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D nono es 6 c o 100. ci 100 LOS che 1070 200-1070 2HON- CT 00 DDO Ce 202: 70 SOON 200,00

Le thermomètre à air, quelque parfait qu’il soit dans sa marche, ne peut malheureusement satisfaire à tous les besoins de la science, parce que cet appareil est détruit par la fusion du verre, qui a lieu à une température bien inférieure à celle de la plupart des métaux; de sorte que, pour mesurer de hautes températures, on est forcé d’avoir recours à d’autres instrumens. Ceux qu’on a imaginés pour cet objet se nomment pyromètres. Le plus usité est le pyromètre de Wedgwood, qui est fondé sur la propriété qu’a l’argile de se contracter au lieu de se dilater par la chaleur. Ce phénomène ayant été observé par Wedgwood, il fit préparer des tubes d'argile de dimensions exactement déterminées, puis il les exposa à une chaleur de plus en plus intense, pour étudier les lois de leurs contractions. Le retrait de l'argile paraissant s’effectuer toujours de la même maniere, et cette substance ne reprenant pas son premier volume par le refroidissement, Wedgwood sut mettre à profit toutes ces circonstances pour construire un appareil qui, tout imparfait qu'il est, n’en a pas moins rendu de grands services aux arts industriels. Le pyromètre de Wedgwood est composé d’une plaque de cuivre ABCD (PI. XXIT, fig. 11) sur laquelle sont fixées deux barres de même métal légèrement inclinées entre elles; l’une des barres porte une échelle de 240 parties égales qu’on nomme degrés pyrométriques, et dont le o correspond au plus grand écartement des deux barres. De petits cônes tronqués abcd faits en argile et cuits à la chaleur rouge naissant sont moulés de manière qu'en les introduisant dans la rainure formée par les barres, ils peuvent s’enfoncer jusqu’à la division de l’échelle marquée 0. Lorsqu'on veut connaître la température d’un degré de chaleur, on y introduit un creuset fermé contenant un des petits cônes d'argile, et on le retire quand on juge qu’il a pris la température du foyer. Après qu'il s’est refroidi, on l’introduit dans la rainure en le faisant glisser jusqu’à l'endroit le plus resserré qu'il peut atteindre, et la division de l'échelle indique la température en degrés pyrométriques.

Pour comparer les indications de cet instrument aux

degrés du thermomètre, il faudrait connaitre exactement la correspondance des échelles et le degré du thermomètre qui répond au o du pyromètre; mais, outre que les lois du retrait de l’argile sont entièrement inconnues, c’est plutôt par convention que par aucune approximation suflisante qu’on a établi que le o du pyromètre répond à 580°,55 du thermomètre centigrade, et que chaque degré pyrométrique équivaut à 72°22 du même thermomètre.

TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. (Calcul intégral.) Dans la plupart des applications du calcul infinitésimal, on est conduit à des expressions différentielles qu’il est impossible d'intégrer sous forme finie, soit généralement, soit entre des limites données Alors, et lorsqu'il s’agit d’intégrales définies, on est réduit à calculer leurs valeurs approchées, au moyen de la méthode des quadratures ou de leur développement en série convergente; mais on ignore complètement la nature des quantités transcendantes qui entrent dans leur génération, et tout ce qu’on a pu faire de mieux jusqu'ici a été de chercher à diminuer le nombre de ces quantités en les faisant dépendre les unes des autres. De tous les résultats obtenus par les géomètres dans cette branche difficile de l’analyse, ceux de Legendre doivent être placés au premier rang sous le rapport dela généralité et de la fécondité ; car il a su ramener une classe très-nombreuse d’intégrales à des arcs d’ellipse, et rendu leur calcul aussi facile que celui des fonctions circulaires ou logarithmiques.

Dès qu'on eut intégré certaines formules par des arcs de cercle, on dut tenter naturellement de réduire d’aue tres intégrales à des ares d’ellipse ou d'hyperbole ; Maclaurin et d’Alembert, qui, les premiers, se livrèrent à ‘cette recherche, trouvèrent en effet plusieurs formules susceptibles d’une telle réduction ; mais leurs résultats étaient isolés, et ce fut un géomètre italien, le comte de Fagnano, qui ouvrit la carrière à des investigations plus profondes, en découvrant que, sur toute ellipse ou

sur toute hyperbole donnée, on peut assigner d’une in-

finité de manières deux ares dont la différence est égale

à une quantité algébrique. Plus tard Landen démontra que tout arc d'hyperbole peut être mesuré par deux ares d’ellipse, sans entrevoir toutefois les conséquences de cette découverte très-remarquable. C’est en 1786, dans les mémoires de l’Académie des sciences, que Legendre publia ses premières recherches sur l'intégration par arcs d’ellipse ; il fit voir que, dans une suite infinie d’ellipses formées d’après une loi donnée, on peut réduire la rectification d’une de ces ellipses à celle de deux autres prises à volonté dans la même suite. Il reprit bientôt la matière d’une manière plus générale et plus méthodique dans un mémoire sur les transcen-

dantes elliptiques publié en 1795: et enfin, des recherches ultérieures lui ayant permis de former un ensemble thédrique, il donna er 1835 sh traité des fonctions elliptiques, qui, à défaut d’autres titres, suffirait pour lui assigner un rang distingué parmi les premiers anàlystes de notre siècle. Depuis, M. Jacobi, professeur à l'université de Kænigsberg, a su se placer à côté de Legendre en enrichissant la théorie des fonctions elliptiques de plusieurs découvertes importantes.

Les limites de notre ouvrage ne nous permettent pas les développemens nécessaires à l'intelligence de la théorie des fonctions elliptiques; tout ce que nous pou- Yons faire ici, c’est de donner une idée de son objet.

Soit P une fonction rationnelle quelconque de la va-

riable #, et R un radical carré de la forme

v{s — px + 72 + sa? + |,

FF Rs

est, en général, une quantité transcendante dont la na-

l'intégrale

ture chänge avec la valeur de P; sans toutefois que de l'infinité des valeurs différentes qu'ôn peut donner à P il résulte une infinité de transcendantes différentes,

Par une première préparation, on peut toujours faire en sorte qu'il n’y ait pas de puissances impaires de la variable sous le radical; aiñsi nous poserons généra-

lement LEAAENTENTE

Où peut supposer en outre que P est une fonction paire de æ? car on peut toujours faire

P—M+Nz,

M et N étant des fonctions paires de æ. Or, la partie

Nædæ à el IT ET 1 Lai ps se ramène aux règles ordinaires en faisant 2° =;

nee PR EL Mdzx ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer Re dans laquelle M est une fonction paire de æ.

Ceci posé, Legendre prouve, par l'analyse des diffé -

dx ; à n peut toujours être ra-

rens cas, que la différentielle I

menée à la forme

TT == 9 Vi — € sin’?

dans laquelle c est plus petit que l'unité, et, par suite, Pdx À que | est transformé en

Qd?

Vic sing

TRA Q étant une fonction rationnelle paire de sin 9, laquelle contient sin © au même degré que P contient æ.

La décomposition de cette intégrale montre qu’elle renferme en général, 1° une partie algébrique, 2° une intégrale de la forme

> | (AE B sing) ee :

== , — c?sin?9

35° uné où plusieurs intégrales dé la forme

Ji+nsine Va CETTE

dans chacune desquelles les coefficiens N et n peuvent avoir des valeurs quelconques réelles ou imaginaires. sde [Pdx Les transcendantes contenues dans Ja formule = T3

se réduisant toujours à l’une des deux formes précédentes, il est visible qu’elles sont comprises dans la formule générale

ne fin de

inst Vi—c sing

et ce sont les intégrâles de cette dernière qui consti-

tuent les fonctions où transcendantes elliptiques.

Lä transcendante H est supposée s’évanouir ou comméncer lorsque # — 0; son étendue est déterminée par ja väriable 4, qu’on nomme l'amplitude; la constante €, toujours plus petite que l’unité, s’appelle le module, et la quantité V/1 — c? est dite le complément du module.

Les fonctions comprises dans la formule H se divisent en trois espèces ; la première et la plus simple est représentée par la formule

d EF — er:

V/i — ct sin?

La seconde est l'arc d’ellipse compté depuis le petit

axe, et dont l'expression est = I c° sin? o . dy.

Enfin, la troisième est représentée par

Elle contient; outre le module € commun aux deux autres espèces, un paramètre qui peut être à volonté positif, négatif, réel ou imaginaire. Les fonctions de cette espèce peuvent toujours s'exprimer par des fonctions de la première et de la seconde espèce. 1 C’est à l’aide de ces trois fonctions nommées fic tions elliptiques de la première, de la seconde et de law

troisième espèce, et pour lesquelles Legendre a calculé

des tables très-étendues, qu'on obtient la valeur de a , B toutes les intégrales comprises sous la forme FF

Voyez Legendre, Traité des fonctions elliptiques. — Jacobi, Fundamenta nova functionum ellipticarum.

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. (Ast.) Les latitudes et les longitudes des astres sont liées à leurs ascensions droites et leurs déclinaisons par des relations qui se déduisent fort simplement des premiers principes de la géométrie analytique. Voici comment :

Si l’on appelle Æ& l’ascension droite d’un astre, D sa déclinaison, L sa longitude, à sa latitude, et que w désigne l’obliquité de l’écliptique, la position de cet astre, rapportée à un système de coordonnées rectangles ayant le centre de la terre pour origine, et dont x, y représentent le plan de l’équateur, sera donnée comme à l’article PARALLAXES, par

æ—7cos & cos D, y—rsin RcosD, z—7r sin D.

Le même astre rapporté au plan de l’écliptique représenté par &’, y sera pareillement donné de position par

æ'—rcosLcos}, y—rsinLeos), z —rsin),

r étant la distance de l’astre à la terre.

Mais quand on passe d’un système de coordonnées æ, y, Z à un autre æ', y’, z, On a dans la circonstance actuelle, et parce que l’angle des y, y est égal à l'obliquité », on a, disons-nous (a) (voy. tome II, p. 562),

T=T, Y—=YC0Sw—Z Sin0, 22 C0$0 ySsin»; réciproquement (b)

QU U ; . U 0 T'=T, Y—=YCOSw—Zsinw, 2 —ZCOSw—/Ysine.

Par conséquent, si l’on introduit dans les relations (a)

les valeurs précédentes de æ, y, z, &', y, z', on aura tout d’abord (c)

cos & cos D — cos L cos), sin Æ& cos D — sin L cos } cos — sin } sinw, sin D — sin) cos + sin L cos} sinw, et si l’on procède de même à l'égard des relations inverses (b), on aura (d) cos L cos} — cos A cosD, sin L cos 1 — sin Æ cos D cos sin D sin, sin À — sin D cosw — sin A cos D sine.

Divisant maintenant la seconde et la troisième équation (c) successivement par la première, on obtiendra,

comme par la trigonométrie sphérique , mais plus rapidement,

sin L cosw — tang}sins

378 cos L

or (tangà cos + sin L sin) cos A cos L

Enfin, opérant sur les formules (d) de la même manière, il viendra

sin & cos tang D sin, tang L — as .

cos R , (rang D cos — sin Æ sin ») cosL tang À — ————— cos A

Les deux premiers résultats font donc connaître l’ascen-

sion droite et la déclinaison par la longitude et la lati-

tude, tandis que les deux autres donnent la longitude

et la latitude au moyen de l’ascension droite et de la

déclinaison, coordonnées astronomiques qu’il est essen-

tiel de déterminer pour effectuer le calcul des éclipses, (M. Puissant.)

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. (Géométrie. ) Ce problème, pour tout ce qui concerne la géométrie plane, a été traité dans notre second volume; nous n’avons donc à le considérer ici que dans l’espace à trois dimensions.

Supposons d’abord qu’il s'agisse de passer d’un système d’axes rectangulaires OX, OY, OZ (PI. XXI, fig. 4) à un système d’axes obliquesOX”",0Y",0Z' qui a la même origine O. Soit M un point quelconque de l’espace, si de ce point on mène des droites parallèles à tous les axes, et que par les points où elles rencontrent les plans coordonnés on mène d’autres parallèles aux axes, on formera deux parallélipipèdes, l’un rectangle yPM£z, l’autre oblique y'P'Mæ', qui auront deux sommets communs, l’un en O, et l’autre en M. Les droites MR, MQ et MP ou Ox, Oy,-0z seront les coordonnées du point M par rapport aux axes rectangulaires, et les droites MR’, MQ"', MP' ou Ox', Oy, même point par rapport aux axes obliques. Il s’agit de

z' seront les coordonnées du

trouver les valeurs des premières en fonction des sesecondes, ou vice versd.

Nous exposerons d’abord une propriété des lignes dont nous allons avoir besoin, et qui n’est qu'un cas particulier d’une propriété des plans (voy. Prorecriox), sayoir : que la projection d'une droïte sur une autre droite est égale à la droite primitive multipliée par le cosinus de l'angle aiqu que ces droites font entre elles.

Pour bien comprendre ce théorème, il faut savoir que lorsqu'il s’agit de deux droites situées dans l’espace de manière à ne pouvoir se rencontrer, on est conyenu de nommer angle de ces droites l'angle formé par l’une

d'elles avec toute droite parallèle à l'autre. Soit donc AB (PI. XXII, fig. 5) une droite d’une grandeur détermivée ou finie, et OX une droite indéfinie ; des points À et B abaissons sur OX les perpendiculaires AA° et BB’, A'B' sera la projection de AB, et si, par le point B, nous menons une droite BC parallèle à OX, l'angle ABC sera l'angle des droites AB et OX, et nous aurons

A'B — AB * cos ABC.

En effet, concevons par le point À un plan AM perpendiculaire à OX, et par le point C, où ce plan est rencontré par BC, menons les droites AC et A'C, le triangle ACB sera rectangle en C et donnera (voy. Tai-

CONOMÉTRIE) .

CB — AB X cos ABC.

Mais BB est parallèle au plan AM, et par conséquent à la droite A'C; donc CB — A'B'; donc, etc.

Reprenons maintenant le point M rapporté à deux systèmes d’axes (fig. 4), et ne laissant subsister dans la figure que les lignes nécessaires, observons que si nous convenons de désigner par +, y, z les coordonnées rectangulaires, et par æ’,y',z les coordonnées obliques,

nous aurons (fig. 6) MP — x, MP'== 2.

Or —'7, Px — y,

Or —x, Pr —Y,

Ceci posé, par les points æ', Pet M, menons à l'axe OX les perpendiculaires æ'C, P'D, Mx, et il nous sera facile de voir que OC sera la projection de Ox', CD celle de P'x', et Dr celle de MP’; de sorte que la coordonnée rectangulaire Oæ ou x est précisément égale à la somme des projections destrois coordonnées obliques æ', y' etz! sur son axe; mais en désignant par la notation (x',æ), (y, æ), (z,æ) les angles que font respectivement les axes des æ', yet z' avec l’axe des æ, nous avons, en

vertu du théorème ci-dessus,

OC = Oz’. cos (x',æ) — æ' cos (x, æ) CD = æ'P'. cos (y',æ) — y cos (y', x)

Dx — MP'. cos (z', x) — Z cos (C5 &) ; et, conséquemment, à cause de OC+CD+Dz=0x=x, æ—x cos (z',æ)+y cos (y,x) +2" cos (z', æ).

La même construction faite pour chacun des deux autres axes OY et OZ devant nécessairement nous donner des résultats semblables, nous en conclurons que chaque coordonnée rectangulaire est égale à la somme des projections des trois nouvelles coordonnées sur chacun des anciens axes, en observant toutefois que par le mot somme il faut entendre la somme algébrique; car, si les

trois demi-axes obliques positifs ne formaient pas trois angles aigus avec chacun des trois demi-axes rectangulaires positifs, comme nous l’avons supposé dans notre figure, il y aurait dans les trois projections sur un axe des quantités qu'il faudrait prendre négativement pour que la somme fût égale à la coordonnée rectangulaire. Au reste, cette circonstance est indiquée par le signe du cosinus, qui devient négatif lorsque l’angle des axes est obtus; de sorte qu'en tenant compte de ces signes ainsi que des signes des coordonnées, nous pouvons poser les trois formules générales suivantes de trans-

formation ..... (1) :

æ—æ'cos(x,x) +y'cos(y',æ) +2 cos(z',z y = æ'cos(x', y) + y'cos (y, y) +2" cos (z',y) z= æ'cos (x, 2) + y'cos(y',z) + z'cos (z',),

ou plus simplement ..... (2)

æ— ax + by + cz y = ax + by + c'z' za by + cz,

en désignant par a, a’, a les cosinus des angles que forme l’axe des æ’ avec les anciens axes rectangulaires, par b, b', b'les cosinus des angles de l’axe des y’, et par c, c', cles cosinus des angles de l’axe des Z’ avec les mêmes axes.

Les neuf constantes qui entrent dans ces expressions ne sont pas toutes arbitraires, car on sait que les trois angles formés par une même droite avec trois axes rectangulaires sont assujettis à la condition d’avoir la somme des carrés de leurs cosinus égale à l’unité (voy. GÉOMÉTRIE, n° 13); On ne peut donc en disposer qu’en joignant aux équations (2) les relations .... (3)

CS LE LEE + ce? Fe — "1.

Si l’origine des coordonnées n’était pas la même, il suflirait d’ajouter à la valeur de chaque coordonnée dans les formules (2) la coordonnée de la nouvelle origine par rapport à l’ancien axe. En effet, imaginons qu’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes en transportant l’origine O à un autre point O’ dont les coordonnées par rapport à O soient «, £ et y, il est évident que nous aurons entre les anciennes coordonnées æ, y, % et les nouvelles x’, y’, z' les relations

Ainsi, désignant toujours par «, 6, y les coordonnées

Œ = 2" + «us

rectangulaires, par rapport à l’origine O, de l’origine O’ des axes obliques, les relations générales pour passer

d'un système de coordonnées rectangulaires à un Système de coordonnées obliques sont ..... (4)

æ—u—+ ax +by +cz y= Gta ty tes 2 y+ de + by+ cz.

Pour passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système également rectangulaire, il suffit maintenant de joindre aux relations (5) et (4) de nouvelles relations qui imposent aux angles que font entre eux les axes OX', OY', OZ! la condition d’être droits. Or (GÉOMÉTRIE, n° 16), quel que soit l’angle des deux axes OX'et OY’, que nous désignerons par (æ’, y'), sa valeur en fonction des angles que ces droites font avec les anciens axes dépend de la relation

cos (æ',y) — cos (z',æ) cos (y',æ) —+ cos (z',y)cos(y',y) Lcos(x',z) cos(y',2);

de sorte que, pour que cet angle soit droit, il faut qu’on ait

cos (&',æ) cos (y',æ) + cos (x’, y) cos(y';y) — cos (æ',z) cos(y', z) = 0 ou

ab + ab + à = 0.

Ainsi, la même relation ayant lieu par rapport aux autres angles pour exprimer que les angles des nouveaux axes sont droits, il est nécessaire et il suffit de poser les conditions ..... (3)

ab + ab + ab —0o ac+ac+ac—0o be + b'e + b'e — 0,

qui, jointes aux conditions (3) et (4), donnent la solution du problème. Il faut observer que les formules (3) et () établissent six relations entre les neuf constantes, et conséquemment qu'on ne peut disposer arbitrairement que de trois d’entre elles.

Nous ne nous arrèterons pas à la transformation d’un système de coordonnées obliques en un autre système de coordonnées obliques; la prolixité des formules dont cette transformation dépend ne permet pas de l'employer avantageusement:

TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. (Géodésie.) Les triangles formés sur l’ellipsoide de révolution par des lignes de plus courte distance d’une grandeur quelconque ne pouvant être résolus comme des triangles sphériques, Euler essaya dès 1763 de les traiter parune méthode particulière, fondée sur sa théorie de maximis

Ton. mr.

TRI 465 et minimis, et il parvint à trois équations qui expriment les relations qu'ont entre eux les six élémens d’un triangle sphéroïdique formé par deux méridiens elliptiques et un arc de plus courte distance : elles font l’objet d’un mémoire inséré parmi ceux de l’Académie des sciences de Berlin. Toutefois, Clairaut, vingt ans auparavant, avait déjà signalé les principales propriétés du triangle sphéroïdique rectangle. Les difficultés qu’'Euler éprouva pour intégrer deux de ses équations différentielles rendirent sa solution incomplète. C’est, d’une part, le rapport entre la différentielle de la plus courte distance, qui est en général une courbe à double courbure, et celle de lune des latitudes données; d’autre part, le rapport entre la différentielle de cette même latitude et celle de l’angle au pôle. Mais ces difficultés furent aplanies par Dionis du Séjour, parce que ce géomètre fit subir à ces mêmes équations des transformations qui, en les adaptant à la sphère inscrite, en simplifient la forme et les rendent facilement intégrables par les séries. Depuis lors, Legendre et Oriani, mettant à profit cet ingénieux procédé, parvinrent, chacun de leur côté, à perfectionner la théorie des triangles sphéroïdiques obliquangles, le premier, dans les mémoires de l’Académie des sciences (année 1806), le second, dans les mémoires de physique et de mathématiques de Milan, même année. Néanmoins il était à désirer que la résolution de tous les cas possibles de ces triangles, exposée d’une manière très-diffuse par Oriani, fût ramenée à des méthodes de calcul plus simples, et tel est le but que nous sommes proposé dans notre Nouvel Essai de trigonométrie sphéroïdique publié dans le quatorzième volume des Mémoires de l'Institut. Voici quels sont les principes de cette trigonométrie.

DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UNE LIGNE GÉODÉSIQUE ET DE LEUR INTÉGRATION PAR LES SERIES.

Si une droite AM (PI. XXIT, fig. 7), menée dans le plan d’un grand triangle ABC tracé sur la terre, est prolongée d’une quantité MM', ce prolongement ne sera point contenu dans le plan du second triangle BCD par l'effet de la courbure de la surface terrestre; mais sa projection horizontale MN, déterminée par la verticale M'N, représentera, avec la première partie AM, la plus courte distance du point A au point N. Pour le prouver, rabattons la ligne MM sur le triangle BCD, en la faisant tourner autour de BC comme axe, et supposant l'angle CMM' inyariable. Par ce mouvement, M! décrira un très-petit arc de cercle qui pourra être considéré comme une droite M'N perpendiculaire au plan BCD; et si, dans le triangle MM'N rectangle en N, l'hypothènuse est égale à AM et désignée par ds ou par

le premier élément de la ligne géodésique, et que lé très-petit angle M'MN le soit par ?, l’on aura

M'N — ds sin à MN — ds cos à

es (: = DE 4 (: y )

Ainsi il est évident qu’en négligeant les termes infe-

rieurs à 4”, le second élément MN de la ligne géodésique est, à un infiniment petit près du troisième ordre, égal à ds, et que la normale M'N comprise entre le prolongement de AM et la surface terrestre est du second ordre. La distance AMN est donc égale à la droite AMM'. Donc, généralement, une ligne tracée sur la terre par des jalons qui s’effacent les uns par les autres est la plus courte entre toutes celles que l’on peut mener entre ses extrémités, et la propriété analytique d’une telle ligne résulte de ce que sa différentielle ds est constante.

Maintenant, soient x, Y5 les coordonnées rectangles de l’origine de cet élément ds ou du point A du sphéroïde terrestre; celles de son extrémité M seront æ + dx, y—+-dy, :+-dz; et les coordonnées du point M’, extrémité du second élément MM'— ds, seront évidemment

æ + 2dx = X", y+ 2dy — Y', zLodz— 2.

D'un autre côté, nous venons de démontrer que la petile normale M°N ou la perpendiculaire au second triangle BCD est du second ordre; ainsi elle peut être considérée comme la diagonale d’un parallélipipède rectangle dont les côtés seraient du même ordre. c'està-dire dx, dy, d’z: les coordonnées du point N ou du pied de cette normale sont donc

æ + 2dæ — dx — X, y + 2dy — dy=Y, 2 + odz — dz — 1.

De plus, par la théorie connue des surfaces courbes, dont l’équation différentielle est

3 sb um fda dz x — pdx + qdy — Fa dx + () dy,

on a en général, pour les deux équations des projections verticales de leur normale,

et si l’on élimine entre elles Z'— Z, la troisième équation de cette ligne sur le plan des æy sera

ou bien, mettant pour X'— X et Y'— Y leurs valeurs précédentes, on aura (1)

dz\s; dEN 4; () dr = (a) PE Cette équation sera celle de la ligne de plus courte

distance sur l’ellipsoïde de révolution en y mettant pour petgleurs valeurs tirées de l'équation de ce corps, savoir:

lorsqu'on prend l’axe des z pour celui de rotation. Or, on a en diflérentiant,

dz — pdx + qdy = — à ainsi l'équation (1) devient xdy — ydxr = 0.

Divisant ensuite par ds et intégrant, on a, à cause de ds constant et de l’'homogénéité (2),

ædy — ydx — Cds,

C étant la constante introduite par l'intégration. |

Pour montrer comment cette dernière équation conduit à une propriété caractéristique de la plus courte distance, faisons CT (PI. XXIT, fig. S)ouz=tet TM — gq; le triangle rectangle Cpm, dans lequel Cp — x, pm — yet Cm — q donnera evidemment, en faisant l'angle APM — o,

ZT —qCOSY,. y —=qSsiNnpy, et par la différenciation l’on aura

dx — dq cos ÿ — qd sin »

dy = da sin 9 Egds cos», valeurs qui changent l'équation (2) en celle-ci (5) :

g do — Cds.

D'un autre côté, le triangle élémentaire 4mwM rectangle en m' donne sin PMA, ou

ds ?

sinus

et les deux ares semblables F'G'= do et 4'm'.étant proportionnels à leurs rayons respectifs CF et qg — dg, l’on a

a'm — qdq

en prenant toutefois CF pour l'unité et négligeant le

terme du second ordre — dgdo; donc

TEE et gsinV— "0,

Ainsi la propriété de la ligne la plus courte est de rendre g sin V constant; et remarquons que quand on prend pour méridien fixe le plan des æz perpendiculaire à la ligne géodésique MM'A, ce qui est évidemment permis, l’azimut V au point A est droit, et la constante C est égale à l’'ordonnée AT, valeur initiale de q.

L'équation (3) exprime le rapport de la différentielle de la ligne géodésique à celle de la longitude de l’un de ses points. Il en existe une autre entre ces deux différentielles que l’on déduit de l'expression

TE ur)

En effet, en mettant ici pour dx et dy lenrs valeurs

ci-dessus, et faisant attention que 5 = f, on a S — dg + qd +de,

et substituant dans cette nouvelle expression pour ds

dy SAN nee 0 sh sa yaleur € ” ensuite éliminant d>, il vient g° (g° — C?) dé = C? (dé + dy) |

QC) de = p (a +dr) | Ÿ

Avant d'intégrer ces deux équations, il faut éliminer de chacune d’elles l’un des variables t, q à l’aide de l’équation du méridien mobile PMF, qui est

at + bg? — ab.

Mais, pour parvenir aux résultats les plus simples, prenons, à l'instar de Dionis du Séjour, une nouvelle variable } telle que l’abscisse { — b sin }, auquel cas ) sera l'angle que fait avec le plan de l'équateur æy le rayon b du cercle inscrit au méridien mobile, et dont l’abscisse d’un de ses points est la variable £. Cette valeur étant introduite dans l’équation précédente de ce méridien, on a l’ordonnée g — a cos ): et la constante C, qui est égale à q sin V, devient

C —= asin V cos ).

A un autre point M'de la plus courte distance, pour laquelle } se change en X’et Ven V', on a de même

C = a sin V'cos À.

Enfin, au point A, où l'azimut de AM' est supposé de 90°, on a, en désignant par 4

} ce que devient ), C — acosy.

Il résulte donc de ces trois valeurs la relation

cos 4 —"'sin V cos} — sin V'cos }';

c’est-à-dire que les sinus des angles azimutaux aux extrémilés d’une ligne géodésique sont entre eux réciproquement comme les cosinus des latitudes réduiles de ces

mêmes points. Nous appelons ici latitudes réduites les angles } et )', et voici pourquoi:

Si par le point M on mène la normale MO terminée au petit axe de l’ellipsoïde, l'angle POM sera le complément de la latitude vraie / de ce point, ou, ce qui

à TO :

est de même, on aura TN — tang L; mais, dans l'ellipse, la sous-normale TO correspondante aux coordonnées t, q, étant TO — ; lon a aussi

FO DUT merde œ )° sé t TM = dt TR ans 2; par consequent ,

tang | — - tang },

b b ou tang | = à tang L.

On voit donc que l'angle } est plus petit que /, puisque a est le rayon de l'équateur et b celui du pôle. Maintenant, si l’on substitue dans les équations différentielles (3) pour t, g et C leurs valeurs respectives b sin}, a cos Let a cos 4, on aura, à cause que l’angle 4

et la ligne s augmentent quand } diminue,

/ a* sin? SET = B? cos? 057 À 2 1. 2?

cos? } — cos? 4

2 CEE 2 A À ds = — dicos) V8 sp ET die)

Cora — cos? ÿ

di cosy a cos )

dy = —

Ce sont les équations différentielles de l’arc AM perpendiculaire au méridien fixe PA. Legendre rend leur intégration très-facile par les séries, en leur faisant subir préalablement quelques transformations à l’aide d’un angle subsidiaire ; mais on arrive au même but et plus directement en changeant sous les radicaux les

cosinus en sinus, et y faisant, pour abréger, ——

En effet, l’on a d’abord

bd . sin} = du Æ Sin À , Vi 2E = sin?

(sin? ÿ — sin? })* b cos 4 cos } . d) desde 9 M60s) 6 à VA Æ esintà,

cos? } (sin? L — sin?})*

et si l’on développe le radical Vi re sin?} jusqu’au

terme de l’ordre & inclusivement, les premiers termes

des valeurs de ds et do seront respectirement

tang À ; tang L

tang? }\ * | tang? y

car, par les formules trigonométriques connues, l’on a

identiquement

sin? — sin} = (tang? { — tang?}) cos? 4 cos?) ;

et les intégrales respectives seront

+ =nsin À b ds Li tang ) are , 37 — aug ÿ ,

ou, ce qui revient au même,

be 10 , a ,

en faisant sin À tang À COS = ——, COSu— ———.

sin Ÿ tang Ÿ

Quant aux autres termes, ils seront de la forme Audu

, et s’intégreront par le procédé connu.

(Ki — w°)° b En définitive, et à cause de re LS

on aura avec un peu d'attention

(A) B= (ir esintg— à & sint #) e

1 1 sn? 2eint. 2 À oi + [2e sin e? sin° + } sin 25 G LT +)

(B) pau [ie fe sine] en 4 1 :

s s à : $ et comme il est utile d’avoir & en fonction de p°9n

appliquera le retour des suites à la série (A) en la mettant sous cette forme

o=R + Pe+ Q + ....,

bornée aux termes du second ordre ; puis, tirant de là

; À 8 \ s sin 26 —= sin 2 G) + 2Pe-cos 2 G)

sin 45 = sin 4 G).

Après quoi il viendra, toutes substitutions faites (voy. GÉODÉSIE, tom. IL, p. 220)

= [e) D a Ii 2 7% 50 Sr

: sin? y + 64 ci sins})

TRI On aura en outre, d’après ce qui précède, : À D sin V'— (D) 5 cos À ?

V' étant l’angle que l'arc s fait avec le méridien qui passe par son extrémité M'.