TANTE
Rcosw — P cos + P'cos «+ P'cos « + etc.
Représentons par g la petite ligne mn, et multiplions par q les deux nombres de cette équation, il viendra... (2)
Rgcosw— Pqcos « + P'cos a + P'cose".
Or, il est facile de voir que gcosw ou (mn) . cos (RmX) est égal à ma, projection de mn sur mR, c’est-à-dire que q cos « représente la vitesse virtuelle de la force R estimée suivant sa direction. De même, gcosu, gcosz', gcosa!!, etc., sont les vitesses virtuelles des forces P, P’, P', ete., estimées suivant leurs directions respectives; ainsi l'équation (2) est la même chose
que .…... (3) Rr= Pp + P'p + P'p — etc.,
dans laquelle r, p, p', p'', etc., représentent les vitesses virtuelles respectives des forces R, P, P', P'', etc., estimées suivant leurs directions.
Mais, pour que les forces P, P', P!', etc., soient en équilibre autour du point m, que nous supposons entièrement libre, il faut que leur résultante soit nulle ou que R— 0; donc, dans le cas d’équilibre, nous avons
Pp + Pp'+ P'p'— etc. — 0.
Ainsi le principe des vitesses virtuelles se trouve démontré pour le cas d’un nombre quelconque de forces appliquées à un même point.
Considérons, en second lieu, plusieurs forces P, P’, P'!, etc., appliquées à différens points d’un corps ou système de corps. Ges points étant assujettis à conserver entre eux les mêmes distances, nous pourrons les regarder comme liés les uns aux autres par des droites inflexibles; et pour parvenir à connaître l’état général du système, après que son équilibre a été infiniment peu dérangé, il nous suffira d’examiner en particulier ce qui est arrivé à une de ces droites.
Soit mm' (fig. 31 et 32) la droite qui joint les deux points d’application m et m'; lorsque, par suite d’une petite impulsion donnée au système, le point m s’est transporté en n, le point m’ se trouve aussi transporté en un point n' qui peut être au-dessus (fig. 51) ou audessous (fig. 32) de la ligne mm/. Dans le premier cas, et en admettant provisoirement qüe la ligne mm’, en devenant nn', ait varié de grandeur, la variation de mm' aura pour valeur
mm! — nn.
Mais le dérangement du système ayant été insensible, les distances mn et m'n' (fig. 33) sont infiniment petites, de sorte qu’on peut considérer les droites mm! et nn' comme parallèles; car, en supposant que ces droites puissent se rencontrer en un point O (fig. 34), on aurait un triangle ñnOm composé de deux côtés finis nO et mC et d’un côté infiniment petit mn, et dont, par conséquent, l’angle O serait infiniment petit ou nul, Donc,
menant sur mm des points n et n! les perpendiculaires na et n'a! (fig. 35), on a nn! — aa/, et par suite
mm — nn = (ma—< am) — (am! + m'a!)
— ma — m'a!.
Il en résulte que lorsque la droite mm/ devient nn! sans
changer de grandeur, cas où mm! — nn! — 0, on a
ma — m'a — 0.
Observant maintenant que ma est la vitesse virtuelle du point m estimée suivant la droite mm', et que m'a! est la vitesse virtuelle du point m' estimée suivant la même droite, nous en conclurons que lorsqu'une droite inflexible éprouve un dérangement infiniment petit, les vitesses virtuelles de ses extrémités estimées l’une et l’autre dans sa direction sont égales. Nommant donc v la virtuelle ma, v' la vitesse virtuelle m'a’, et observant que v’ doit être prise avec le signe —, nous aurons l'équation.
dans le cas de la fig. 31. Dans le second cas, celui de la fig. 352, du point o comme centre décrivant (fig. 55) les arcs na et n'a’, ces arcs étant infiniment petits, seront des droites perpendiculaires à mm’, et conséquemment ma etm'a seront les vitesses virtuelles des points m et m' estimés suivant la droite mm/. Or, n0— 40, n'o— 40; donc
MA — MO — 0 m'a! = on! — om!,
et, par suite,
ma — m'a = mo — n0 — on! + om!
—= mn! — nn/, ou ma — m'a — 0, à cause de mm/ — nn/— 0. Nous avons donc encore dv + v'—0
en désignant, comme dans le cas précédent, par » et v' les vitesses virtuelles des points m et m/ estimées suivant la droite mm/.
Il nous est facile maintenant de démontrer le principe des vitesses virtuelles pour le cas de plusieurs forces appliquées à différens points m, m', m', etc. (PL. XXII, fig. 10), formant un système inébranlable. En effet, si l’on conçoit tous ces points liés deux à deux par des droites inextensibles, on pourra considérer ces droites comme autant de forces ; de sorte que le point m, par exemple, sera sollicité non seulement par la force P,
mais par les forces représentées en direction par les
droites mm', mm", mm", etc. , et ce point ne pourra demeurer én repos qu'autant que toutes les forces qui lui sont appliquées se fassent équilibre. La même chose ayant lieu pour tous les autres points, si nous représentons par (mm'), (m'm'), (mm), etc. , les forces agis-
sant dans les directions mm, m'm'', m''m''', etc., il est
visible que l’équilibre général du système sera main-:
tenu, au point m, par les forces (mm!), (mm), (ar) et P,
au point m’, par les forces
mm), (mm), (mm!) et R!, \
au point m', par les forces
(m'm), (m'm'), (m'm/!") et P",
au point m///, par les forces
(m!!!m), (m!!'m!), (m!'m") et P'".
On peut donc poser pour chacun de ces équilibres l'équation (1) des vitesses virtuelles, démontrée dans le cas des forces concourantes; ainsi, désignant par v,, V,, ©, les vitesses virtuelles du point m estimées respar
v', 0, v', les vitesses virtuelles du point m' estimées
pectivement dans les directions mm', mm'', mm'!';
dans les directions m'm, m'm'', mm", etc., ete,, nous
aurons l’ensemble des équations,
pour le point m,
Pp + v,(mm) + 0
pour le point m’,
Pp' + v',(mm) H v',(mm') + v',(m'm") — 0,
+ v,(mm") = 0,
v, (mm)
pour le point ml!
P'p" + v!,(in'm) HE v!, (mm) + v'(n m"!) = 0,
pour le point m'",
P'p"! = v,"/(m""m) Je v,"!(m""m/) de v,"/(m''m") 10!
dont la somme nous donnera l’équation générale .…. (4)
Pp+Pp'+P'p'+P'pl v,(mm') Lo, (mm) +0, (mm) Lo," (mm) “ mm) +0," (mm) Lo, (mm) +," (mm)
"(mm)" (mm) +, (mm) +,
Pour réduire cette équation, observons,
1° que la somme des vitesses virtuelles des deux extrémités d’une même droite, estimées suivant cette droite, est nulle,
d'après ce que nous avons prouvé plus haut et por-
tant que
HUE % tu —», D + 0," = 0, v,' == vif F9; v," -R 14 0, 0%, + 2, = 9; 2° que les forces représentées par les mêmes lettres sont égales, c’est-à-dire que am) =(m'm), (non!) = (mm), (m'm')=(m'm),
m!) : (mm!) —(m/'"m"
mm") =(m" )s (mm) = (nm).
D'où résulte v,(mm') + v,'(m'm) = 0, v,(mm") +v,"(m'm) = 0, (mm) +v,"(n'm) = 0, v,/(m'm") Lo, !"(m'm') —='0, o,"(m'm") Ho," (mm) = 0, v, (ram!) SE w,” (mm) — 0};
Retranchant donc ‘de l'équation (4) les termes qui se
détruisent, il nous restera seulement
Pp+ PP + PP + pp" =
c’est-à-dire le principe en question. Si l’on avait un plus grand nombre de forces, la démonstration serait évidemment la même.
Appliquons le principe des vitesses virtuelles à quel ques questions de statique.
Soit O le point d'appui d’un levier AB (PI. XXIT, fig. 9) tenu en équilibre par les forces P et P' appliquées à ses extrémités; il s’agit de déterminer le rapport des forces P et P'. Supposons qu’un petit mouyement ait été imprimé au leyier, et comme ce levier ne peut se mouvoir qu'en tournant autour de son point d'appui O, si AB représente sa nouvelle position, nous avons
AG— AO, B'O—RBO, angle AOA!— angle BOB"; Du point A! meñons A'm perpendiculaire sur la direc-
tion AP, et du point B' menons B'q perpendiculaire p q BerpenG
sur BP’ prolongée; Am sera la vitesse virtuelle de la
force P, et Bg la vitesse virtuelle de la force P’, l’une et l’autre estimées suivant la direction de leur force, et (5)
nous aurons, en vertu du principe (1)
P X Am—P' X Bqj=0,
car Bg doit être pris avee le signe —.
Des points A! et B’ menons les perpendiculaires An
et B'r sur AB; les deux triangles rectangles A'On et B'Or seront semblables et donneront
né
VIT Mais An — Am, B'r == Bg; ainsi cette proportion est la même que AO : BO — Am : Bq.
Or, on tiré de l’équation (5)
P£:P— Ami: Bg; donc, comparant avec la précédente;
