REG 15°,519, D

et par suite

15,512 X Go,

d La es S ces VOLE 0,745.

L'épaisseur demandée est donc de 7 millimètres et demi. Dans la pratique, et lorsqu'il s’agit de chaudières destinées à contenir de la vapeur, on prend une épaisseur à fois plus grande que celle que donne le calcul parce qu'il est reconnu que la tenacité des métaux diminue à mesure que leur température augmente.

8. Résistance à la torsion. La résistance qu’un arbre ou axe oppose à une force quitend à le tordre se nomme résistance à la torsion.

Soit Q le poids porté par l'extrémité du rayon R d’une roue placée sur un arbre et produisant la plus grande torsion que cet arbre puisse prendre sans altérer son élasticité, d le diamètre de l'arbre, { sa longueur et P sa force élastique, la valeur de Q est donnée par la formule

qu'on peut également employer pour trouver dlorsque Q est donné.

Les formules que nous venons de donner s’appliquent aux cas les plus ordinaires de la pratique; mais il en existe une foule d’autres non moins utiles pour lesquelles nous ne pouvons que renvoyer aux ouvrages spéciaux, tout en regrettant qu'aucun de ces ouvrages ne présente un traité complet sur cette matière importante. (Voy. l'Essai pratique de Tredgold sur la Résistance du fer et d'autres métaux.)

RÉSULTANTE (Méc.) On donne ce nom à la force unique dont l’action produirait le même effet que celui de plusieurs forces qui agissent simultanément sur un mobile. Ces dernières prennent alors le nom de composantes par rapport à la première.

Les relations, qui existent entre une résultante et ses composantes forment la base dela statistique. Nous allons en donner la déduction, après avoir préalablement rappelé quelques-unes des notions générales de la mécanique.

1. On peut concevoir un corps quelconque comme composé d’une infinité de points matériels liés entre eux d’une manière particulière, suivant la nature particulière de ce corps, qui devient ainsi un système de points. L'équilibre ou le mouvement d’un tel système dépendant évidemment de l'équilibre ou du mouvement de ses parties composantes, nous considérerons d’abord l’action des forces sur un seul point matériel isolé.

2. Une force qui agit sur un point matériel peut le faire de deux manières différentes, ou en le poussant devant elle, ou en l’entraînant de son côté: l'effet produit étant toujours le même, on peut employer inditféremment l’une ou l’autre de ces hypothèses.

3. On nomme direction du mouvement la ligne droite suivant laquelle une force agit.

4. Lorsqu'une seule force agit sur un mobile, il se meut nécessairement en ligne droite; car il n'y a aucune raison pour qu'il change de direction.

5. Si plusieurs forces, de la nature de celles qu'on nomme instantanées (voy. Force), agissent simultanément sur un mêmepointmatériel, le mouvement s'effec-

tue encore en ligne droite, car ces forces ne peuvent que se modifier réciproquement, pourproduire un effet unique. Ainsi, comme cet effet unique peut être attribué à l’action d'une seule force , il est toujours possible de remplacer par une force unique toutes les forces qui font mouvoir un point.

6. On nomme système de force l’ensemble des forces qui concourent à produire le mouvement, et ces forces elles-mêmes, considérées par rapport à la force unique, ou résultante qui peut les remplacer, se nomment les composantes.

7. Lorsque plusieurs forces appliquées à un même point matériel se détruisent, de manière que le point reste en repos, on dit qu'il est en équilibre, ou que les forces se fontéquilibre. Supposons, par exemple, qu'un point A (PI. XXI, fig. 9) recoive simultanément l’action des deux forces égales P et P', dont la premiere le pousse dans la direction AP et la seconde dansla direction opposée AP’, ce point ne pouvant obéir à l’üne de ces impulsions plutôt qu’à l’autre, demeurera nécessairement en repos. Il en serait encore de même si, outre les deux forces P et P’, le point À recevait encore l’action de deux autres forces égales Q et Q'oppostes dans leur direction.

Dans tous les cas où un système de forces appliquées simultanément à un point matériel produit le mouvement, ilest visible qu’en ajoutant au système une force égale à la résultante et agissant dans une direction opposée, le nouveau système sera en équilibre; car on pourra le considérer comme composé de deux seules forces égales et opposées. La question d’établir l'équilibre dans un système de forces données dépend donc de la détermination de leur résultante. Ce problème, qu’on désigne sous le nom de composition des forces, est le problème fondamental de la statistique ; il présente plusieurs cas particuliers.

8. Lorsque plusieurs forces agissent sur un point dans la même direction, leur résul!ante agit nécessairement dans cette même direction, et elle est égale à leur somme. Si quelques-unes seulement de ces forces agissent dans une même direction, el toutes Les autres dans uve direction opposée, la résultante est égale à la dif. férence entre la somme des premicres et celle des secondes, et agit dans la direction de la plus grande somme. Le problème ne présente de difMiculté que dans le cas où les directions des composantes forment des angles entre elles.

9. Considérons d’abord le cas le plus simple, celui de deux forces égales tirant simultanément le point A (PI. XXI, fig.

entre elles un angle quelconque MAN. Le point À ne

10) dans les directions AN et AM faisant

pouvant se mouvoir en mème temps sur deux directions

différentes, prendra une direction intermédiaire AR, et

comme il n’existe aucune raison pour que cette direction de la résultante soit située plus près de AM que de AN, au-dessus plutôt qu’au-dessous du plan de ces directions, -elle divisera évidemment l’angle MAN en deux parties égales.

Ainsi représentant l’intensité de la première force par la droite AP prise sur sa direction AB, et l'intensité de

la seconde force par la droite AP' — AP, prise également sur sa direction AN, si nous eonstruisons le parallélogramme APQP’, la diagonale AQ de ce parallélogramme sera la direction de la résultante dont il ne nous reste plus qu’à trouver la grandeur, et nous pourrons poser comme théorème :

La résultante de deux forces égales concourantes ‘à un même point a pour direction la diagonale du parallélogramme construit sur ces forces. =

10. AP et AP'représentant toujours deux forces égales qui agissent sur le point À (PI. XXI, fig. 11), supposons que la force AP' croisse de la quantité PQ — AP, ou qu'elle devienne double de la force AP, la résultante des deux forces AP et AQ, dont la première est moitié plus petite que la seconde, sera encore dirigée suivant la diagonale AS de leur parallélogramme. En effet, la diagonale AR du parallélogramme construit sur les forces égales AP et AP'étant la direction de leur résultante ou le chemin que parcourt le point À par l’action de ces forces, imaginons les points À et R liés entre eux d’une manière invariable; l’un ne pourra se mouvoir sans entrainer l’autre, et le résultat sera le même, soit qu'on considère le point À comme tiré par les forces AP et AP’ dans la direction AR, ou le point R comme poussé dans la direction RM par les forces PR et PR. On peut doncsubstituer au système des trois forces AP, AP’, PQ, celui des trois forces PR, PR, PQ.

Mais la force P'R, qui pousse le point R, agit comme si elle entrainait le point P', et on peut encore substituer aux forces P'R et PQ égales et concourantes aupoint P', une force agissant dans la direction de leur diagonale P'5. Ainsi les trois forces PR, P'R, P'Q se réduisent à deux forces, l'une dirigée suivant PR ou RS, et l’autre suivant P'S, dont la résultante doit nécessairement passer par le point de concours S ; car on peut considérer les forces RS et PS comme agissant à leur point de concours, et ce point 5 devant être mu de la même manière que s'il était sollicité par l’action simultanée de ces deux forces, né peut être qu’un ‘des points de la résultante. Or, cette résultante devant être celle de tout le système, passe aussi par le point A : donc elle a nécessairement pour direction la diagonale AS.

En augmentant la force AQ = 2AP d’une nouvelle quantilé AP, on démontrerait par les mêmes raisonnemens, que la résultante des deux forces AP et 3AP est dirigée suivant la diagonale de leur parallélogramme, et

par suite qu’il en est toujours ainsi pour la force AP et AP, AP et 5AP, etc. Donc, en général, m désignant un nombre entier quelconque, deux forces AP et mAP, dont les grandeurs sont entre elles dans le rapport 1: m, ont leur résultante dans la direction de la diagonale de leur parallélogramme.

La même marche appliquée successivement aux forces m X AP et 2AP, m X AP et3AP, etc. prouverait que la proposition a encore lieu pour deux forces dont les grandeurs sont entre elles dans le rapport de deux nombres entiers quelconques m et n, et il est facile de s’assurer, par une réduction à l’absurde, qu’elle s'étend au cas de deux forces incommensurables.

Soient, en effet, deux forces représentées, en grandeur et en direction, par les droites incommensurables entre elles AP et AQ (PI. XXI, fig. 12), si leur résultante n'était pas dirigée suivant la diagonale AR de leur parallélogramme, elle aurait une autre direction AR’ qui couperait en un certain point R le côté PR du parallélogramme ou son prolongement; et alors, en prenant entre R' et R un point O, tel qu'en menant ON parallèle à AP, les droites AP et AN soient commensurables entre elles, la diagonale AO serait la direction de la résultante des deux forces AP et AN. Mais la force AP restant la même, la résultante doit se rapprocher d’autant plus de l’autre composante que cette composante est plus grande; ainsi il est absurde que AR! soit la direction de la résultante de AP et de AQ, tandis que AO est la direction de la résultante de AP et de AN. Il est donc impossible de supposer que la résultante de deux forces incommensurables ait une autre direction que la diagonale de leur parallélogramme. Ceci posé, il est facile de démontrer le théorème suivant, qui renferme toute la composition des forces.

11. Taéorkme. La résultante de deux forces quelconques appliquées à un même point et représentées par des droites prises sur leurs directions, à partir de ce point, est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.

Désignons par P et Q les composantes et par R leur résultante. Les forces P et Q étant représentées par les droites AP et AQ (PI. XXL, fig. 15), si, au point À et dans la direction de la diagonale AM du parallélogramme construit entre AP et AQ, nous appliquons une force AR égale et directement opposée à la résultante R, les trois forces AP, AQ, AR seront en équilibre (8), et nous pourrons considérer une quelconque d’entre elles, AQ, comme égale et directement opposée à la résultante des deux autres. Ainsi, menant par le point P une droite PQ” parallèle à AR, le point Q' où celte parallèle rencontre la direction de la résultante AQ' de AP et de AR, déterminera la grandeur du côté PQ', qui, dans le parallélogramme des forces AP et AR,

est égal et opposé au côté AR ; mais PM étant parallèle à AQ', le quadrilatère AQ'PM est un parallélogramme; donc PQ'— AM, et par conséquent AM — AR = R.

Ainsi la diagonale AM représente non seulement la direction de la résultante des deux forces P et Q, mais encore sa grandeur. ‘

Cette démonstration du parallélogramme des forces

est la plus simple et la plus rigoureuse de toutes celles :

qui reposent sur des considérations géométriques. Elle est due à M. Duchayla. (Voyez Force, tome IL.)

Signalons maintenant les principales conséquences de ce théorème.

Si les deux forces P et Q sont égales entre elles, on a dans le triangle rectangle (fig. 14, PI. XXI) APO, en désignant l’angle PAO, moitié de l'angle PAQ des forces, par »,