DÉTERMINATION DES LATITUDES ET LONGITUDES GÉOGRAPHIQUES

Un autre problème important de géodésie, c’est de déterminer les coordonnées géographiques des sommets des triangles qui, par leur enchainement, couvrent toute l’étendue d’un pays dont on se propose de lever la carte. Ces coordonnées sont la latitude, la longitude et l'altitude (voy. ces mots); mais il est quelquefois nécessaire de recourir préalablement aux observations célestes pour avoir, tant la latitude et la longitude d’un de ces sommets pris pour point de départ, que l’azimut ou l’inclinaison de l’un des côtés des triangles sur le méridien de ce même point. Ces élémens géographiques étant obtenus, les différences de latitude, de longitude et d’azimut des autres sommets, comparés successivement un à un, se caleulent sur la terre à l’aide de formules qui proviennent de la résolution d’un triangle sphéroïdique dont on connaît deux côtés et l’angle compris, et auxquelles on parvient très-simplement ainsi quil suit.

Soit AB — k (fig.

de plus courte distance-d’un degré et demi d’amplitude,

15) un côté de triangle ou un arc

au plus; PA, PB les méridiens deses extrémités; L, l'es latitudes des points A, B; et désignons par p,p' leurs longitudes complées du premier méridien PM, c’està-dire les angles APM, BPM; enfin appelons v, v les azimuts de # comptés du nord à l’ouest, ou, ce qui est de même, les angles BAP, B'BP supposés aigus.

Cela posé, si &, 1, p, v sont les données du problème, l,p';

par le théorème de Taylor on aura

v seront nécessairement fonctions du côté k, et

dl CE, arr ges Hier 2: 2 3 AE ver EE | Re mas ÉUTE 3 d DA: Ci 14 D dk À 2 ae À Frs me +

n dv 1 à

dv — 0 + Sr = TELE —- 5 er Fe les coelliciens différentiels de ces trois séries. Or, en assimilant d’abord le triangle sphéroïdique APB à un triangle sphérique dont les côtés soient #, 90° —), 90° — l', et en formant le triangle élémentaire APR dans lequel AR — dk, ce triangle offrira évidemment ces relations :

Reste donc à déterminer

sin({+-dl) —=sinlcosdk+-coslsin dk cosv,

sin dp.… sin (v + dy) sin (u + dv) sin © sindk cost ? cost coÿ(l dl)’

puisque AP — 90° — /, RP — 90° — (1 + di); et si Von chasse les dénominateurs, qu’on développe et qu’on

réduise conformément à la doctrine des infiniment petits, il viendra

dl dp SD e dr Ë DE = CS V0 TE ES TE tang v tang l; par suite

— — Sin v tang L.

dk

Ces coefliciens différentiels du premier ordre étant trouvés, l’on passera sans difficulté à ceux des ordres supérieurs en faisant tout varier, et l’on obtiendra en

dernière analyse,

0 E = 2 R$in/vtane/ l=1Hkcosv— KE sin © tang

asie in, — - k$sin?vcos (: + tag) ; 2 5

sinv qe sine vtang l MP nt cos L : 2 1,,sinvcos?v 3 Zk (1+-5tang? l) G cos / : 3 1 ,,sinv — - ki tang? {, S'COST ”

; ; DRE v'—ù—#+#ksinvtang/+ Ga sin2v(2tang? [+:) + kisinvcos fotangt(s + str PLU sea annee 2 — kisin? tang(S-+ jtane ).

Mais pour compter les azimuts du sud à l’ouest et depuis o jusqu’à-360, à la manière accoutumée des ingénieurs-géographes français, l’on changera v en 180° —

cos v —— cos z. Enfin les séries précédentes se change-

zetv' en 360°— 2’, et l’on aura sin v — sin Z, ront, avec un peu d’attention, en celles-ci : . TE ee l'— 1——kcosz— — sin? ztangL

+ & Ur sin?zcosz(1—5tang?l),

tang {

e sin Z 1 E sin2z

cos L 2

LS

cos l

sin £ C0? z

1— 5tang*{ CUS L (GLS pe D )

ns 2 1 Sin” Z CT tane? / 5 &os à 6"

2 — 3 —180°— (p—psin HR sin2 x

1 1 — — Ré sin zcos'x

tang !

1 x + 6 k sin? 5 tang {.

Dans ces formules, la ligne géodésique k est censée appartenir à une sphère du rayon 1, puisque telle est la supposition tacite qui a été faite en premier lieu ; mais dans la pratique l’on prend pour ce rayon la normale N au sphéroïde terrestre, comprise entre le point dont la latitude est / et l’axe de la terre. Or cette normale, donnée en unités métriques comme la ligne k, ayant

: a aio »:

pour expression N = >; ainsi qu il est V/1 — e? sin?

aisé de le prouver, l’on doit remplacer k et ses puis-

k k EN à Ge sances par &» wi etc., quantités qui, à cause de leur

petitesse, sont respectivement du 1‘, du 2°, etc., ordre. De plus, tous les termes des séries ci-dessus, pour être exprimés en secondes de degré, doivent être multipliés parr', c’est-à-dire par le nombre de secondes contenues dans un arc égal au rayon, ou, ce qui est de même, par SIT Toutefois il est à considérer que la latitude l' déterminée de la sorte ne serait pas exactement celle qui, sur la terre elliptique, répondrait à l'extrémité de la ligne géodésique k; mais si l’on désigne par R lerayon decour-

bure du méridien à la latitude moyenne - (+ TL) =, il suffira, pour plus de précision, de multiplier la valeur . de l'— 1 par le rapport 2 parce que quand deux arcs

de plus courte distance sont de même grandeur sur la sphère et sur l’ellipsoïde de révolution, leurs amplitudes sont en raison inverse de leurs rayons de courbure.

a (1— € FT RE (i — e? sin)”

Dans ce cas , et l’on a, en déve- , ,

loppant en série par la formule du binome,

> = 1e cost 1e cos? + Sa eos sin Leosl;

mais le plus souvent les deux premiers termes suffisent. Quant à la seconde formule, par laquelle on obtient p — 7; elle convient à la fois à la sphère et au sphéroïde, et elle est alors avantageusement remplacée par

celle-ci :

dans laquelle la latitude [' est donnée par la première équation. Il en est aussi à peu près de même de la troisième équation; cependant il faudrait à la rigueur y : At 1 NRA ajouter le terme du troisième ordre 1N e? sin 27 cos”, pour l'adapter exactement au sphéroïde terrestre dont le carré de l’excentricité est e2. Voyez à ce sujet notre Traité de Géodésie, ou la Nouvelle Description géomé-

trique de la France (tome IX, p. 14 et 15}, laquelle contient une table qui abrége considérablement les calculs de ce genre.

Une seule application des deux premières formules réduites aux termes du premier et du deuxième ordre en fera suffisamment connaître l’utilité.

Proscime. D'après les opérations. géodésiques de France, l’on sait que la latitude du Panthéon

L— 48°5048",6, que sa longitude orientale p =— 354,6.

On sait de plus que l’azimut de Montlhéry sur l’horizon du Panthéon est ’

z = 15°5 25,5, compté du sud à l’ouest;

enfin, que le logarithme de la distance de ces deux points, évaluée en mètres, est

Log k — 4.5822185.

On demande la latitude l'et la longitude p' de Mont- Ihéry.

Solution. On a à résoudre les deux formules suivantes :

N sin: ! 2N?sin1

x k Q 2 in?

l'—1— KE Ne tang ]o+s cos),

is __ ksinz PP Nsinr cost

D'abord, si dans N

e sin? { = sin°0, l’on aura N — et, à cause de

cos 6?

Log a 6.8046154, Log € —= 7.8108714, lorsqu'on suppose l’aplatissement de la terre de

— > —= 0,0 à TEL A on trouvera

Log sin? 0 = 7.564413a,

d'où

Log sin 6 — 8.9822066 et |

Log cos 0 — 9.9992020.

Partant,

Log N = Log a — Log cos 9 — 6.8054124.

On a en outre

Log sin "= 4.6855749

et Log (1 + e* cos?!) — 0.0012153, et, avec toutes ces données, l’on trouve facilement

l— = — 560,5 — — 0°1240",5, pP—p= + 266",1 — + 0° 426,1.

Enfn, l’on a

latit, L'— 48:38" 8',1

long. p = 0° 351,5 (occidentale).

La grande triangulation qui sert de fondement à la nouvelle carte topographique de la France fournit un nombre immense de positions géographiques qui ont été calculées de la sorte, et dont les hauteurs au-dessus du niveau de la mer sont également connues. (Voyez ALTITUDE.)

Nous ferons remarquer, en terminant , que la diflérence des azimuts aux extrémités de la ligne 4 s’évalue fort simplement, à l’aide de cette formule

sin . (SE) D), cos 2 (1— l)

à laquelle conduit directement celle des analogies de Néper, qui donne la tangente de la demi-somme des angles inconnus en fonction de deux côtés et de l’angle compris. Nous dirons de plus que la valeur analytique précédente de l’— ! exprimerait en mètres la longueur d’un arc de méridien compris entre les parallèles des extrémités de k donné en mème mesure, si, pour établir l’homogénéité dans les termes de la série, l’on divisait respectivement le deuxième et Le troisième terme par la normale N et par son carré N°. C’est en effet l’une des méthodes de rectification qui ont été employées pour déterminer les diverses parties de la méridienne de France.

(M. Puissant.)

TURBINE. (Hydraul.) Nom générique de diverses machines hydrauliques dont l'organe principal est une roue horizontale qui recoit l’action de l’eau motrice.

Les roues hydrauliques horizontales sont connues depuis long-temps, et quoique celles qu’on emploie dans le midi de la France n’utilisent qu'une petite partie de la force motrice consommée, on les préfère aux autres roues, parce que la position verticale de leur axe simplifie considérablement le mécanisme des moulins qu'elles mettent en mouvement. (Voyez Roue, tome II, ‘et Auses.) M. Burdin, ingénieur des mines, frappé de l’énorme perte de force que ces machines en-

Ton. 11.

traînent, ayant cherché les moyens de les perfectionner, imagina diverses combinaisons très-ingénieuses au moyen desquelles une roue horizontale peut être disposée de manière à obéir soit à la pression de l’eau, soit à sa réaction, soit enfin à sa force centrifuge. Les travaux de ce savant distingué ont ainsi donné naissance aux trois classes de machines comprises par lui sous le nom de turbines, nom adopté immédiatement par tous les hydrauliciens.

La turbine dite & évacuation alternative est mise en jeu par la pression de l’eau. M. Burdin en a établi une au moulin de Pontgibaud (département du Puy-de- Dôme), dont l'effet utile, mesuré au moyen du frein dynamométrique (voy. ci-devant, page 304), a été les 0,67 de la force totale employée. C’est une roue à aubes courbes qui recoit l’eau par trois circonferences et la rend de manière que la portion qui sort d’une aube ne peut être choquée par l’aube qui vient immédiatement après. On en trouve la description dans le tome III des Annales des mines pour 1833.

La turbine dite à réaction est mue par la réaction (voy. ce mot) de l’eau. Celle que M. Burdin à établie au mouliu d’Ardres, dans :e département du Puy-de- Dôme, produit un effet utile qui n’a jamais été audessous des 0,65 de la force motrice et qui s’est quelquefois élevé jusqu'aux 0,75. La description en a été faite dans les Annales des mines, tome III, 1828.

La turbine à force centrifuge est la première machine hydraulique où l’on ait imaginé d'employer la seule force centrifuge du liquide en mouvement. M. Burdin en a fait mention dans un mémoire présenté à la Société d'encouragement pour le concours de 1827; mais, tout en reconnaissant qu’on ne peut lui refuser la priorité de l’idée principale, le mérite d’avoir réalisé cette idée, en surmontant toutes les difficultés inhérentes à la construction, appartient sans contredit à M. Fourneyron; ainsi, c’est avec justice qu'on ne désigne cette machine que sous le nom de turbine Fourneyron.

La turbine Fourneyron a la singulière propriété de marcher avec un égal avantage, soit qu’elle se trouve entièrement immergée dans l’eau du bief inférieur, soit qu’elle ne plonge qu’en partie dans cette eau, soit enfin qu’elle se meuve dans l'air. Celle que M. Fourneyron a construite sur le Doubs près de Besancon consiste en une forte cuve bb (PL XXIT, fig. 14) en fonte fermée par le haut, sauf le centre, par lequel elle donne ouverture à un long tuyau vertical par lequel passe l'arbre vertical de la roue. L’eau arrive dans cette cuve par un coursier en fonte fermé aa, lequel peut être cintré et conduire l’eau d’un réservoir supérieur, ce qui permet, dans le cas où le mouvement doit être transmis à un point sensiblement plus bas que le niveau du réservoir d'eau, de ne pas donner à l’axe de

la turbine une trop grande longueur, qui l’alfaiblirait, et de placer au point le plus convenable et avec toute facilité les engrenages de renvois qu’on adapte ordinairement à la partie supérieure de axe. L’eau entrant ainsi dans la cave, la remplit entièrement ; elle y trouve, vers le bas, à la hauteur », des cloisons verticales et courbes dd qui la conduisent, sur Ja turbine; ces eloisons sont vues en plan dans la fig. 15. La turbine est une roue à aubes courbes horizontales, portée sur une calotte sphérique {l percée à son centre m pour le passage de l’axe, lequel repose sur une crapaudine n. L’axe et la calotte sphérique font corps ensemble. L'eau, menée par les cloisons dd sur les aubes ee, est obligée d’en suivre la courbure, et exerce sur elles, en vertu de sa force centrifuge, une action motrice qui imprime à la roue un mouvement de rotation très-rapide. On'trouve une description détaillée de cette intéressante machine dans le Zulletin de la Société d'Encouragement, année 1834. Depuis, M. Fourneyron en a construit plusieurs autres avec un succès que nous ne

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VAPEUR. (Phys.) Nous ayons exposé au mot Force ÉLASTIQUE les propriétés générales des COrps gazeux , tant de ceux qu’on nomme vapeurs que de ceux qu'on nomme gaz permanens; nous nous occuperons plus particulièrement, dans cet article, de la vapeur de l'eau, dont l'emploi comme moteur exerce une si grande influence sur l’industrie moderne.

1. Rappelons que toutes les vapeurs présentent des propriétés très-différentes, selon qu’on les considère en contact avec les liquides qui les engendrent ou séparées de ces liquides. Une vapeur en contact avec son liquide générateur ne peut augmenter ni diminuer de tension et de densité par la diminution ou l’augmentation de la capacité qui la renferme (page 192). Sa tension et sa densité dépendent uniquement de sa température, et pour toute température elles sont toujours les plus grandes possibles ou à l’état de maximum. Séparée de son liquide, une;vapeur se comporte exactement comme un gaz permanent, c’est-à-dire que pour une même température elle change de tension et de densité à mesure que son volume yarie, et que, pour des températures differentes, sa pression est différente, mais non sa densité, lorsque le volume reste le même. On peut se

saurions mieux faire apprécier qu’en citant les paroles suivantes de M. Poncelet : « On sait avec quel art infini M. Fourneyron est parvenu à soustraire cette même turbine au défaut d’abord si capital du prompt user des pivots, et comment aussi, à force d’études, de soins et de persévérance, il en a perfectionné les différentes parties de manière à constituer, de l’ensemble, un moteur puissant qui est en tous points comparable, pour l'élégance et la simplicité des dispositions, à cette admirable machine due à quarante années de travaux d’un homme de génie tel que Watt.» (Théorie des effets de la turbine Fourneyron. Paris, Bachelier, 1838.)

M. Fourneyron a cru pouvoir conclure de ses propres expériences que, dans de bonnes conditions de vitesse et d'établissement, l’elfet utile yarie entre 0,570 et 0,85 de la force motrice. Voyez le mémoire déjà cité de M. Poncelet et celui de M. le capitaine Morin intitulé : Expériences sur les roues hydrauliques à axe vertical appelées turbines.

VAP

rendre compte de ces divers phénomènes en analysant les circonstances de la production de la vapeur.

Si l’on remplit à moitié d’eau un yase susceptible d’être exactement fermé et dont on puisse expulser l’air, l'espace devenu vide au-dessus de la surface de l’eau se remplit instantanément de la vapeur émise par le liquide, quelle que soit d’ailleurs la température actuelle, La quantité de vapeur produite est toujours proportionnelle à l'étendue de l’espace vide, mais sa force élastique où sa tension ne peut ayoir qu’une valeur déterminée pour chaque température, parce que c’est cette force élastique qui maintient le reste de l’eau à l’état liquide par la pression qu’elle exerce à sa surface. Si l’on augmente ensuite la température du liquide, sa tendance à se vaporiser augmente; elle devient plus grande que la pression de la vapeur déjà existante, et alors de nouvelles quantités de vapeur sont émises, en

sorte que la densité et la tension de la vapeur angmen=

tent parallèlement au-dessus de la surface de l’eau jus-

qu'à ce que la pression à cette surface se retrouve en équilibre avec la tendance de vaporisation, et ainsi de même pour chaque augmentation de température. On voit donc qu’il existé nécessairement une liaison con-

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stante entre la température et la tension de la vapeur formée sur un excès de liquide, et que cette vapeur est toujours au maximum de densité et de pression pour s4 température. Les phénomènes ne sont plus les mêmes lorsque toute l’eau est vaporisée, parce que dès lors la densité de La vapeur n’est plus susceptible d’augmentalion, et, par conséquent, qu'elle cesse d’être au MAL imum si la température recoit de nouveaux aceroissemens. Dans ce dernier cas, la Y apeurse comporte commie les gaz permanens et demeure soumise aux lois de Mariotte (page 170) et de Gay-Lussac (page 56).

>. Les relations qui existent entre les densités, les tensions et les températures de la vapeur ne sauraient done être les mêmes lorsqu'elle est en contacl avec son eau génératrice que lorsqu'elle en est séparée: mais dans ces deux états elle possède une propriété très-1mportante qui permet de déterminer sa densité pour toute température et toute pression donnée. Cette propriété constitue le principe suivant : |

Le rapport du poids d'un certain volume de vapeur au poids d'un même volume d'air à la même température et à la même pression est un nombre constant.

En eflet, considérons un volume quelconque de vapeur qui, bien que séparée de son eau génératrice, soit au maximum de densité pour sa température, el Comparons-le à un même volume d'air ayant même pression et même température; si l’on chauffe la vapeur et l'air d’un même nombre de degrés, ces deux fluides se dilateront d’une même quantité, el, par conséquent. les poids des nouveaux volumes auront toujours le même rapport que les poids anciens, puisque ces poids restent inyariables, Si l’on augmente ensuite la pression des deux fluides jusqu'à ce que la vapeur se trouve au maximum de densité correspondant à sa nouvelle température, les volumes de vapeur et d’eau diminueront de la même quantité, et, par conséquent encore , le rapport des poids de volumes égaux n'aura éprouvé aucun changement.

5. D’après ce principe, il suffit de connaitre le nombre constant qui exprime le rapport de deux volumes égaux d’air et de vapeur, sous la même pression et à la même température, pour évaluer facilement la densité de la vapeur dans toutes les circonstances de pression et de température. Car, désignant par D ce nombre constant, par À la pression exprimée en colonne de mercure (page 170), par { la température exprimée en degrés centigrades et par d la densité de la vapeur à la température £ et sous la pression k, on a... (1)

En efïet, soit p le poids d’un mètre cube d'air à 0° de température el sous la pression moyenne de l’atmo-

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sphère 0",76; puisque ce fluide se dilate de 0,00575, de

son volume à o°, pour chaque degré centigrade d’ac- 2 o Le]

croissement de température, à la température £ son volume, qui à o° était 1, devient 1 + 0,00375f, et, par conséquent, le poids d'un mètre cube est alors

en admettant toutefois que la pression ne change pas. Or, le rapport des densités étant le même que celui des poids de deux volumes égaux (voy. Dexsiré), il en résulte que le rapport de la densité de l'air à {° à la densité de l'air à o°, sous la même pression 0",76 cest

UE Dalen 37 1 + 0,00970f Cr

c’est-à-dire qu’en prenant pour unité la densité de Pair à o° et 0",76 de pression, la densité de ce fluide à 4° et sous la pression 0,76 est représentée-par

Mais, lorsque la pression change, la densité varie dans le même rapport ; ainsi la densité de l’air à la température { et sous une pression quelconque k a pour expression

et il ne faut plus que multiplier cette quantité par le nombre constant D, ce qui donne la formule (1), pour avoir la densité de la vapeur à la même tempéralure t et sous la même pression .

4. Tout se réduit done à la détermination du nombre constant D, auquel on a donné le nom de densité absolue de la valeur. Cette détermination a été effectuée par M. Gay-Lussac. Il a trouvé qu'un gramme d'eau pure produisait 1,696 de vapeur à 100° et sous la

pression 0,76, ce qui donne pour le poids d'un litre —'58aus Te 0 fi) 949:

Or, le poids d’un litre d'air à o° et 0,76 de pression

étant (page 171) 1°,2991, celui d’un litre d’air à 100° et 0",76 de pression est

Ainsi la densité absolue de la valeur est

ou, à très-peu près, D = =.

#76 VAP

Remplaçant D par sa valeur dans l'expression (1) et réduisant les nombres, nous lui donnerons la forme

5. La densité de la vapeur donnée par la formule (2) se rapporte à celle de l'air prise pour unité. Si on voulait la rapporter à la densité de l’eau comme unité, il faudrait la multiplier par le nombre 0,0012991, qui exprime la densité de Pair à o° et sous la pression 0",76: la densité de Peau à son maximum de condensation élant prise pour unité. La formule (2) devient ainsi

6. Les formules (2) et (3) feront connaitre la densité de la vapeur au maximum de tension, lorsqu’après avoir donné à { une valeur particulière, on donnera à À la valeur de la tension maximum correspondante exprimée en mètres, Sachant, par exémple, que la tension maximum de la vapeur à 50° est 0",088743, on fera

h = 0,088745, et on obtiendra :

La densité de l’air à o° et 0",76 étant l'unité,

La densité de l’eau étant l'unité,