EME

d 4 y et par suite,

de Udf=ds. Se da’, 2 1

Substituant à la place de y? sa valeur 2rœ — ax, il viendra, toutes réductions faites,

2 RE — 2 = da? + dy? = dx = sl

{are — | : AEL — «|

Nous donnons le signe — au second membre, parce que æ diminue à mesure que £ augmente.

L'intégrale de l’expression (d), prise entre les limites æ—h,æ— 0, donnera le temps de la descente le long de l'arc MA, c’est-à-dire la durée d’une demi-oscillation; mais on ne peut l’obtenir sous une forme finie par les procédés connus jusqu'ici. Pour la développer en

série, donnons à cette expression la forme

ares y

J V4 ee |.

et observant qu’en vertu du binome de Newton nous

avons

La 2 1 “A 1.3 x?

(-—*) HUE mie do ME

Dr OR MURS

il viendra

1 r dx 1 © a=— |" 3 Vire h EE CE ae... |.

Les intégrales des différens termes de cette expression, abstraction faite du facteur commun et constant,

sont toutes comprises sous la forme

152 —x".dr, 1, (ar) JV 27

de sorte qu’en posant

A — DRE à.

0 JV x — 2?

A = — xdæ À V'hx — x?

PE 2 A, SE} V’hæx — x etc.— elc.

on a 1 r RS 1.000 elles meet

+ ne ga A, +e..|.

Le terme général de cette série est 1 ce AN = =. 5. (—) .A.

Lorsqu'on prend les intégrales depuis + — À jusqu’à æ — 0, leurs valeurs A,, À,, À,, etc. , sont liées entre elles de manière qu’il suffit de connaître la première pour obtenir toutes Les autres. En effet, l’intégration

PEN par parties (voy. Ixrécraz, tom. IT) donne l’expression générale

aide dt AVR V'hx — x? p hou — à) (— à 7 ‘dx ( (als ) LES

Or, aux deux limites æ— 0, æ — h le premier terme du second membre se réduit à zéro, et l’on a simplement — a"dx

Vhz — x? 2p

ou PLIS) Aus

faisant successivement dans cette dernière expression = 1, = 2, etc., on obtient

À, — = hA,,

MSA = LEA, 5 LANGE

3 = 6 kA, = Fe 4.6 h'A,, etc.— elc. ; et, en général, F2 j

Em = rh . À

Pour déterminer la valeur de A, , nous avons généralement (voy. InréGraL, tom. IT)

dx 2æ— h Des il — constante,

intégrale qui, prise depuis æ = h jusqu’à æ — 0, se ré-

duit à arc [ces = — ] = T3

# désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon — 1. Ainsi la valeur de A, est pi2

1 He

À = — rh pi 2"

et le terme général du développement (d) devient : r pla 2 Fe 47.6) 2 Ta Ge 27 Désignant donc par T la durée d’une oscillation entière,

qui est le double de celle de la demi-oscillation, nous. aurons définitivement ….. (e)