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ou lorsque la grandeur absolue de z est celle de la bauteur due à la vitesse initiale v’.

Si nous prenons

le point M'sera donc celui où la vitesse du mobile est nulle, et où, n'étant plus soumis qu’à l’action de la pesanteur, il doit commencer à redescendre le long de Parc M'A, acquérant à chaque instant du mouvement un nouveau degré de vitesse; de sorte que, de retour en À, sa vitesse se retrouvera de nouveau être égale à

v? 2= v"? + 2qh.

En effet, la vitesse acquise par la chute le long de l'arc M'A est la même que celle qui serait due à la hauteur AQ; or

AQ = PQ + AP —Mz+X;

donc la vitesse en A est

VW. og E ogh = V/01— ogh.

Du point À, le mobile remontera sur la branche AM; mais il dépassera le point de départ primitif M; car la vitesse ne redeviendra nulle qu’en un point M", dont la hauteur verticale au-dessus de A sera la même que celle du point M". Parvenu en M'”, il redescendra de nouveau pour remonter sur l’autre branche en M", et ainsi de suite indéfiniment. A l'exception du premier arc MA, chaque arc de descente étant égal à l’are de montée , le mobile oscillera autour du point le plus bas À ; la durée de la première oscillation MA différera seule de la durée de toutes les autres, qui seront isochrones.

Si la vitesse initiale v' était assez grande pour que le mobile parvint au point A'avant d’avoir perdu toute sa , et au lieu d’os-

vitesse, il redescendrait par l’arc A'M ciller il parcourrait un nombre indéfini de fois et dans des durées égales la circonférence entière du cercle. Dans le cas des oscillations, qui est le seul que nous ayons à considérer, nous pouvons supposer la vitesse initiale Ÿ — 0, ce qui revient à transporter l’origine des coordonnées au point M''et à ne point tenir compte de la première oscillation MA. Pour ne rien changer aux dénominations précédentes, nous admettrons qu’après avoir élevé le mobile au point M, on l’abandonne simplement à la pesanteur ; les arcs d’oscillations seront alors MA et AM’, et l'expression de la vitesse en un point de l’arc total MAM', dont l’ordonnée verticale est Z; Sera... (0)

Désignons par s l'arc Mm compris entre le point de départ M et un point quelconque m de la circonférence, et par { Le temps employé à décrire; nous aurons

d'où, en comparant avec (b), ..…….

ds

Cette équation nous fera connaître le temps t en fonction de l'arc parcouru s et réciproquement ; mais pour plus de simplicité, il faut exprimer l’ordonnée z en fonction des coordonnées du cercle décrit par OM. Prenant le point À pour origine et comptant les æ sur

le diamètre vertical AA’, l'équation du cercle sera y = 2ræ — a}, etnous aurons pour le point quelconque m

AP=X, pMm—7Yy.

Ainsi, l’ordonnée verticale z ou Pp du point m deviendra AP — +, ou

Zz=h— x.

Cette valeur, substituée dans les équations (b) et (c), les rendra

la dernière équation devient

__ Vaädm+dy

Vas

en y substituant à la place de ds sa valeur générale V'dz! + dy.

Or on tire de l’équation du cercle, par la différen-

tiation,