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pe (55 , d?z

” dxdy? dy? ?

et la valeur de ce rayon ne variant pour chaque point donné que par la quantité m qui varie seule lorsque le plan sécant normal tourne autour du même point donné (æ, y, z) sur la surface, il est visible que le point (æ, y, Z) ne peut être un ombilic qu’autant que la valeur du rayon £ demeure la même pour toutes les valeurs de m. Ainsi, pour obtenir la condition de l’existence d’un ombilic, il faut établir entre les quantités P; Gr, s, t des relations qui rendent le second membre de (a) indépendant de la variable m. Observons, pour cet effet, qu'une quantité fractionnaire de la forme

a+ bæ-+cx* a'+b'æ+ c'x?

bien que renfermant une variable æ, devient constante quand les coefficiens de chaque puissance de la variable ont entre eux le même rapport; car en posant

cette quantité devient

d'A + b'Ar.+c'Ar A abc

Ainsi, le point (æ, y, z) sera un ombilic si l’on a la double équation... (b)

bee po nolepiois r 8 t

Il résulte de ces considérations que, pour trouver si une surface donnée admet des ombilies, il faut déduire de son équation F(æ, y, z)—0 les dérivées différentielles p, q, r, s, t, puis poser les deux conditions (6) qui, jointes à l'équation de la surface, formeront un système de trois équations finies, lequel n’admettra des valeurs réelles pour æ, y, & que s’il existe des ombilics. Chaque système de valeurs æ, y, & correspondra à un ombilic, d’où l’on voit qu'en général le nombre de ces

points est limité sur une surface donnée.

34% OMB

Lorsque les deux équations (b) se réduisent à une seule vraiment distincte, celle-ci, jointe à l’équation F(x, y, z) — 0, détermine sur la surface donnée une courbe dont chaque point est un ombilic, et qu’on nomme la ligne des courbures sphériques, parce que dans chacun de ces points la surface offre une courbure uniforme comme celle d’une sphère.

La surface de la sphère est la seule qui offre une courbure uniforme tout autour de chaque normale. On peut s'assurer que chacun de ces points est un ombilic en observant que la condition (b) se trouve remplie par tout système de valeurs des coordonnées x , y, capable de satisfaire à l’équation de la sphère

En effet, les dérivées différentielles tirées de cette

équation sont :

OSC Voyez, pour tout ce qui concerne les ombilics, un mémoire de M. Poisson inséré dans le 21° cahier du Journal de l'Ecole polytechnique.

OSCULATEUR. (Géom.). On estime la courbure d’une ligne quelconque, en un point donné, par l'arc du cercle qui, ayant deux élémens communs autour de ce point, présente la même courbure que la ligne. Le rayon du cercle se nomme rayon de courbure, et le cercle lui-même cercle osculateur. En général, deux lignes sont dites osculatrices l'une de l'autre lorsqu'elles ont le même rayon de courbure à leur point de contact. (Voy. Coursure, tom. I.)

La courbure des surfaces ne peut pas être assimilée à celle de la sphère, car cette dernière est uniforme tout autour d’une même normale, ce qui n’a pas ordinairement lieu pour une surface générale. Ce n’est qu’en imaginant divers plans passant tous par la normale de la surface au point donné , qu’on peut calculer les rayons de courbure des sections de ces plans et juger de la courbure de la surface autour du point par la comparaison des courbures des sections. (Voy. SECTION.)

Deux surfaces sont dites osculatrices lune de l’autre en un point où la normale est commune, lorsque toutes les sections normales sont respectivement osculatrices.

On peut comparer la courbure d’une surface quelconque, en chacun de ses points, à celle d’un ellipsoïde dans un de ses sommets (voy. RAxYON DE courBure); l’ellipsoïde est dit alors osculateur.

di. x PE, z?

EU To z° be nm 2 = L—., en d’z ay dxdy = ; d’z + y RACE AO FE D'où Paru ei cas | UE L'hctque LOUE De en 2 MAS nr — # ) li C2 = —— Z.

x S t PAR

PARALLAXES. (4st.) Pour ne laisser rien d’essentiel à désirer sur le calcul des parallaxes dont il a été parlé daus ce dictionnaire, montrons comment les astronomes passent des coordonnées du lieu d’un astre rapporté à l'équateur et vu du centre de la terre à celles de son lieu apparent. En d’autres termes, cherchons l'ascension droite et la déclinaison apparentes en fonction de l'ascension droite et de la déclinaison vraies.

Soit C le centre de la terre pris pour origine des coordonnées rectangles, et concevons l’axe des æ passant par le point équinoxial du printemps, l’axe des y dans le plan de l’équateur, et celui des z passant par le pôle boréal de ce cercle. La position de l’astre E , sujet à la parallaxe, sera connue par ses distances à ces trois axes :