Cherchons, comme application de ces derniers

résultats, quelle résistance éprouvera une boule de 6 centimètres de diamètre, pour se mouvoir dans un courant d'air avec une vitesse initiale d’impulsion de 5 mètres, en supposant de plus qu'elle soit lancée directement contre le courant d'air, dont la vitesse est de 5 mètres. Le baromètre marque 0",54 et le thermomètre 5°. Nous ferons d’abord une observation générale applicable tant aux fluides élastiques qu'aux liquides; c’est que lorsqu'un corps solide se meut dans un fluide en mouvement, on peut considérer comme en repos celui des deux corps qui a la plus petite vitesse, en supposant que l’autre se meut avec la somme ou la différence des deux vitesses : la somme, lorsque les directions des mouyemens sont opposées ; la différence, lorsque ces directions sont les mêmes. Il n’y a donc rien à changer aux formules dans ce cas, en observant d'y donner à © ou à À la valeur qui répond à la vitesse re-

lative des deux corps.

RES Ici la direction de la boule étant opposée à celle du vent, la vitesse relative est 5 + 3 — 8"; de plus, la projection de la surface choquante, laquelle est la moitié

de celle de la boule, est l’aire du grand cercle de cette boule: ainsi Ë

VAL s 8, — 3,1416 X + (0,06)? — 0"1,002827;

mais toutes les puissances à exposant 1 d’une fraction étant une autre fraction plus petite que la base, si nous élevions le nombre 0,002827 à la puissance 1,1, au lieu d'augmenter la surface, nous la diminuerions, ce qui ne s’accorderait plus avec le principe de la formule (3). H faut donc ici, ou considérer la résistance comme proportionnelle à la surface, ce qui peut être permis pour de très-petites surfaces, ou changer d'unité de mesure, afin d'exprimer s par un nombre entier qui augmente en en prenant la puissance 1,1, sauf ensuite à ramener le résultat au mètre, qui est l’unité commune de toutes les autres quantités. Prenant, par exemple, le centimètre pour unité auxiliaire, l’aires, est exprimée par

s, = 281,27, et l’on trouve

Si — (28,27) — 391,49,

ce qui, ramené au mètre carré, devient

Nous avons de plus 0,74 k om —M, 7007 NIV, 2 97 9 1,02 » 4,

et, d’après la table précédente, n — 0,41. Ces valeurs,

mises dans la formule (6), donnent

R— 0,11 Xo,41 X 1,24 X0,003949 X 04 = 0 ,01415.

Tel sera donc l'effort constant qu’il faudrait exercer sur la boule pour neutraliser la résistance de l'air, ou telle sera la force retardatrice du mouvement si la boule est abandonnée à elle-même.

19. On ne peut plus compter sur les résultats des formules précédentes lorsque les vitesses sont trèsgrandes, et malgré les travaux si recommandables de Hutton, la science attend encore, soit des expériences qui puissent donner des indications précises, soit un théoricien assez habile pour poser à priori les lois de la mécanique des fluides, lois que n’ont pu découvrir jusqu'ici les investigations des plus grands géomètres. Il existe, à la vérité, une foule de procédés pratiques dont les hydrauliciens et les ingénieurs de la marine se servent dans des cas particuliers; mais les résultats

RÉS qu'on en tire ne sont que des approximations plus ou moins grossières qui ne font que montrer la nécessité de nouvelles recherches.

RÉSISTANCE DES SOLIDES. On entend quelquefois par résistance des solides la force avec laquelle les corps solides s'opposent au mouvement des autres corps qui leur sont contigus; mais, plus généralement, c’est la force développée par un solide contre toute action qui tend à changer sa forme ou à désunir ses parties. La première espèce de ces résistances, qu’on nommait jadis résistance des surfaces, étant proprement ce qu’on désigne aujourd’hui sous le nom de frottement (voy. ce mot), nous ne nous occuperons ici que des résistances dues à l’adhérence qu'ont entre elles les particules intégrantes d’un même solide.

La détermination de la force capable de changer la forme d’un solide ou de le briser est une question d'une très-haute importance pour les arts physiques et principalement pour l'architecture ; aussi, depuis Galilée (voy. Bois), auquel on doit les premières vues théoriques sur cet objet, plusieurs savans distingués, tels que Mariotte, Varington, les deux Duhamel, Muschenbroeck, Buffon, Lamblardie, Coulomb, Girard, Perronet, Rondelet, Aubri, Lamandé, Robins, Barlow, Navier, Tredgold, Duleau, Dupin et Séguin, ont fait de nombreuses expériences sur la résistance des matériaux de construction. Quoique les résultats de leurs recherches présentent de notables différences, ils n’en sont pas moins précieux pour la pratique, à laquelle ils apportent des principes que nous allons indiquer.

1. Résistance à la compression et à l'extension. La ductilité et l’élasticité sont des propriétés communes à tous les corps solides, mais à des degrés très-différens et très-difMiciles à apprécier. Lorsqu'un solide est soumis à une force capable de le comprimer, sans aller toutefois jusqu’à le rompre, il arrive ou que son changement de forme est accidentel, c’est-à-dire qu'il cesse avec la pression, ou qu’il est permanent, c’est-à-dire que l’arrangement primitif des parties constituantes du solide se trouve altéré d’une manière durable. Dans le premier cas, la force élastique de la matière surpasse la force de pression; dans le second, le contraire a lieu, et la ductilité est devenue sensible. Or, ce qu'il importe de connaître, pour employer avec sécurité Les divers matériaux qui doivent supporter, dans une construction quelconque, des charges données, ce n’est pas seulement la pression sous laquelle ils sont susceptibles de se briser, mais encore celle qui fait équilibre à leur force élastique; car il est reconnu que quand un corps est soumis à une pression prolongée plus grande que sa force élastique, l’altération de ses parties augmente ayec le temps et finit par déterminer la rupture, Il est

Ton. au.

RÉS 441 donc essentiel de ne pas dépasser les limites de l’élasticité,

2. Les expériences faites jusqu'ici sur la résistance des corps à la compression sont en plus petit nombre que celles qui ont eu pour objet la résistance à l’extension ; toutefois, les unes et les autres s'accordent sufi-

Sanment pour qu’on puisse poser ce principe :

TI. Les corps résistent à l'extension et à la compression avec des forces égales tant que la puissance à laquelle ils résistent ne dépasse pas les limites de la force élastique de la matière qui les compose.

3. Pour mesurer la résistance des corps à l'extension, on les suspend verticalement par une extrémité, et on fixe à l’autre un plateau de balance qu’on charge successivement de poids de plus en plus grands jusqu’à ce que la rupture ait lieu, ou seulement jusqu’à ce qu’on ait déterminé le poids au-dessus duquel le corps ne reprend plus sa forme primitive : ce dernier représente la force d’élasticité, C’est de cette manière qu’on a constaté que la résistance d’un prisme, tiré dans le sens de sa longueur, était indépendante de cette longueur et proportionnelle à l’aire de la section perpendiculaire à la direction des forces. Cependant les métaux en fil font exceplion à cette règle; toutes les expériences s’accordent pour montrer que leur résistance est d’autant plus grande, sous l'unité de section, que le diamètre des fils est plus petit. C’est donc abstraction faite des fils métalliques qu’on peut admettre ce second principe pratique :

IL. La résistance d'un solide taillé en prisme ou en cylindre, à une force qui agit dans le sens de sa longueur, est en raison directe de l'aire de la section perpendiculaire à la longueur, tant que l'élasticité reste entière et que la force coïncide avec l'axe.

Quels que soient d’ailleurs la nature du corps et son diamètre, on a reconnu en outre que

UT. L'extension d'une barre, par une force qui agit dans le sens de sa longueur, est en raison directe de cette force, quand l'aire de la section est la même et que la force ne surpasse pas l’élasticité de la barre.

4. Les trois principes que nous venons d’énoncer servent de base à la théorie de la résistance des matériaux ; mais leur application exige la connaissance des limites de la force élastique des divers corps employés dans les constructions, limites très-variables d’ailleurs, pour une même substance, et dont on ne peut déterminer que les valeurs moyennes. Nous désignerons par le nom de force élastique le plus grand poids en kilogrammes sous la pression duquel un corps n'éprouye pas d’altération durable, et nous réunirons dans le tableau suivant les résultats les mieux constatés.

Force elastique

Extension correspondante

Substances essayées, par centimètre carré par mètre

de section. de longueur.

Ferforce 2 1250 kil. . . 0",000713 Eonie "#9" 1075 . . 0, 000830

Bronze des canons . . . . 705 . . . . 0, 001043

Cuivre jaune. . . . : . . 1265 . . . . 0, 000750 Plomb fondu.. . . . . . . 105 . . . . 0, 002088 HR et © net er À © 202 . . . . 0, 000625 INC CONÉ, :y51 Lust GhéNete ete eee OPME MERE TRUE HTétren Pi SUR MAL

Pin d'Amérique. .

4o1 . . . . 0, 000238 278 . . . . 0, 002325 228 « +: .: + 0, 002415 1661042 10,1001704 274 + ..0.,05 002410 Sapin rouge. . . 902. -,-10; 002128 Sapin blanc. . . . . . .. 255... . o, 001984 Marbre blanc.. . . . . . . 127 . . . . 0, 000528 Pierre detaille (calcaire). . 60 . . . . 0, 000559

Fanons de baleine. . . .. 351.... 0, 006857

Les exemples suivans, où nous rappellerons les formules employées pour calculer les divers cas de résistance, indiqueront l'emploi de cette table.

L® Prosceme. Délerminer l'aire de la base d'une barre ou colonne capable de soutenir verticalement un poids donné.

Nous supposons ici qu’une barre fixée verticalement par son extrémité supérieure est tirée par un poids placé à son extrémité inférieure, cas où la longueur de la barre n’exerce aucune influence sur la résistance qu’elle peut opposer.

Soit Q la charge donnée. Nommons P un poids tel qu’une barre de la matière en question, d’un centimètre carré de base, n’en pourrait soutenir un plus considérable sans que sa force élastique soit altérée, c’est-à-dire le poids désigné dans la table sous le nom de force élastique, et désignons par À l’aire de la base cherchée, Nous avons en vertu du second principe et én prenant le centimètre carré pour unité de surface

PE OA d’où

Ainsi l’aire de la section doit être en raison directe du poids que la pièce doit soutenir, et en raison inverse de celui qui pourrait altérer la force élastique de la matière de cette pièce.

Dans le cas où il s’agirait d’une barre de fer forgé,

k substance pour laquelle la table donne P = 1250 , destinée à soutenir un poids Q — 2000', on aurait

— 1,6 cent. carré.

Si la barre devait être à base carrée, on trouverait le côté a de cette base en posant

(2) ..a— Le

à cause de a = V/A.

S’il s'agissait d’une barre cylindrique, le rayon r de la base devant être tel que A — xr°, égalité dans laquelle 7 désigne le rapport de la circonference au diamètre ou le nombre 3,1415926..., on aurait pour la valeur de ce rayon

(ER A Pal

Avec les données précédentes, on trouverait

cent.

VE — Ares n —= 0 ,509.

II: PRosLÈME. Déterminer la plus grande charge que peut supporter en un point quelconque une barre rectangulaire uniforme appuyée par ses extrémités. (PI. IT, fig. 6.)

Nommons

P le poids équivalent à la force élastique de la barre;

L la distance des points d'appui;

p et q les distances du point chargé aux points d'appui ;

b la largeur de la barre;

d son épaisseur où sa dimension parallèle à la force de pression ;

Q la charge cherchée,.

Par des considérations théoriques dont le détail ne

peut trouver place ici, on trouve la formule Pbd?l

COEREE

qui contient la solution du problème et de toutes les autres questions qui en dépendent, Si la barre était chargée en son milieu, on aurait

P—=q— =: l, et la formule deviendrait

Prenons pour exemple une barre rectangulaire de fonte de 6 mètres de long, entre les points d'appui, de 45 millimètres de largeur et de 80 millimètres d’épais-

seur, nous aurons, en rapportant toutes ces dimensions au centimètre comme unité, 60e 4,55 dE:

et, de plus, la table nous fait connaître P — 1095. Ainsi, dans le cas où la charge doit agir au milieu de la barre, on a 21X 4075 4,519181 k

c'est-à-dire qu'on ne pourrait charger cette barre en son milieu d’un poids plus grand que 544 kil. sans altérer son élasticité.

III" Prosrëme. Etant données la largeur d'une barre uniforme et sa longueur entre les points d’appuis, trouver l'épaisseur qu'elle doit avoir pour résister à un poids qui agit sur un de ses points.

L’équation (4) donne, en dégageant d qui est ici

l’inconnue,

ab Wire et, simplement, dans le cas de p = q — :b c’est-à-

dire lorsque le poids agit au milieu,

S'il s'agissait de trouver la largeur b, l'épaisseur p étant donnée, on aurait évidemment

___ 6pq9Q (8)... b= on :

51Q (QD Pi”

La première de ces formules se rapporte à une charge placée en un point quelconque de la barre, et la seconde à une charge placée au milieu.

Nous ferons observer que toutes ces formules peuvent

s’apptiquer à des barres inclinées comme AB (PI. XXI,

fig. 7), en ayant le soin de prendre pour ! la distance CD des appuis.

IV° Proscëme. Déterminer la plus grande charge que peut supporter une barre rectangulaire appuyée par ses extrémités, dans le cas où cette charge est distribuée uniformément entre les points d'appui.

L'expérience a montré que lorsque le poids est ré- Fe ; Ù 5 :

parti uniformément, l'effort n’est que les 8 de celui qui

aurait lieu en réunissant le même poids au centre: ainsi

muitipliant le second membre de la formule (5) par =,

il vient

ps 16 Pbd?

formule dans laquelle on pourra prendre ensuite b ou d pour l’inconnue.

V° ProscÈème. Trouver la plus grande charge que peut porter à une de ses exirémités une barre reclangulaire horizontale encastrée par son autre extrémité. (PI. XXI à fig. 8.)

Lorsqu'une pièce est fortement fixée par une extrémité et qu’elle est chargée à l’autre, le poids qu’elle peut supporter n’est que 2 de celui qu’une pièce de même longueur, soutenue aux deux extrémités, pourrait porter à son milieu. Conservant donc les mêmes dénominations, nous ayons

GDS 10— —

Si la charge était répartie uniformément, l'effort serait moitié moindre, et l’on aurait

5. Toutes les formules précédentes se rapportent à des barres rectangulaires; pour les appliquer à des barres cylindriques, il suffit de multiplier la valeur de Q par le facteur numérique 0,589, et alors b et d représentent l’une et l’autre le diamètre du cylindre.

6. Les barres chargées de poids prennent une inflexion à leur milieu qui, dans certaines circonstances, ne permet pas de leur faire supporter là plus grande charge dont elles sont susceptibles. Les problèmes suivans vont apprendre à calculer cette inflexion.

VI* ProsLème. Déterminer la flèche de courbure que prendra une barre chargée à son milieu et soutenue par ses etrémités dans le cas du maximum de charge.

Nommons I l’inflexion exprimée en mètres, e l’extension par mètre correspondante à la plus grande charge et donnée par la table du n° 4, et désignons toujours par ! la longueur de la barre ou plutôt la distance des points d’appuis, et par d l'épaisseur. Nous aurons

Cherchons, par exemple, la flèche de courbure que prendra la barre du problème 11° sous la charge maximum de 544 kilogrammes. Ici, nous avons | — 6 mè-

tres, d = 80 millimètres, et la table nous fait connaître

444 RES e —0",000830. Substiluant ces valeurs dans la formule (153), en observant qu’il faut poser d— 0",08 pour rapporter tout au mètre comme unité, il viendra

c'est-à-dire que la barre de fonte sera infléchie à son milieu d’un peu plus de 62 millimètres; de sorte que si cette inflexion était trop grande pour l'usage qu’on voudrait faire de la barre, il faudrait augmenter son

épaisseur ou diminuer la charge.

VII Prosckur. Trouver l'inflexion que prendra une barre rectangulaire chargée à son milieu d'un poids Q' plus petit que celui qui fait équilibre à sa force élastique.

Conservant les mêmes dénominations et représentant par à l'inflexion demandée, nous aurons

Q'el APE Cette formule nous donne le moyen de déterminer la

charge correspondante à une inflexion donnée: il ne

faut qu'isoler Q' dans le premier membre: ce quidonne

Cherchons, par exemple, la charge qu’on peut faire supporter à la barre de fonte des questions précédentes, sans que son inflexion dépasse 15 millimètres. Nous ayons

et comme tout est rapporté au mètre pour unité, nous donnerons à P une valeur 10000 fois plus grande que celle de la table, c’est-à-dire que nous poserons 19 — 10750000". Substituant ces valeurs dans la for-

mule, il vient

— 85 kil.

Donc, si l'on ne veut pas que la barre en question prenne une inflexion plus grande que 15 millimètres, il ne faut la charger que de 85 kilogrammes.

Dans le cas où Îles pièces seraient uniformément

chargées sur toute leur longueur, l’inflexion serait les 5 :

5 de celles que donnent les formules (15) et (14).

7. Résistance des vases à des pressions intérieures. Lorsqu'un ÿase cylindrique fermé exactement contient un fluide élastique dont la tension surpasse la tension atmosphérique extérieure, les paroïs sont pressées in-

térieurement de dedans au dehors et également sur

tous les points. Cette pression tend à faire éclater le cylindre, qui ne peut cependant se déchirer que suivant une arête ou un cerele perpendiculaire à son axe; mais comme l'effort qui a lieu dans le sens de l’arête est deux fois plus grand que celui qui tend à déchirer le eylindre perpendiculairement à son axe, nous ne nous occuperons pas de ce dernier. Or, si nous nommons R le rayon du cylindre et p la pression sur l'unité de longueur, il est facile de voir que le produit pR représente la force qui tend à briser le cylindre à chacun de ses points. Ainsi, pour que la paroi puisse résister sans altération à cette force, il faut que son épaisseur soit égale à l'épaisseur d’une barre rectangulaire qui, ayant unité de largeur, pourrait supporter sans altération la pression pR, p étant alors la pression du fluide sur l'unité de surface. Or, en prenant le centimètre carré pour unité de surface, la plus grande charge d'une barre rectangulaire d’une largeur égale à un centimètre et d’une épaisseur — d est ([* PROBLÈME),

Q— Pd,

P représentant toujours le poids équivalent à la force élastique de la matière; done, d’après ce que nous venons de dire,

PAIDRE d’où l’on tire

Ainsi, pour déterminer l'épaisseur de la paroi d’un cylindre qui doit supporter une pression intérieure p sur l'unité de surface, il faut multiplier cette pression p par le rayon du cylindre, et diviser le produit par le poids équivalent à la force élastique de la matière du cylindre.

Proposons-nous de trouver l'épaisseur d’un vase cylindrique en fer forgé capable de contenir sans altération un gaz comprimé à 15 atmosphères, pression effective, et ayant 1",20 de diamètre. Rapportant tout au centimètre comme unité, nous ayons