SE NN

mettant cette valeur dans celle de R, on obtient

Ru PH + (aa Fo

TARN TRIER LES On peut donner à ces expressions des formes plus simples en multipliant les deux termes de la première par V/a! ++ (a — b), et les deux termes de la seconde par Va? + b — (a—b); toutes réductions faites et en posant pour abréger

V/a Eb=c,

Tox. nr

PON 389 il vient... (15) LE be "= e+G—5?

ac ED)

On construit très-facilement ces deux expressions en menant la droite AD, lui retranchant la partie DP — a—b et élevant une perpendiculaire CO sur le milieu H du reste AP; les points R et Q, où cette perpendiculaire coupe les deux axes de la courbe, sont les centres cherchés.

26. L'évaluation de l’aire mixtiligne ACDC'B s’effectuera, comme nous l’avons indiqué ci-dessus, en retranchant de la somme des aires des trois secteurs ARC, COC’, C'QB, l'aire du triangle ROQ. On calculera préalablement le nombre des degrés des arcs AC et CC, au moyen de la relation suivante, donnée par le triangle rectangle ORN

sin RON — OR

nommant vla valeur en degrés de l'angle RON , on a 9 = are CC’, et 90° — » — arc AC,

car l'angle RON est la moitié de l'angle COC' et le complément de l'angle ARC.

27. Toutes les fois que la montée DN n’est pas plus petite que le tiers de l'ouverture AB, on peut se contenter de décrire l’anse de panier avec trois arcs de cercle; mais dans les autres cas, comme le passage d’un arc à l’autre deviendrait trop sensible, il faut employer cinq arcs. Voyez, pour les anses de panier à cinq arcs, notre premier volume, page 92.

28. Les arches en arc de cercle sont d’une construction plus facile que les arches en anse de panier. L’arc de la voûte aDb (PI. XIX, fig. 5) est entièrement déterminé par la position des naissances et par sa flèche DH, car un seul arc de cercle peut passer par les trois points a, D, b.

Cette forme donne un débouché moins grand que l'anse de panier, lorsque les naissances sont plongées dans l’eau, et devient dès lors désavantageuse ; aussi dans la plupart des ponts où elle a été employée on a eu le soin de placer les naissances au niveau des grandes eaux. Quand il est possible d'adopter cette dernière disposition, sans que la voûte sôit trop surbaissée pour que l'ouvrage puisse présenter la solidité nécessaire, on doit préférer les arches en are de cercle à toutes les autres.

Le calcul de l’aire totale d’une telle arche se réduit à l'évaluation de l'aire du rectangle aCEb et à celle du

segment «Db. On obtient le rayon DO de l’are aD, au moyen des deux quantités données ab et DH, par l’ex-

pression

D û Sens

dans laquelle r = DO, k— aH, f = DH;

ou bien encore, en caleulant d’abord l'angle aOD — « et en substituant sa valeur donnée par l'expression

1 Î tang -a = > ae Fe dans la formule k Sin g "

(Voy. Ixrcexion.)Connaissant le rayon DO, la détermination de l'aire du segment s'effectue comme il a été indiqué ci-dessus.

Quant à l’aire du débouché offert aux grandes eaux ; c’est celle du rectangle aCEb, et elle est par conséquent la plus grande possible.

29. Les trois espèces d’arches que nous venons de considérer sont les seules dont an fasse maintenant usage en France. L’anse de panier a remplacé la demiellipse, qui offre une courbure plus uniforme et plus agréable à l'œil, mais qui a le désavantage de eompliquer la coupe des voussüirs et de ne pas donner autant de débouché. L’arche gothique ou en ogive, formée de deux arcs de cercle (PI. XIX, fig. 7), n’a pas été employée par les modernes, malgré la simplicité de sa construction et son extrême solidité; l'élévation qu’elle exige dans la voie du pont, jointe à son peu de débouché, sont des inconvéniens qui ont paru plus grands que ses avantages.

50. Le choix qu’on doit faire entre les différentes espèces d’arches ne saurait être assujetti à des règles générales. La surface du débouché qu’il faut donner à la rivière, la différence des niveaux des plus basses et des plus grandes eaux, la hauteur à laquelle on est le maître d'élever la surface du pavé du pont, la nature des matériaux qu’on a à sa disposition et le degré de résistance dont ils sont capables, en un mot, toutes les circonstances locales devront être consultées avec soin, car la forme la plus convenable est celle qui s'accorde le mieux avec ces circonstances.

51. Il en est de même de la grandeur à donner aux arches, cette question dépend de la localité ; cependant on peut poser en principe que les grandes arches doivent être employées de préférence pour les fleuves et les grandes rivières, et les petites pour les rivières tranquilles dont les eaux ne s'élèvent pas à une grande hau-

teur, Afin de laisser un passage libre au fil de l’eau, le nombre des arches doit être toujours impair; on peut faire l'arche du milieu plus grande que les autres, et diminuer progressivement l'ouverture de ces dernières ; de manière que les deux plus petites joignent les culées ; ou bien on peut faire toutes les arches égales entre elles, ce qui permet de les cintrer toutes avec les bois qui ont servi pour les deux premières. Cette dernière disposition augmente la hauteur des abords du pont et oblige ordinairement de faire des levées plus considérables et plus dispendieuses. Quel que soit le parti qu'on prenne à cet égard, il est essentiel de donner aux arches une hauteur suffisante pour que, dans les grandes crues, les corps étrangers que la rivière peut entraîner trouvent une libre issue sous les arches. Quand les arches sont égales, leur hauteur au-dessus des grandes eaux ne doit pas être moindre d’un mètre ; quand elles sont inégales , cette hauteur peut être de 1,40 pour la plus grande, et de o°,70 pour les deux plus petites.

51 bis. Les questions précédentesne sont, pour ainsi dire, que préliminaires , et lorsqu'on a déterminé la courbure des arches, il se présente trois difficultés trèsgraves, que la science ne peut encore résoudre rigoureusement. Il s’agit :

1° De fixer l’épaisseur des culées à proportion de la grandeur des arches et des poids qu’elles doivent supporter;

> De trouver la largeur des piles ;

5° Et enfin, de déterminer l’épaisseur des voûtes à la clef.

52. La dernière question domine les deux premières, car la grandeur et la direction de la poussée, et par suite la résistance que doivent opposer les points d'appui dépendent de l'épaisseur de la voûte à la clef. Or, en supposant que les voussoirs soient incompressibles , qu’ils soient posés les uns sur les autres sans cales ni mortier, et que la voûte ne puisse prendre aucun tassement, il est évident qu'il suflirait, pour l'équilibre, que la hauteur de la clef fût assez grande pour que la pierre ne s’écrasit pas sous la pression qu'elle aurait à supporter, les culées ayant d’ailleurs l'épaisseur convenable. Dans cette hypothèse, il faudrait calculer, par le procédé exposé plus loin, la pression horizontale que les deux demi-voûtes exercent l’une sur l'autre, et connaitre la résistance de la pierre qu’on doit employer; la hauteur de la clef s’en conclurait de la manière suivante; soient

P la pression par mètre de longueur ;

Q la résistance de la pierre par centimètre carré de surface ;

æ la hauteur de la clef, exprimée en mètres.

La surface qui supporte la pression P ayant un mètre de longueur sur une hauteur +, a pour expression 1 Xæ ou æ*3, chaque centimètre carré de cette surface offrant une résistance R, la surface entière offre une résistance représentée par

æ?1 os ovor : L?

mais cette résistance doit faire équilibre à la pression P, ainsi l’on a l'équation

æ OP 0, 0001 Q À d’où l'on tire æ == 0,0001 cs == 0, nn

Supposons, par exemple, que la pression ait été trouvée de i41000 kilogrammes, et que la voûte doive être construite en pierre de Saillancourt qui s'écrase sous un poids de 2994 kilog. par 25 centimètres de surface ; comme on ne doit pas faire porter aux pierres (voy. Résisrance) un poids plus grand que le tiers de celui sous lequel elles S’écrasent, on admettra que la résistance est de 1000 par 25 centimètres carrés où de 40° par centimètre carré ; On fera donc

k k Q=#40; P — 141000 , et on trouvera

" 141000 DE 6,6641 : LH1O00 je Bas

55. Cette déterminätion repose sur des hypothèses qui ne se rencontrent jamais exactément dans la pratique; on ne doit donc la considérer que comme donnant une limite dont on peut essayer d'approcher, mais qu'il serait dangereux d'atteindre. Les données du calcul précédent sont prises sur le pont de Neuilly, que l’on compte au nombre des plus hardis, et qui a cependant 1,624 de hauteur à la clef.

54. Jusqu'ici les ingénieurs ont employé diverses règles empiriques pour déterminer l'épaisseur des voûtes. Voici celle que donne le célèbre Perronet, auteur du pont de Neuilly et de plusieurs autres non moins remarquables par leur hardiesse. Soit a l’ouverture de l'arche exprimée en mètres, et æ la hauteur de la clef, il faut faire

a a mn PS — TG c'est-à-dire, retrancher du vingt-quatrième de l’ouver=

ture, la cent quarante-quatrième partie de cétte même ouverture, et ajouter 525 millimètres au reste. Les ré-

sultats donnés par cette règle s'accordent avec les hauteurs employées dans les ponts connus, surtout pour les ponts en plein cintre; mais ils diffèrent tellement en plus de ceux de la théorie, qu’on pourrait, sans aucun doute, exécuter des ponts beaucoup plus hardis et plus légers que tous ceux qui ont été construits jusqu’à présent. Telle est du moins l’opinion de Gauthey, à qui l’on doit accorder une grande autorité dans ces matières.

35. La question de l'épaisseur des culées n’admet pas encore de solution rigoureuse, mais elle a été considérablement éclaircie par les expériences de Gauthey et de Boistard sur la rupture des voûtes. « Lorsque la clef est posée (Gauthey, Traité de la construction des ponts) et que le décintrement est fait, les parties supérieures de la voûte DE et dE (PI. XIX, fig. 8) ne sont plus soutenues que par leur pression réciproque et à raison du tassement qui se produit, leur point d’appui commun se trouve nécessairement porté en E à l’extrados : les joints tendent donc à s’y resserrer, ainsi qu'on l’a observé constamment, et quelques constructeurs ajoutent même à cet effet, en ÿ chassant des coins de bois dont l’objet est d'augmenter la solidité de la voûte en même temps que l’énergie de la pression que ces deux parties exercent l’une sur l’autre, et au moyen de laquelle elles se soutiennent mutuellement. »

» Cependant l'effort de cette pression se reporte nécessairement vers les culées et les parties inférieures de la voûte, qu’il tend à renverser en les faisant tourner autour de leurs arêtes extérieures K et #. Chäque moitié de la voûte se sépare en deux parties à de certains points D et d, qui servent de points d’äppui aux parties supérieures, et par lesquels leur effort se transmet aux culées ; ces points d’appui se trouvent nécessairement placès à l’intrados; si les culées n’ont pas assez de stabilité pour résister à l’effort de la voûte. les quatre parties s’écroulent en tournant autour des points K, D, E, d et k. Si elles sont capables de le soutenir, l’effet du lassement se bôrñe à faire resserrer les joints à l'extrados près du point E et à l’intrados près des points d'et D; et à les faire ouvrir à l’intrados près du point F et à l’extrados près des points d’ et D'.»

On suppose ici qu'il y a un joint vertical EF au somimet de la voûte, tandis qu'il s’y trouve un voussoir en réalité; mais cette hypothèse ne produit pas d'erreur sensible pour la détermination des points D et d, qu'on nomme les points de rupture, et qu'il est principalement essentiel de connaître.

56. D'après ces considérations, déduites d’un grand nombre d’expériences, on peut réduire les diverses parties d’une voûte à un système de quatre leviers KD, DE, Ed, dk, chargés chacun des poids respectifs des parties qui leur correspondent et susceptibles de tourner autour des points d'appui K, D, E, d, k, où ils sont

liés entre eux par des charnières. De cette manière, la question de l’équilibre de la voûte se trouve ramenée à celle de l'équilibre de ces leviers.

Or, si les points N, M, m, n sont ceux où les leviers sont rencontrés par les verticales qui passent par les centres de gravité des parties correspondantes de la voûte, on peut imaginer que les poids respectifs de ces parties sont réunis à ces points, et comme la voûte se trouve partagée en deux parties symétriques par la verticale EC, il suflit de considérer les deux leviers KD et DE dont le premier, chargé en N d’un poids #, a son point d'appui en°K, et dont le second, chargé en M d’un poids 7, a son point d’appui en D.

En effet, il n’y aura évidemment rien de changé au système, si à la place du poids + on substitue deux autres poids, l’un appliqué en D et représenté par (voy. RÉSULTANTE)

PA ÉNIEUS MIGEE F + DE °U Pa F+ F0?

et l’autre appliqué en E et représenté par DM FQ Te. ; Ou par FL RQ:

DE Mais si l’on décompose ce dernier en deux forces, la première horizontale

FQ DQ 6)... mr. =. +, (16) Fo ro:

et la seconde, agissant dans le sens du levier DE, FQ ED

la première sera détruite par la force horizontale égale et opposée de l’autre partie supérieure Ed de la voûte,

et la seconde seule agira en D sur le levier KD. Ce levier sera donc sollicité par trois forces différentes, le

la force verticale ne Œ EQ qui ED

EQ qui agit en D

poids » qui agiten N, en D, et enfin la pression # 5e ; dans la direction ED. Ainsi, pour qu’il y ait équilibre, il faut que la somme des momens de ces trois forces prise par rapport au point d'appui K, soit nulle (voy. Mowexr). Abaissant donc du point K des perpendiculaires sur les directions ED, DR, NS, et multipliant chaque force par la perpendiculaire à sa direction, nous aurons pour l’équation d'équilibre

FQ E CPP ERRREE

FAIEQ EQ* EQ° KR + y. Ks.

On peut donner à cette équation une forme plus simple, en observant que la perpendiculaire KY est égale à

KU . DQ — DU. EQ

PON Substituant cette valeur et réduisant, il vient..….(17) FQ DQ Te EQ : EQ : . KU = x. KR + :.KS.

Telle est l'équation générale de l'équilibre des voûtes.

57. L’équation (17) offre le moyen direct de déterminer l'épaisseur des culées, lorsqu'on connaît la position des points de rupture D et d ; mais elle donne lieu à des calculs très-compliqués dont il n’est guère possible d'enseigner la marche générale autrement que par des exemples. Nous choisirons le suivant comme le plus simple et le plus propre à servir de guide.

Soit (fig: 9, PI. XIX) KBDGEX la moitié d’une voûte en arc de cercle, ayant une ouverture 2BC ou 2DQ de 20 mètres et une épaisseur EG à la clef de un mètre. Supposons de plus DB de 5 mètres et l’arc DG de 30 degrés.

Dans une arche de cette espèce , les points de rupture sont aux naissances; ainsi la position du point D est connue, et il est facile de trouver la longueur de toutes les lignes de la figure. Les quantités à chercher, qui entrent dans l’équation d'équilibre, sont : r, u, FQ, DQ, EQ, KR, KS; et comme ici KR se confond avec BK, que FQ fait connaître EQ, et que DQ —BC— 10", il ne reste à évaluer que x, p, FQ et KS.

Considérons en premier lieu la partie agissante de la voûte comprise dans la figure EHIDG. Cette partie se trouve décomposée par les lignes horizontales Ic et bG et par la verticale aD en deux rectangles abGE et HIca, un triangle rectiligne IDc et un triangle mixtiligne bDG. Pour avoir son aire totale, il faut donc calculer séparément les aires de ces diverses figures.

Or, dans le triangle rectangle IDc on a ID—EG—1" et l’angle IDc— angle DOE — trouver Ic — 0°,5 et De — 0",87; on connaît en outre bD égal à la flèche GQ — 2°,68 ; ainsi tous les côtés des figures sont connus, et l’on trouve

30°; ces données font

Aire du rectangle GbGE — 10"1,000

Aire du rectangle Hlca — :, 4o7 Aire du triangle IDc — 0, 217 Aire du triangle mixtiligne DbG — 8, 678

Aire totale — 20"1,302

L'aire du triangle mixtiligne DbG s'obtient en retranchant l’aire du segment DGm de celle du triangle rectangle DGb. |

Pour trouver maintenant le poids de la partie agissante de la voûte par mètre de longueur, il faudrait multiplier l’aire que nous venons d’obtenir par le poids du mètre cube des matériaux employés à sa construction ; mais comme nous ayons seulement besoin de connai-

tre, pour l’objet de notre recherche, le rapport des poids des deux parties de la voûte et que ces poids sont entre eux comme les aires, nous pouvons poser

Cette valeur de + va nous faire trouver MF ou la distance du poids de la partie agissante de la voûte à la ligne EC, en observant que le moment dé x par rapport à EC, c’est-à-dire, le produit de l’aire HIDGE par la distance de son centre de gravité à l’axe EC , est égal à la somme des momens de toutes les aires composantes. Calculant donc, pour chacune des aires, la distance de son centre de gravité, nous formerons le tableau suivant :

ISTANCES AtREs re MOMEE IxnICATION Des FIGURES. = Se FU par rapport des figures. de gravité L : " PCT 3 a la ligne EC.

mèt. carrés. mètres. mèt. carrés.

Rectangle abGE.. . . . | 10,000 5,00 50,000 Rectangle HIca.. . .. 1,407 | 10,25 14,422 Triangle IDe. . . 0,217 | 10,17 2,207 Triangle mixtiligne DbG | 8,678 | 7,53 | 65,545

Sommes, . . . . , | 20,502 131,974

Nous avons, en conséquence,

FM X 20,302 — 151,974, d'où

En PT — 6-50 20,302

Il est facile d’en conclure, à cause de la proportion DQ : MF—= GQ:EF,

EF — 2",59 et FQ —EQ — EF — 1",29.

Procédons maintenant au calcul de la partie résistante de la voûte comprise dans la figure XKBDIH. Cette figure est partagée en un rectangle ABDd, un triangle dDI et un rectangle XK AH. Tous les côtés sont connus, excepté KA, dont la valeur dépend de BK par la relation