Enfiu, quel que soit l'angle PAQ des compo

RÉS 447 santes (fig. 16, PI. XXI), le triangle APR donne (voy. TRiGONOMÈTRIE, tome IT)

=") == 9 — AR — AP PR — AP X PR X cos APR;

Mais PR — AQ, et comme l’angle APR est le supplément de l’angle des forces, PAQ — +, on a

cos APR —— cos Ÿ;

donc R?=— P? + Q? + 2PQ cosy.

Cette expression fait connaître la grandeur de la résul-

tante de dêux forces quelconques P et Q faisant entre

elles un angle quelconque 4. En y posant 4 — 90°, on

retrouve la formule du n° 12, et en prenant P —Q,

celle du n° 11. S Le même triangle APR donne encore

AP : PR : AR — sin PRA : sin PAR : sin APR.

Or, prolongeant AR en R' et observant que PR — AQ et que

sin PRA = sin RAQ — sin R'AQ, sin PAR — sin PAR!', sin APR — sin PAQ,

on yoit que cette proportion est la même chose que

P:Q:R— sin R'AQ : sin PAR: sin PAQ.

Maintenant, si l’on applique au point A une force AR'— R' égale et directement opposée à la résultante R, le système des trois forces P, Q, R' sera en équilibre, et comme R!/— R, on aura également entre ces trois forces la relation

P:Q:R'— sin R'AQ : sin PAR": sin PAQ,

d'où l’on peut conclure que trois forces sont en équilibre lorsque la grandeur de chacune d’elles est proportionnelle au sinus de l'angle formé par la direction des deux autres.

15. Le parallélogramme des forces conduit immédiatement à la détermination de la résultante d’un nombre quelconque de forces appliquéès à un même point, lors même qu'elles he sont pas situées dans un même plan; car, en les composant deux à deux, on peut toujours diminuer successivement le nombre des forces du système et les réduire enfin à une seule, qui est la résultante générale. Soient, par exemple (fig. 17, PI. XXI), les forces P, P', P’, etc., qui concourent au point À, les ayant représentées par les parties AP, AP'. AP”, ete., de leurs directions, on construira sur AP et AP" le parallélogramme APRP', dont la diagonale AR sera la résultante des deux forces P et P'; sur AR et AP”, on construira ensuite le parallélogramme APR'P', et sa

diagonale AR’ sera la résultante des trois forces P, P’, P'; construisant encore sur AR' et AP” le parallélogramme ARR°'R", on aura, pour la résultante des quatre forces P, P', P", P' la diagonale AR", et ainsi de suite. En procédant de cette manière, on parviendra toujours soit à une dernière diagonale qui sera la résul-

tante du système, soit à deux forces directement oppo-

sées. Si le système était en équilibre, ces deux dernières :

forces seraient égales.

16. Lorsque les forces concourantes à un même point ne sont qu'au nombre de trois et que leurs directions ne sont pas comprises dans le même plan, la construction précédente fait connaitre une propriété trèsimportante de la résultante. Soient, en effet, les trois forces P — AP, P'— AQ, P'— AR (PI. XXI, fig.18), dirigées d’une manière quelconque dans l’espace; construisons dans le plan des deux forces AQ et AR le parallélogramme AQTR, la disgonale AT sera la résultante de ces deux forces, et si nous construisons ensuite dans le plan des deux droites AT et AP le parallélogramme PATS, sa diagonale AS sera la résultante des deux forces AT et AP ou celle des trois forces AP, AQ et AR; mais il est facile de voir que AS est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois forces AP, AQ et AR; donc la résultante de trois forces appliquées à un méme point et dont les directions ne sont pas dans le même plan est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède, construit sur ces forces.

Les relations connues entre la diagonale d’un parallélipipède et ses trois arêtes donnent immédiatement la valeur de la résultante AS, que nous nommerons S. Désignons respectivement par (P, Q), (P, R), (Q, R) les angles que font entre elles les forces P et Q, PetR, Q et R, nous aurons |

S' = P?+Q? +R? + 2PQ cos (P,Q) + 2PR cos (P,R) + 2QR cos (Q,R).

Si les forces P, Q et R sont perpendiculaires entre elles, on aura simplement

17. La décomposition des forces repose sur les mêmes principes que leur composition. Il est évident, d’après ce qui précède, qu’on peut toujours substituer à une force quelconque un système de deux forces agissant dans le même plan ou un système de trois forces agissant dans l’espace à trois dimensions. Soit en effet AR une force appliquée à un point A (PI. XXI, fig. 19) représentons par AP une autre force d’une direction quelconque, joignons les points P et R par la droite PR, menons RQ parallèle à AP et AQ parallèle à PR, AR sera la diagonale du parallélogramme AQRP, et l'on pourra conséquemment remplacer la force AR par

les deux forces AQ et AP. Prenons maintenant hors du plan AQRP une droite AS pour représenter une autre force d’une grandeur et d’une direction arbitraire, menons SQ puis AT parallèle à SQ et TQ parallèle à AS, AQ sera la diagonale du parailélogramme ASQT, de sorte que nous pourrons remplacer la force AQ par les deux forces AS et AT; ainsi la force primitive AR pourra être remplacée par les trois forces AP, AT, AS. Cette décomposition peut s'effectuer d’une infinité de manières différentes, puisque les forces AP et AS sont entièrement arbitraires.

18. Lorsqu'on décompose une force, on assujettit ordinairement les composantes à la condition d’être perpendiculaires entre elles, ce qui simplifie les relations; mais alors les grandeurs de ces composantes se trouvent déterminées par les angles qu’elles font avec la résultante, et l’on ne peut prendre aucune d’elles arbitrairement. Soit, par exemple, AR (PL XXI, fig. 15) la force qu’on veut remplacer par deux autres forces rectangulaires appliquées au même point A ; menons la droite AP dans une direction quelconque, puis la droite AQ perpendiculaire à AP; du point R abaissons respectivement sur AP et sur AQ les perpendiculaires RP et RQ, ces perpendiculaires détermineront les composantes AP et AQ ; et l’on voit que dans cette construction il n’y a d'arbitraire que l'angle PAR. S’il s'agissait de décomposer AR en trois forces rectangulaires, dans l’espace, on pourrait de nouveau prendre une composante d’une direction quelconque, en ‘opérant de la même manière.

19. Nommons &, 8 et y les angles que trois forces rectangulaires X, Y, Z font respectivement avec leur résultante R, et observons que puisque R est la diagonale du parallélipipède rectangle construit sur les droites X, Y, Z, nous avons (Géo. , 15)

X—Rcosu, Y—Recosfÿ, Z—Rocos),

et R— [x +v+%],

les angles «, Bet y sont d’ailleurs liés par la relation (Géo. , 13)

cos a + cos 8 + cos? y— 1.

Ces équations servent à trouver la valeur et la direction de la résultante lorsque les composantes sont données, et vice versd.