SERRES

mètres. degrés.

Blemismtrenss. 2,5: 1,92 15°50° Anse de panier surbaissée au tiers. 1,62 | 51 30 Anse de panier surbaissée au quart. 2.24 | 40 50 Are dercenele.de.60°.:.,. 4 .::.:,,} 3,09 0 o

Les épaisseurs des culées de ce tableau sont encore au-dessous des dimensions ordinaires; mais en admettant qu'il soit essentiel de les augmenter dans la pratique, il n’en résulte pas moins que les règles empiriques des constructeurs donnent généralement des grandeurs trop considérables.

42. La dernière question dont nous avons à dire quelques mots est celle de l'épaisseur des piles. Cette épaisseur peut être déterminée de deux manières différentes, suivant qu’on destine les piles à supporter simplement le poids des arches, ou bien à servir de cultes et à résister à la poussée des voûtes. Dans les ponts dont les voûtes doivent être cintrées l’une après l'autre, il serait peut-être imprudent de ne pas donner à chaque pile la force nécessaire pour faire l’oflice de culée ; mais tout en admettant qu'une large pile est toujours plus avantageuse qu'une étroite sous le rapport de la solidité, comme elle occasionne une plus grande contraction de Peau, il est au moins avantageux de réduire ses dimensions à ce qu'il y a de strictement nécessaire. Lorsque le but d’une pile est uniquement de porter le poids des arches, la résistance de la pierre qui doit entrer dans sa construction est la chose principale à laquelle il faut avoir égard. Nous devons renvoyer, pour tous les details de la pratique, aux ouvrages spé-

ciaux. Voyez Gauthey. Traité de la construction des ponts,

—Boistard, Expériences sur la main-d'œuvre de différens travaux ; — Perronet, OEuvres complètes; — Frezier, Coupe des pierres; —Rondelet, Traité de l'art de bâtir.

PONTS SUSPENDUS. La construction des ponts en maçonnerie est généralement très-dispendieuse et présente en outre des difficultés et des dangers qu'on ne peut pas toujours surmonter. Dans certaines localités, la nécessité d’entasser des masses énormes au sein defleuves larges et rapides, entraîne des frais accessoires de transport et de main-d'œuvre grossière qui forment toujours la plus grande partie de la dépense totale. Aussi, depuis que l’impérieux besoin de communications promptes et faciles a fait construire un grand nombre de ponts en deslieux où l'emploi de la pierre seule aurait absorbé des capitaux trop considérables, on à dû chercher et employer diverses dispositions plus ou moins avantageuses sous le rapport de l’économie et de la solidité. Le bois a d’abord été mis en œuvre, soit seul, süit combiné avec la pierre; puis on lui a substitué le fer; mais ce n’est que tout récemment que l’emploi de ce métal a acquis le plus haut degré d'utilité par le développement du système des ponts suspendus, système dont les nombreux avantages sont maintenant incontestables.

L'idée d'ouvrir une voie de communication, en suspendant par des cordes ou des chaînes un plancher à des points d'appuis supérieurs, n’est pas nouvelle; on la trouve en usage, pour le passage des torrens et des vallons escarpés, aux G randes-Indes, en Chine et dans l'Amérique méridionale; cependant il n’y a pas plus de trente-six ans que le premier pont suspendu capable de donner passage aux voitures a été construit aux États- Unis par M. Finley. Le succès de cette construction et d’un grand nombre d’autres semblables, exécutées dans le même pays, ayant appelé l'attention des ingénieurs anglais, on vit bientôt s'élever en Angleterre et en Écosse plusieurs ponts suspendus dont l'utilité ne tarda pas à être appréciée par le gouvernement français. En 1821, la direction des ponts et chaussées chargea Navier d'examiner les avantages et les inconvéniens de ce nouveau système et de recueillir les documens nécessaires pour le compléter et l'introduire en France. Après deux voyages en Angleterre, ce savant consigna les résultats de ses nombreuses recherches dans un mémoire trèsremarquable que l’Académie des sciences a justement considéré comme un trailé aussi nouveau que complet sur la matière, et dont nous ne saurions trop recommavder l'étude aux constructeurs. Les notions suivantes sont destinées à leur faciliter l'intelligence de ce beau travail.

1. Un pont suspendu se compose d’un plancher horizontal, ou à peu de chose près horizontal, MN (fig. 10,

PI. XIX) suspendu par des tiges verticales AM, am, d'm', etc., à dés chaînes AB courbes et flexibles, dont les extremités À et B sont attachées à des points fixes.

On voit aisément qu'il y a à considérer dans un tel système :

1° La figure de la courbe que doit prendre la chaine AB en vertu du poids dont elle est chargée ;

2° Les efforts exercés aux points d’appuis A etB, efforts auxquels ces points doivent opposer une résistance suflisante ;

3° Les modifications apportées dans la courbure des chaines par les surcharges momentanées dues au passage des voitures et des piétons;

4° La résistance deschaines, tant au poids permanent du pont qu'aux surcharges accidentelles.

2. Sile poids supporté par la chaine AB, supposée inextensible et parfaitement flexible , était distribué uniformément sur sa longueur, elle se trouverait dans le même cas que si elle était uniquement chargée par son propre poids, et sa figure, lorsque l'équilibre serait établi, devrait être celle de la chaînette (voyez ce mot, tome 1); mais en admettant, ce qui a lieu dans le plus grand nombre des cas, que le plancher soit horizontal et que toutes ses parties soient égales entre elles, ou que le poids de l'unité des longueurs soit partout le même, la charge de la chaine peut être censée distribucée uniformément sur une ligne horizontale, car son poids propre et celui des tiges de suspension ne forment jamais qu'une petite partie de la charge totale. Examinons d’abord quelle sera la forme de la courbe dans cette dernière hypothèse, qu’on peut prendre pour base des calculs servant aux projets des ponts suspendus.

5. Soit AOB Ja chaine (PI. XIX, fig. 11), ActB ses points d'attache que nous supposerons d’abord, pour plus de simplicité, placés dans une même ligne horizontale AB, et MN ladroite horizontale, ou le plancher, sur laquelle la charge est uniformément distribuée. Le système étant supposé en équilibre et la chaine ayant pris la forme qu'elle doit avoir en vertu des poids dont elle est chargée, il est évident que rien ne sera changé dans les conditions d'équilibre si l’on substitue au point d'attache B une force égale et opposée à l'effort que la chaîne exerce contre ce point, ou même encore, si l’on remplace cette force par ses composantes verticale et horizontale, que nous désignons respectivement par P et Q. Ceci posé, prenons le point A pour origine des ordonnées verticales y de la courbe AOB, et de ses abscisses horizontales æ, que nous compterons sur la. droite AB.

La tension particulière supportée par un élément quelconque mm de la courbe, considérée comme une force agissant au point »m dans la direction de cet élément, ou dans celle de la tangente de la courbe en m, doit faire

équilibre à toutes les forces appliquées à la partie MOB de la chaine, c'est-à-dire aux forces P et Q et au poids distribué le long de DN; cette tension, que nous désignerons par T, est conséquemment égale et directement opposée à la résultante de toutes ces forces, en supposant qu’on les applique immédiatement au point m sans changer leurs grandeurs et leurs directions respectives. Or, désignant les coordonnées du point m, Ap et pm par æ et y; l'arc Am par s, l'élément mm’ par ds, l’accroissement mr de l’abscisse par dæ, l'accroissement rm’ de l’ordonnée par dy, et l’angle rmm' par », nous aurons.... (a)

; rm dy SIN ® — TT VE) Sn née fin — dx

P— mm ds!

Maintenant, si nous décomposons la tension T en deux forces, l’une horizontale et l’autre verticale, la compo-

: à dx sante horizontale aura pour expression T—— et la com-

: dy us, Re posante verticale DE HE et comme d’après ce qui précède la composante horizontale doit être égale à Q et que la composante verticale doit être égale à la somme des poids suspendus aux points de la courbe depuis m jusqu’à B, diminuée de la force P, qui agit en sens contraire de ces poids, nous aurons les équations ..... (b)

Agé — Q> dy :

p désignant le poids de l'unité de longueur de l’horizontale MN et 2a la longueur totale de cette ligne. En effet, la somme des poids de la partie DN — 24 — x à pour expression p X DN ou p(24 — x).

Divisant la dernière équation par la premicre, nous obtiendrons, pour l'équation différentielle de la

courbe ..…. (c),

dy p(za—x) —P dx no Tel

Or, on sait que la quantité a désigne généralement

la tangente trigonométrique de l'angle formé par l’axe des æ avec la tangente de la courbe au point dont les coordonnées sont æ, y (voy. TanGENTE, tome I); ce qui résulte d’ailleurs ici des relations (a), dont le quotient donne

ainsi, en supposant % — 0, l'équation (c) nous donnera Tom. ui.

la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle de la courbe avec l’axe AB au point A; cette valeur sera, en désignant l’angle par «,

pa — P tang « = ARTE

ce qui nous permet de donner à l'équation (c) la forme dy pz = tang 4 — —.

dei are 0 0

Intégrant cette équation, en observant qu'il n'y a pas de constante à ajouter, parce qu’on doit avoir y = 0;

lorsque æ — 0, il vient... (d)

pa” 20 :

y—= & lang « —

4. On peut faire disparaître la quantité tang x de cette dernière, en observant qu’elle doit être satisfaite par les

valeurs y— 0, æ = 24; d’où

na APS 0 — 24 tang x — Q , ce qui donne ..... (e) :

: a ANS =.

Q Substituant cette valeur dans (d), l'équation de la courbe devient définitivement ..….…. (f) __ p(2ax—) — HN

et il est facile de reconnaitre que cette courbe est une parabole.

5. La distribution uniforme des poids sur l’horizontale MN indique suffisamment que les deux parties AO et OB de la courbe de chaque côté du point le plus bas O sont égales et symétriques ; ce point O est donc le sommet de la parabole, et il faut y transporter l’origine des coordonnées, si l’on veut avoir l'équation de la courbe sous sa forme la plus simple. Remarquons d'abord que l’abscisse AC du point O est égale à la moitié a de la corde AB, et qu’en faisant æ — 4, dans l’équation (f), nous obtiendrons la valeur de l’ordonnée OC ou de la flèche de la courbe; cette valeur est donc, en désiguant OC par f...…. (g); i= 20°

Ceci posé, les nouvelles abscisses horizontales æ' étant

comptées à partir du point O sur l'axe MN, avec le

signe +- à droite et le signe — à gauche, et les nouvelles

ordonnées verticales y’ étant comptées de bas en haut,

nous avons entre ces nouvelles coordonnées .et les anciennes æ.et y, les relations

mate, y=p-yuieté ay,

lesquelles, substituées dans (f), donnent, toutes réduc-

tions faites .…

6. Les grandeurs de la corde 24 et de la flèche f étant généralement les premières données de létablissement d’un pont suspendu, substituons dans (h) à la place de Q sa valeur tirée de la relation (g), sa-

nous ramènerons notre équation à la forme... (k)

y — L æ?, qui ne renferme plus que des constantes données immédiatement. Cette dernière donne le moyen de résoudre toutes les questions relatives à la longueur de la chaîne et à celles des tiges de suspension.

7. Déterminons maintenant en fonction des données a et f la tension qui a lieu en un point quelconque de la courbe ; son expression est, d’après l’équation (b),

à cause de dæ — dx’. Or, ds = V/dæ”? + dy?; ainsi

rev [+]

Ne 2 Substituant dans cette expression la valeur de (GS) : Fe

tirée de l'équation (k) différentiée, on obtient ..….. (4)

r=Qu/i fe,

aux points extrêmes À et B, où la tension est la plus grande, ct correspond aux valeurs æ = — 4, x = d, (m)

on a pour cette tension maximum

evl +]

Au point le plus bas O, on voit, en faisant + — 0, que la tension est égale à Q, ce qui est d’ailleurs évident.

On obtient une autre expression de la tension maximum en observant que, (g), |