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les équations de la tangente deviendront
et il ne s’agit plus, pour obtenir ie lieu géométrique des tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par
PLA 357 le point æ', y,z, que d'éliminer entre ces équations
= qui distingue seule la courbe particu-
dx
lière que nous avons considérée jusqu'ici. Opérant cette
la quantité
élimination, il vient (5) 5—2=p(r— x) +q(y—y).
Cette équation étant du premier degré par rapport aux variables æ, y, z, appartient au plan qui touche la surface au point æ', y', z', et l’on voit en outre que le lieu de toutes les tangentes est bien un plan, comme le supposait la définition générale du plan tangent. Nous remarquerons cependant qu’il existe des points singuliers dans certaines surfaces pour lesquels cette proposition
n’a pas lieu; tel est, par exemple, le sommet d’un
: : ( cône; c’est ce qu'on reconnaît par les valeurs —, que
prennent alors les dérivées partielles p et q.
On peut donner à l'équation (5) une forme plus générale en tirant les dérivées p et q de l'équation
Hire ys ze) 0;
sans la résoudre préalablement par rapport à 3". Différentiant successivement par rapport à &' et à y', il vient
dr dr de ogg she?
dr dF K
LENCO anE
Substituant dans (5) les valeurs de p et deg données par ces équations, on obtient pour l’équation du plan tangent .... (6)
. dF , dF x 4 CR ANS At
Prenons comme exemple d'application les surfaces du second ordre, que nous pouvons comprendre toutes sous la forme générale (voy. GÉOMÉTRIE AUX Toys pr- MENSIONS, n° 61) ,
Az + A'y° + A'2? + 2Cæ + 2C'y + 2C'z HE — 0.
Nous aurons ici F—Axz?+Ay?+A'27—+92Cx +a2Cy +oC's LE,
d’où nous tirerons les trois dérivées partielles P
dF , :
= Ta 24x' + 2C, dr PE ; Tor 2A'y + 2C', dE
358 PLA Ces valeurs substituées dans (6) donnent ….. (7)
Ge + Ge 2) + (AY CGT) À 2
(az + C')(z 7) Telle est l'équation générale du plan tangent à une surface quelconque du second ordre. Cette équation se réduit à... (8) Ada A'yy + A'xz +E—0
pour les surfaces qui admettent un centre.
S'il s'agissait, par exemple, d’un ellipsoide à
trois axes
2 2 m2 z y z & — — [a] SAUT hs QE , on ferait Abc, A'—= ac, A = db, E— br
et l’on aurait, pour l'équation de son plan tangent en
un point quelconque æ', ÿ'; 4‘; bexa +. ay + abzz — db’c — 0.
Dans le cas particulier de à = 4, y —0,z: = 0, où le point donné est le sommet qui se trouve sur l’axe
des æ, l'équation précédente devient b’c'ax — ab?c? — 0,
ce qui donne
équation d’un plan parallèle au plan des y£ (voy. GÉO., n° 20), et, conséquemment, perpendiculaire à l’axe des æ. On trouverait de la même manière que les plans tangens aux autres sommets sont perpendiculaires aux axes de ces sommets, quant aux plans tangens aux autres points de l’ellipsoïde, eten général aux points quelconques d’une surface du second ordre douée d’un centre , on peut voir qu'ils sont parallèles au plan diamétral conjugué avec le diamètre qui passe par le point de contact. En effet, nous ayons vu (Géom., n° 60) que le plan diamétral conjugué avec une corde quelconque,
représentée par les équations (9) … rm Ep, y=nz +4; a pour équation
(Am + B'n + B')x + (An + B'm+By + (AE Bn+B'm)z + Cm + Cr + C'
Toutes ces équations se rapportent à trois axes rectan-
gulaires coordonnés quelconques pour lesquels l’'équation générale des surfaces du second ordre est de la forme
Aa? + A'y°
L Az? Bay + Baxz + B'yz (ie + Ce Gy+Cr+D f 7
PLA
Or, pour ne considérer que les surfaces douées d’un centre et rapporter leur équation à leurs trois diamètres principaux, il suffit de poser
B— 0, VB —0,/B—0 660, C— 0: C0
et l’équation du plan diamétral conjuguée avec la corde (9) se réduit à .… (10)
Amaæ + A'nz + Az = 0.
Ceci posé, si la corde (9) est le diamètre mené du point de contact +, y, 3° d’un plan tangent, elle passe par le centre, et ses équations deviennent
X y DM NE, YU D'où æ' Y' m — Ho Z 4
Substituant ces valeurs dans (10), nous obtiendrons, pour l'équation du plan diamétral conjugué avec le diamètre en question
Axa + A'yy + A'zz = 0,
équation qu'il suflit de comparer avec l'équation (8) du plan tangent pour reconnaître que ce dernier est parallèle au plan diamétral (voy. GÉo., n° 29).
Dans une sphère, tous les plans diamétraux étant perpendiculaires à leurs diamètres conjugués, il en résulte que le plan tangent à un point quelconque de sa surface est perpendiculaire au rayon de ce point.
Nous déduirons encore des expressions précédentes l'équation générale de la normale à une surface quelconque. Cette normale étant la perpendiculaire au plan tangent, menée par le point de contact æ', y, #', ses équations sont de la forme (voy. Gkom., n° 9)
a— x —a(z— zx), y—y —=c(z—2),
et comme l'équation du plan tangent, trouvée cidessus , est
z—z == p{a—x)+q(u-wy);
on a, d’après les conditions déterminées (GÉOM. Aux TROIS DIM., n° 25),
Ainsi, les équations de la normale sont
z— 2 +p(r—x) =0, y—y az
d’où l’on peut conclure que les angles &, B, y, formés
PNE
par cette droite avec les demi-axes coordonnés positifs ont pour expressions (GÉon., n° 12)
—E COS «x —= = == V’p° sr cos B — ——) Ë Pa pu COS y —=
