Si l’une des composantes est nulle, Z, par exem

ple, on a seulement X=Roeose, Y—Recosp,

RÉS dans ce cas, la résultante R est comprise dans le plan des deux composantes X et Y, comme nous l’avons vu ci-dessus.

21. Ces dernières expressions conduisent facilement aux conditions d'équilibre d’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et comprises ou non dans un même plan. Soient P, P', P', etc. (PL. XXI, fig. 20) des forces concourantes au point A et que nous supposerons d’abord situées dans un même plan; menons par le point A les axes rectangulaires AX, AY, et représentant, les forces P, P', P', etc., par les parties AP, AP’, AP’, etc., de leurs directions; décomposons chacune de ces forces en deux autres dirigées suivant les axes AX et AY. De cette manière, le système donné sera transformé en un autre qui ne contiendra plus que des forces dirigées suivant les deux axes, et dont il sera

facile de trouver la résultante.

Nommons , x, «’, etc., les angles que les forces P, P', P’, etc., font avec l’axe cos x, et B, f', f, etc., les angles qu’elles font avec l’axe des y. Si nous considérons en particulier la force P ou AP, nous verrons que ses deux composantes AM et AN ont pour valeurs

AM—Pcos«, AN—P cos,

et qu’en général les composantes dans le sens des x sont exprimées par

PICOs x. PACosu,. PÉCos xs etc.

et les composantes dans le sens de y par

PicosB;. P'cos£, P’cosf',. etc.

Prenant la somme de toutes les composantes qui agis-

sent dans le sens des x et la nommant X ; prenant éga-

lement la somme de toutes les composantes qui agis-

sent dans le sens des y et la nommant Y, nous aurons \

“ss. (a)

P cos « + P'cos «+ P'cos «+ etc. — X, P cosB + P' cos f'+ P' cos £’ + etc. = Y,

et, par conséquent , toutes les forces proposées seront » PAP

réduites à deux forces rectangulaires X et Y, dont la résultante R aura pour valeur ..….. (b)

22. Il est essentiel, en formant la somme des composantes par rapport à chaque axe, d’avoir égard aux signes dont les cosinus peuvent être affectés, car ces signes déterminent le sens suivant lequel agissent les composantes. Pour fixer les idées, considérons seulement deux forces P et P°' (fig. 21, PI. XXI). Leurs composantes suivant l’axe des æ seront

AQ—P cos PAX, Ton. ur.

ASE=IPICOS PA

RÉS 449 et comme ces composantes agissent dans une direction opposée, nous aurons pour leur résultante

X — P cos PAX — P'cos P'AX’.

Or, «et «’ désignant les angles que forment respective-

ment les forces P et P' avec l’axe positif AX, on a

PAX —u, P'AX'— 180 — %,

d’où cos P'AX" = — cos &’; la résultante X est donc

encore exprimée par

X = P cos x + P'cosu',

et l’on voit qu’en se réservant de déterminer les signes des cosinus lorsqu'on voudra réaliser les calculs, on peut donner à toutes les composantes le signe , comme nous l'avons fait dans les expressions (a).

23. La grandeur de la résultante se trouvant fixée par l'expression (b), il ne s’agit plus que de trouver sa direction, et pour cet effet, si nous nommons @ et b les angles qu’elle forme avec les axes coordonnés, nous

aurons, d’après le n° 20,

X—Rocosa, Y—Recosb, ce qui nous donnera 0 FR ces COS) = K:

24. Si toutes les forces proposées sont en équilibre, la résultante R est nulle, et l’on a

X?2+Y?— 0, équation qui ne peut être satisfaite que par les valeurs