D = 1,80 /HU/H

Nous allons appliquer cette dernière expression à la solution de quelques problèmes pratiques.

. I. Ayant un bassin entretenu constamment plein par un cours d'eau fournissant 1"°,500 par seconde, on demande à quelle profondeur au-dessous du niveau du bassin il faut établir un déversoir qui aurait 1",60 de large, pour faire écouler la quantité d'eau fournie par le courant.

H étant ici la quantité demandée, dégageons-la d’abord de la formule (g), nous aurons

a LAON.

H LR ’ or, d’après la question, [= 1,60 et Q — 1,50; ainsi

27e ne on mes 3° __}l=—=0!617, n= (re x) 0343

Il faudra donc placer le seuil à 0%,647 au-dessous du niveau auquel l’eau doit être tenue dans le bassin.

II. On demande la largeur que doit avoir un déversoir dont le seuil est à o®, 6o au-dessous du niveau constant d'une pièce d'eau pour obtenir une dépense de 2 mètres cubes par seconde.

Nous avons ici H — 0,60, Q = 2, et il s'agit de dé-

ÉCO terminer L'équation (g), résolue par rapport à /. donne

Re 1,80 HUH Substituant les valeurs numériques, nous obtiendrons

19. Il arrive assez souvent que les réservoirs sont alimentés par des cours d’eau qui arrivent directement à la paroi sur laquelle est ouvert l’orifice ou le déversoir, l'écoulement se fait alors non seulement en vertu de la charge H, mais encore en vertu de la vitesse initiale des molécules fluides ; dans ce cas, la quantité H doit exprimer la hauteur entière due à la vitesse de l’écoulement, c’est-à-dire, la somme de la charge sur lorifice et de la hauteur due à la vitesse initiale; en donnant à H cette signification, il n’y a rien à changer à la formule générale (ec) de la dépense par les orifices, mais la formule (f) des déversoirs peut présenter des diflicultés que nous allons éclaircir. Pour reconnaitre aisément la fonction particulière de chaque quantité dans cette formule, mettons-la sous la forme... (A)

et nous verrons immédiatement; qu'abstraction faite du coefficient de réduction m, elle se compose de deux

facteurs généraux [H et Lu) ; dont le premier {H exprime l'aire du déversoir, et le second

L/2 (an) la vitesse moyenne de l'écoulement, car

la dépense se compose généralement du produit de l'aire de l’orifice par là vitesse moyenne du fluide:

a est donc la hauteur génératrice de la vitesse

moyenne, et c’est à cette seule quantité qu'il faut ajouter la hauteur due à la vitesse initiale moyenne du

fluide dans le réservoir. Ainsi, nommant w cette vitesse, uariogséed bcosol D la hauteur qui lui est due étant da — 0,051, la for-

mule des déversoirs devient Q=mHL/ [9 ( aH+ oi) |, ce qu'on peut mettre sous la forme Q=5 mag. HT onu.

Si nous désignons maintenant par w la vitesse à la surface du courant, qui est la plus facile à observer, et

ÉCO y

si nous prénons # = 0,94 v, cette dernière formule deviéndra..…. ()

Q—=:1,781Hy/H+ o;10°, l'expérience ayant fait connaitre que la valeur moyenne Suusse —- À :

du coefMicient = my/2g est 1,58: On devra se servir de

Ja formule (+) toutes les fois que la section du'courant ne dépassera pas dix à douze fois {H; dans les autres cas, la vitesse v n’exerce aucune influence sensible sur la dépense, et il est inutile d'en tenir compte.

Nous ferons observer en passant qu'il résulte dé l'expression (4) que la vitesse moyenne de la veine fluide

est les deux tiers dé la vitesse au seuil du déversoir. $ I. Ecoulemens à niveau variable.

20. La théorie des écoulemens à niveau variable est beaucoup moins avancée que celle des écoulemens à niveau constant, pour laquelle cependant il faut incessamment recourir à l’expérience. L'hypothèse du parallélisme des tranches (Voy. HxproDxNAMIQUE , (om. 11), qui sert de base à cette théorie, est évidemment insuffisante, car si l’on peut admettre qu’au commencement de l'écoulement la surface supérieure du fluide dans le vase s’abaisse parallèlement à elle-même, il n'en est plus ainsi lorsque les tranches fluides sont arrivées dans la sphère d'activité de l’orifice, elles prennent alors des directions concourantes vers cet orilice, et quand il ne reste plus que peu de liquide dans le vase, il s’y forme un entonnoir dont l’air occupe le milieu, la dépense diminue considérablement, et enfin l'écoulement ne s’0père plus que goutte à goutte quand la hauteur de Peau est réduite à quelques millimètres. Les fig. 15, PL. 10, et 5 et 4, PL11, représentent les inflexions de la surface supérieure du fluide. Ces derniers phénomènes n’ont point encore été soumis au calcul, mais dans la pratique il est rare d’avoir à considérer le cas où un réservoir se vide complètement, et l'on peut encore modifier les formules théoriques par des coefliciens de réduction déduits de l'expérience.

ot. Sans recourir aux considérations théoriques dont nous venons de signaler le peu de valeur, et'qui conduisent à des formules différentielles intégrales dans un petit nombre de cas, observons qu'on peut admettre qu’à un instant donné la vitesse de sortie par un orifice pratiqué au fond d’un vase prismatique est due à la

hauteur correspondante du liquide dans le réservoir ; H', etc., les hauteurs suc-

ainsi, désignant par H, HS de l’orifice, les

céssives du niveau au-dessus du centre vitesses correspondantes de l'écoulement seront repré

sentées par

29H, 29H, 29h, etc.,

92 ÉCO

c’est-à-dire qu'elles seront entre elles comme les racines carrées des hauteurs ; l'écoulement s’effectue done par un mouvement uniformément retardé, et il devient facile de comparer la quantité d’eau qui s'écoule dans un temps donné avec celle qui se serait écoulée si le mouvement eût été uniforme. On sait, en effect, que lorsqu'un corps se meut d’un mouvement uniformément accéléré , il acquiert, dans un temps quelconque, une vitesse capable de lui faire décrire dans ce même temps un espace double de celui qu'il vient de parcourir; et, réciproquement, que lorsqu'il se meut d’un mouvement uniformément retardé, il parcourt dans un temps déterminé un espace moitié plus petit que celui qu’il aurait décrit uniformément en vertu de sa vitesse initiale. Ainsi, en considérant le volume d’eau écoulé comme un prisme dont l'orifice est la base et qui a pour hauteur l’espace que parcourraient d’un mouvement uniformément retardé les premières molécules sorties, on voit que le volume de ce prisme est la moitié de ce qu’il aurait été si les molécules eussent conservé leur vitesse initiale, puisque alors l’espace qu’elles auraient parcouru, c'est-à-dire, la hauteur du prisme, eût été double,

Il en résulte que le volume d'eau sorti par un orifice d'un vase prismatique qui se vide n’est que la moitié de celui qu'on aurait eu dans le même temps, si l'écoulement s'était effectué constamment sous la charge qui avait lieu à l'origine du mouvement.

Désignons par H la charge initiale ou la hauteur du niveau au-dessus du fond ayant que l'écoulement soit commencé, par À la section horizontale ou l'aire de la base du vase prismatique, et par T le temps pendant lequel toute l’eau dont le volume est AH s’est écoulée. D'après le théorème précédent, le volume d’eau qui se serait écoulé dans le temps T sous la charge constante H

cût été 2AH , mais dans ces mêmes conditions la dé-

pense est exprimée par mST1/2gH (n° 5), donc... (k) 2AH = mST/29H.

Telle est l'équation fondamentale de l'écoulement par les orifices pratiqués au fond des vases prismatiques; en dégageant le temps T on a la relation... (1)

Tr = 2H mS\/2g

22. Ce qu'il importe principalement de connaitre Pour la pratique, c’est le temps que le niveau d’un bassin met à s'abaisser d’une certaine quantité. On peut l'obtenir comme il suit : soit 4 le temps pendant lequel la hauteur primitive H s’est réduite à H'; si nous dési- &nons par le temps qu'il faudrait au bassin pour se vider compli ‘tement à partir du moment où la hauteur

ECO de son niveau est deyenue H', nous aurons, en vertu de la relation générale (1),

| mS\/2g" FM AH - oAVH = mS\/2g mSV/2g"

d’où l’on a définitivement... (m)

2A © (VH- VA).

MTS A

25. Pour donner un exemple d'application, nous citerons d’abord une expérience de Bossut, faite avec un bassin prismatique dont la section horizontale était un carré de 0,975 de côté, et percé dans le bas d’un orifice circulaire de 0",0541 de diamètre; l'ayant rempli d’eau jusqu’à une hauteur de 5,70, il a observé qu'après un écoulement de 5'6”, le niveau de l’eau s'était abaissé de 2,92. Prenons ces données et déterminons, aumoyen de la formule (m), le temps nécessaire pour produire un abaissement de niveau de 2",92.

Nous avons

Prenant pour le coeflicient de réduction 0,60, comme l'indique le tableau du n° 10, et substituant toutes ces valeurs dans la formule, nous aurons

ce qui donne, en réalisant les calculs, — 190 —7LOR,

résultat qui diffère peu de celui de l’expérience. On a observé que dans tous les cas où l’abaissement de niveau n’est pas assez considérable pour produire un entonnoir (20), la formule (mn) s'accorde très-bien avec les faits.

24. S'il s'agissait de déterminer l’abaissement de niveau H — H' qui a lieu dans un intervalle donné de temps f, il faudrait tirer la valeur H—H de la formule (m), ce qu'on parvient à faire par une ‘simple transformation. Donnons à la formule (sn) la forme

mtS\/2g 0, ne Sa 1 1 MA VASE

nm 00 +

ÉCO et multiplions les deux membres de cette égalité par

VH+VH', il viendra

re (CH VH') =H—H.

Substituons à la place de |/H° la valeur

tSy/29 Va En Er

tirée de la formule (m), nous obtiendrons.... (x)

__mS/2g (en "SV h= + (vu nl

h désignant la différence de niveau ou la grandeur de l'abaissement.

25. Il suffit d'observer que le volume d’eau écoulé pendant le temps t est égal au prisme dont la hauteur est k et la base À, pour avoir immédiatement l’expression de la dépense pendant letemps f, car ayant D —A#, on a aussi... (0)

D — mtS/2g (/ de Mes), 4A

Nous ne croyons pas nécessaire de donner des exemples numériques.

26. Examinons maintenant le cas où le bassin est alimenté par un cours d’eau qui lui fournit une quantité de fluide moindre que celle qui s’écoule par son orifice. Soit Q le volume de l’eau qui entre dans le bassin en une seconde de temps, et x la grandeur de l’abaissement du niveau dans le temps t. Pendant l'instant infiniment petit dt qui suit le temps ft, le niveau s’abaisse d'une quantité infiniment petite dæ, et par conséquent la quantité d’eau écoulée dans l'instant dt se compose : 1° du volume Adæ qui existait dans le bassin au commencement de cet instant ; 2° du volume Qdz reçu par le bassin dans la durée de dt. Le volume d’eau réellement sorti est donc Adx + Qdx.

Mais ce même volume est encore exprimé par

mSdt/2g(H— x), en vertu de la formule (d). Donc Adx + Qdx — mSdty/2g(H—x)

faisant H — æ—H', ce qui donne — dx == dH', et dégageant dé, il vient

dt — —AdH

mSV/294' —Q°

dont l'intégrale complète est... (p)

À Le Ter (ns A1 V/H)+M ie

… ÉCO 93

expression dans laquelle la quantité M est donnée par la relation

M — 2,505 Q. Log(PAC MT), mSV/29H — Q

La caractéristique Log désigne un logarithme vulgaire

Voici un exemple de l'application de cette formule donné par M. d’Aubusson.

Un étang ramené à la forme prismatique a 3600 mè= tres carrés de superficie et 3°,50 de profondeur : il est alimenté par un ruisseau donnant 0°°,95 d’eau par seconde; la vanne du fond, lorsque la pelle est entièrement levée, a 1°,10 de large et 0,60 de hauteur. On demande le temps que l'étang mettra à se vider jusqu’à o®,10 au-dessus du bord supérieur du pertuis. (Nous avons fait observer que les formules précédentes ne sauraient rendre le temps de l’abaissement lorsque le niveau du fluide n’est plus qu’à une petite hauteur audessus de l'orifice de sortie. )

On a ici pour la charge au-dessus du centre de cet orifice, au moment de la levée de la vanne,

pour la charge à la fin