant sur un plan perpendiculaire à l’axe , les directions de toutes les forces appliquées, et prenant ces projections pour les directions elles-mêmes (PI. XVI, fig. 25), il faudra, pour que l’équilibre puisse subsister, que la somme des momens, pris par rapport au point fixe à, soit nulle ou que la somme des momens qui tendent à faire tourner le système dans un sens autour du point a soit égale à la somme des momens qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé. (Voy. Momexr.) Mais les directions des forces mo, mr'o, etc., dans le plan de projection, sont tangentes aux circonferences décrites par les masses m, m',m, etc. autour du point fixe &, avec les rayons r, r', r’, etc. Ainsi les momens de ces forces par rapport au centre & seront

mr'o, mr 20, MT°?o, etc.

et comme elles tendent toutes à faire tourner le système dans le même sens, il faut prendre la somme de tous ces momens, qui sera

o [me + mr? + mr? ete. |

Représentant par la caractéristique x la somme de toutes les quantités semblables mr?, m'r'?, cte., wxzmr? désignera la somme des momens des forces effectives, et c’est cette quantité qui doit faire équilibre à la somme des momens des forces mv cos 0, m'v' cos 0", m'v cos 6", elc. Pour obtenir cette dernière, observons que plusieurs des forces peuvent tendre à faire tourner le système dans

un sens et les autres dans un sens opposé : la somme des momens sera donc en général la différence de deux sommes dont la plus grande se composera de tous les momens des forces qui tendent à faire tourner le système dans le sens de son mouvement effectif; si L désigne cette différence, l'équation d'équilibre cherchée deviendra

L = osmr,

et l'on pourra, par son moyen, déterminer la vitesse angulaire w. Abstraction faite des signes des momens, si nous désignons par p, p', p', etc. les perpendiculaires abaissées du centre @ sur les directions des forces mov cos 9, mv cos 0’, etc. nous aurons

L = mvp cos0 m'v'p'cos 6 + mv'p'cos ÿ + etc.

ou bien, en employant encore la caractéristique > pour désigner la somme des quantités semblables dont se compose le second membre de cette égalité,

L = smvp cos 6; l'équation d'équilibre devient ainsi EMvp COS 9 = wIMr?,

d'où l’on tire, pour l'expression de la vitesse angulaire, .... (q)

Emvp cos 0 nr?

36. Lorsque les vitesses », v', v', etc. sont toutes égales, parallèles entre elles, et qu’elles agissent dans les plans de rotation des molécules, les angles 0, 0, 6", ete. sont nuls, et l’on a alors

COS RGOS EE; COSON— 1; COS De—\1, etc.

Dans ce cas , la somme des momens des vitesses devenant

mop + m'op'—Æ m'op' + ete. —v [ur mp + + mp + te. | ;

on peut lui donner la forme vzmp, en conservant à la caractéristique > sa signification générale d’agrégat de

termes semblables, et l'équation (g) devient .…. (r)

vEmp 7 sm?

Goncevons maintenant un plan parallèle à la vitesse y et qui passe par l'axe Üxe, les perpendiculaires

abaissées des points m, m', m', ete., sur ce plan seront égales aux perpendiculaires p, p', p', etc., des centres de rotation sur les directions des vitesses égales et parallèles », v', v', ete., et si l’on nomme q, q', q', ete. les nouvelles perpendiculaires, qu’on désigne en particulier par Q celle qui serait abaissée du centre de gravité du système, et qu’enfin l’on exprime par M la masse totale ou la somme de toutes les molécules élémentaires, on aura, d’après la propriété connue du centre de gravité

MQ = mj+mq —+mg + ete., ou, à cause de q=p,q —=p', q—9p,etc., MQ = zmp.

Observant en outre que les masses élémentaires 5, m', m', etc. sont toutes égales, ct qu’on peut les remplacer par l'élément dM de la masse totale, on voit que la

somme mr? n’est autre chose que l'intégrale de r°.dM, de sorte que l'équation (r) devient définitivement ….(s)

La quantité smr? ou fr'dM se nomme le moment d'inertie du mobile; nous avons exposé ailleurs les moyens d'obtenir sa valeur numérique. ( Voy. Momexr D’INERTIE.)

37. S'il arrivait que quelques-unes seuleffent des molécules m, m', m', etc. eussent recu la vitesse v, on aurait cette autre expression

vM'Q' | r'dM

Le

Gi —=

dans laquelle M'désigne la somme des masses élémentaires qui ont reçu la vitesse v, et Q'la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de cette somme sur le plan mené par l’axe parallèlement à la vitesse.

58. Examinons le cas où diverses forces accélératrices agissant sur les points du système le feraient tourner autour de l’axe fixe avec un mouvement varié.

Soit OZ (PI. XVII, fig. 1) l'axe de rotation, mrs le cercle décrit autour de cet axe par l’une des molécules m, 9 la force accélératrice appliquée au point m, dans la direction Pm, et 9 l'angle PmT que fait la direction de la force # avec la tangente Tm du cercle mrs.

Décomposons la force + en trois autres : la première parallèle à l'axe OZ, la seconde dirigée suivant le rayon Am, ct la troisième dirigée suivant la tangente Tm ; les deux premières seront détruites par la résistance de l'axe, la dernière seule, dont l'expression sera + cos à,

tendra à faire mouvoir le point »m. Nommons r le rayon

Am, et représentant par dm l'élément de la masse, exprimons par » la vitesse angulaire du système après le temps t; la vitesse de l'élément dm sera au même instant et dans la durée infiniment petite dt, cette vitesse croîtra de celle qui sera due à l’action de la force accélératrice.

Ceci posé, observons que si le mobile était libre, la force + cos à lui imprimerait dans l'instant dt une vitesse

?COS0. dt, de sorte qu'après le temps t + dt la vitesse serait

ro + pcosd. dt.

Mais, comme l'élément matériel dm est lié au système, sa vitesse effective après le temps £ + dt est

ro + rdo, et sa quantité de mouvement effective (re + rds)dm , tandis que la quantité de mouvement imprimée est

(ro + pCosû. dt)dm.

Ce; considérations s'appliquant indifféremment à toutes les molécules du système, nous aurons, en général, pour la somme des quantités de mouvement imprimées, l'expression

E (rw + »cosi. dt)dm

et, pour la somme des quantités de mouvement effectives,

E (ro + rds)dm.

Ces dernières quantités de mouvement, prises en changeant leurs directions, devant faire équilibre aux premières, d’après le principe de d’Alembert, il faut que leurs momens, par rapport à l'axe fixe, soient égaux aux momens de ces premières par rapport au même axe, et comme les forces agissent suivant les tangentes des circonférences décrites par les points matériels auxquels elles sont appliquées, il suffit de multiplier chaque quantité de mouvement par le rayon du cercle qui lui correspond pour avoir son moment. L'équation des momens est donc

Z(r'o —rgcos5. dt)dm = :(r° + r’du)dm, ce qui se réduit à... (t)

zr4 cosi . dtdm == 5r?dudm.

Mettant en dehors du signe z les quantités dé et du, qui sont les mêmes dans tous les termes, et observant que la sommation d'une suite indéfinie de quantités infiniment petites est une intégration, on pourra donner à l’équation (f) la forme

de [re cos à. dm — de fram,

d'où l’ontire .... (uw)

ds fre cos. dm

dt 15 dm

Cette expression donnera la vitesse angulaire du système, pour chaque instant du mouvement, après qu’on aura effectué les intégrations pour lesquelles il faut connaître l'intensité et la direction de la force accélératrice # qui agit sur chaque élément du corps, ainsi que la position de ces élémens. On trouvera un exemple d’application au mot PENDULE.

39. Mouvement d'un corps libre dans l'espace. Les lois du mouvement d’un point matériel libre dans l’espace, s'appliquent immédiatement à tout corps, ou système de points matériels, dont tous les points se meuvent avec la même vitesse et décrivent des trajectoires parallèles. Lorsqu'il n’en est point ainsi, on doit se représenter le mouvement du système comme composé de deux mouvemens différens, l’un de translation dans l’espace, commun à toutes les molécules, l’autre de rotation autour d’un point du solide, et particulier à chaque molécule. Supposons, par exemple, que dans l'intervalle de temps que la molécule m du corps A (PI. XVII, fig. 2) a employé pour se transporter de m en m', les autres molécules ont changé de position, de manière que la molécule n qui se trouvait à la droite de la ligne mm se trouye à la gauche ; comme cette molécule est liée invariablement au point m, elle n’a pu prendre cette nouvelle position sans tourner autour du point m, et de même pour toutes les autres molécules. Ainsi, observant que si le mouvement de rotation n’eût pas eu lieu, tous ies points du système se fussent mus parallèlement à la direction imprimée au point m, tandis qu'au contraire, si le mouvement de translation n’eût point existé, le système aurait tourné autour d’un centre fixe », on voit qu'on peut décomposer le mouvement effectif en deux autres et considérer la vitesse de chaque molécule à un instant donné comme la résultante de deux vitesses, l’une égale et parallèle à celle du centre de rotation, l’autre différente pour chaque molécule et dépendant de la distance de la molécule au centre de rotation ainsi que de la vitesse angulaire du

système. La question consiste donc dans la détermination de ces deux espèces de mouvement.

Admettons généralement, pour plus de simplicité, que le point autour duquel tourne le système soit son centre de gravité, et décomposons toutes les forces accélératrices qui agissent sur un élément en trois forces X, Y, Z respectivement parallèles à trois axes rectangulaires coordonnés. Après un temps t, les vitesses de l'élément dm suivant ces trois axes seront

dæ dy dz

G DEN: TOR Ts et après un temps { + dt, elles deviendront &<

dx d dz dz Ban au, 0 do

dt dt” dt dt Ces vitesses sont les vitesses effectives; mais si à la fin du temps t le point matériel eût cessé de faire partie du système et qu’il eût cédé librement à l’action des forces accélératrices qui agissent sur lui, ses vitesses suivant les axes se seraient augmentées dans l'instant dé des quantités

Xdt, Ydt, Cdt,

ct seraient par conséquent devenues & + Xdt,

+ Ydt,

D + Lt.

Retranchant de ces vitesses imprimées à l'élément matériel dm, les vitesses effectives précédentes, nous aurons pour les vitesses perdues ou gagnées par cet élément dans le sens des trois axes les expressions

dx Xdt — de > Ydt — eu

de

dz

Ainsi, d’après le principe de d’Alembert, le corps resterait en équilibre si l’on appliquait à l'élément dm les

quantités de mouvement

(sa — d—— ML

(ra — au Jim,

(za 1. dt qu,

correspondantes à ces vitesses perdues ou gagnées. Ceci s'appliquant à toutes les molécules du système, et l’équilibre du corps supposé libre exigeant que les sommes de toutes les forces parallèles à chaque axe soient nulles séparément, nous aurons les trois équations

J [ (xue — 4%) dm = 0, : UN jus

fa — 47) Am = 0,

fa — a GE) am = 0,

d'où l’on tire... (z)

les intégrantes doivent être prises dans toute l'étendue de la masse du corps.

Soient, maintenant, &,, ÿ,, %, les coordonnées du centre de gravité et M la masse du mobile, nous avons, d’après les propriétés connues de ce centre

L L Mz, = | xdm, My, = | ydm, Mz, = | zdm.

Différentions deux fois de suite ces équations en regar-

dant M et dm commé des constantes et æ,, Y,; Z,, æ, y, # comme des fonctions du temps {, nous ob-

tiendrons re M cr = EF dm, M Le = Eam.

Substituant à la place des seconds membres leurs valeurs (x), nous trouverons pour les équations du mouvement du centre de gravité ..…. (x)