ETES
Si l'on substitue dans ces formules les valeurs des dérivées p et q en fonctions des dérivées partielles de l'équation F(æ, y, z) = 0, elles prendront la forme
dr cos « — V > cos B — … dE cos y — V > en faisant, pour abréger,
LG) +) +G)T
Ces expressions sont employées dans la théorie du mouvement d’un corps assujetti à se mouvoir sur une surface donnée. (Voy. Mouvement, 51.)
PNEUMATIQUE. Branche de la mécanique générale qui a pour objet les lois du mouvement des gaz ou fluides élastiques.
La théorie du mouvement des fluides est, comme nous lavons dit ailleurs (voy. HYxpnODYNAMIQUE , tome IL), la partie la moins avancée de la mécanique ; aussi nous attacherons-nous principalement aux résultats constatés par l'expérience, et qui peuvent être employés utilement dans la pratique.
1. Lorsqu'un gaz est renfermé dans un vase clos, il exerce, abstraction faite de son poids, des pressions égales sur tous les points des parois et dont l'intensité dépend de:sa densité et de sa température (voy. Force ÉLASTIQUE). Si le vase était placé dans un espace vide limité et qu’on ouvrît un orifice à l’une de ses parois, le gaz s’écoulerait par cet orifice et se répandrait uniformément dans l’espace vide avec une vitesse d’écoulement qui diminuerait avec la densité du gaz dans le vase; cette vitesse deviendrait nulle et l'écoulement cesserait lorsque la force élastique de la portion écoulée pourrait faire équilibre à celle de la portion restant dans le vase, c’est-à-dire lorsque la densité serait la même au-dedans et au-dehors du vase. Si au lieu d’être
PNE 359
placé dans un espace primitivement vide le vase se trouvait dans un espace plein d’un autre gaz, la vitesse initiale de l'écoulement dépendrait de la différence des forces élastiques ou des pressions intérieures et extérieures , de sorte que dans le cas où la pression du gaz intérieur serait la plus petite, non seulement il ne pourrait s'échapper, mais il serait encore refoulé dans le vase par le gaz extérieur qui y pénétrerait en vertu de la supériorité de sa force d'expansion,
2. Dans ces divers cas d'écoulement, la vitesse est nécessairement variable, car à mesure que la masse gazeuse diminue dans le vase, la portion restante augmente de volume, pour occuper toujours toute la capacité du vase, ce qui diminue sa densité, et par conséquent sa force élastique. Il est visible que la vitesse de l'écoulement ne saurait être constante, à moins que la pression qui la détermine ne soit elle-même constante, et que la résistance due au milieu dans lequel le gaz s'écoule demeure la même pendant toute la durée de l’écoulement.
3. Pour fixer les idées, imaginons un cylindre vertical exactement fermé et rempli d’air à l’état ordinaire, c’est-à-dire à la simple pression de l'atmosphère ; si lon perce un orifice à la base inférieure, aucun écoulement n'aura lieu, car les molécules d’air intérieur qui se trouvent devant cet orifice éprouvent de la part de l’air extérieur une pression égale et opposée à leur pression intérieure ; mais si l'air intérieur vient à subir un surcroît de pression, si, par exemple, la base supérieure du cylindre est un piston mobile qu’on charge d’un poids, l'air intérieur se trouvera plus comprimé que l’air extérieur et s’échappera au dehors en vertu de cet excès de pression; et comme l’espace occupé par le gaz dans le cylindre diminue à mesure qu’il s'écoule, parce que le piston descend, il en résulte que la pression et la densité du gaz intérieur sont les mêmes pendant toute la durée de l'écoulement, dont la vitesse est conséquemment constante , car la résistance de l’air extérieur ne saurait être modifiée par les portions de l'air écoulé qui viennent se perdre dans l’espace illimité qu’il occupe.
4. Nommons p le poids de l'atmosphère et P le poids additionnel qui charge le piston, les molécules intérieures en face de l’orifice seront poussées de dedans en dehors par la force p + P, et de dehors en dedans par la force p; ces deux forces agissant dans des directions opposées, leur résultante sera p+ P—p=—P, et, par s’il était dû à la seule force P et qu'il s’effectuñt dans le vide.
conséquent, l'écoulement aura lieu comme s
5. On ramène théoriquement l'écoulement des gaz à celui des liquides en considérant le gaz qui s'écoule comme un liquide d’égale densité dont la charge audessus de l’orifice (voy. Écouremenr) a pour hauteur la hauteur de la colonne liquide dont le poids serait égal à
360 PNE
la pression qui produit l’écoulement ; ainsi, désignant par b la hauteur d'une colonne d’air qui aurait pour base le piston et dont le poids serait P, nous aurons
pour la vitesse Y de l'écoulement, V—V/2gb.
Comme il est d'usage d'évaluer la pression des fluides élastiques en colonnes de mercure, supposons maintenant qu'un manomètre à Mercure (voy. Force ÉLAS- TIQUE) soit adapté au cylindre et s'élève à une hauteur k', tandis qu’un baromètre placé dans l'air extérieur s'élève àune hauteur h; h' représentera la pression p-+P de l'air intérieur, et la différence des hauteurs h —k, que nous désignerons par H, représentera la pression due au poids placé sur le piston et qui détermine l’écoulement. Il s’agit donc d'évaluer b en fonction de H pour n'avoir à considérer que des colonnes de mercure: On emploie souvent, pour mesurer les pressions plus grandes que la pression moyenne de l'atmosphère, des manomètres ouverts à leur extrémité supérieure; de sorte que le mercure qu'ils contiennent est pressé dans l’une des branches par le gaz et dans l’autre par l'air extérieur; la hauteur qu'ils marquent est alors la différence entre la pression intérieure et la pression de l’atmosphère ou la quantité que nous venons de désigner par H. Nous supposerons ; dans tout ce qui va suivre; qu’on se sert de semblables instrumens. - L'évaluation de b en fonction de H ne présente aucune difficulté, car puisque ces hauteurs appartiennent à des colonnes de même base, celle du piston, et de même poids P, elles sont entre elles dans le rapport inverse des densités de leurs fluides respectifs; ainsi, désignant par A la densité du mercure et par à celle de
l'air, on a
Substituant cette valeur de b dans celle de V, on ob-
tient .….. (a) er Y — L. H=.
6. Cette expression peut s'appliquer à tout autre gaz que l'air atmosphérique, en entendant par à la densité de ce gaz, etil en résulte une conséquence très-importante. Soient à et à les densités de deux gaz quelconques, H la pression sous laquelle ils s’écoulent, et Y et V' leurs vitesses respectives, nous avons
M , M Venere désignant, pour abréger, par M la quantité V’2gHa;
Ni
