La forme générale des équations algébriques est. ….. (a
æ" + Aer A,œ"?-Letc. …. A, i2+A, —0s
les coefficiens À,, A» À,,ele., étant des quantités con- Stantes, positives, négatives ou nulles; »# un nombre enter positif, et æ une quantité iuconnue dont il s’agit
de trouver la valeur en fonction de À,; À,, À,, etc. (Tome TJ, page 539.) Le plus grand exposant m de l’inconnue + détermine le degré de l'équation; par exemple, lorsquem—#, et que l’équation est, conséquemment, de la forme
æ + A, + At A,x + A, —0,
on dit qu’elle est du quatrième degré.
L'équation est complète , lorsqu'elle renferme toutes les puissances de l’inconnue æ, depuis la plus élevée æ° jusqu’à la puissance 0, &°=—s1, sous-entendue dans le terme absolu À, ; elle est incomplète dans tous les autres cas. Ainsi
a+ 6x — 7 —0 est une équation complète du second degré, et 72 +8 —0
est une équation incomplète du troisième degré. Il est facile de voir que l’équation complète du degré m renferme m1 termes.
2. Toute quantité déterminée @ qui, substituée à la place de + dans une équation quelconque (a), réduit son premier membre à zéro, ou satisfait à la relation que cette équation exprime, est dite racine de l'équation. Pär exemple, 3 est une racine de l'équation
a — 6x? + 114 —6—0, parce qu’en faisant æ—5, le premier membre de cette équation devient
ce qui se réduit à o, en retranchant la somme des termes négatifs de celle des termes positifs.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs de æ capables de réduire son premier membre à zéro , ou de le rendre égal au second.
5. Il est démontré qu’une équation du degré m, est équivalente au produit de m binomes de la forme
(Lu) (ea) (@Ha) (+ a). (+),
, fr 5. ë ia, @,, 4,,ete., étant des quantités entières, RER res, irrationnelles ou imaginaires, positives ou négatives (tome I, page 545), de sorte que l'égalité... (a)
D HAT AE" + A a" Ti etc... + À, —0 | entraîne l'égalité correspondante... (b) (&æ+a,) (@+a) (a+a) (@+a).s (Ha) 0,
d’où il résulte que tout nombre qui, mis à la place de æ, réduit à zéro le premier membre de l'égalité (a), doit
ÉQU
pareillement réduire à zéro le premier membre de l’égalité (b), et réciproquement. Or, le premier membre de l’égalité (b) ne peut évidemment se réduire à zéro, qu'autant que lun de ses facteurs devienne lui-même zéro; mais, pour qu’un facteur quelconque æ— 44 soit nul, il faut faire 3— — 4, ; donc les m seconds termes des binomes æ—4,, æ—a,, + a,, etc., pris avec un signe contraire, ne sont autre chose que les m racines de l'équation («).
4. L'équivalence des premiers membres des égalités (a) et (b) fait connaître les relations qui existent entre les racines d’une équation et ses coefliciens; on sait d’abord qu’une équation quelconque ne peut avoir plus de racines qu'il y a d’unités dans le nombre qui exprime son degré (tome I, page 546), et ensuite que :
Le premier coeflicient À, est égal à la somme de toutes les racines — 4,, — &,, — 4,, etc., prise avec un signe contraire ;
Le second coefficient A, est égal à la somme des produits de deux à deux de ces racines.
Le troisième coefficient À, est égal à la somme de leurs produits de trois à trois, prise avec un signe contraire.
Et ainsi de suite, jusqu’au dernier coefficient À,, qui est égal au produit de toutes les racines pris avec le signe qu’il a naturellement, si m est pair; et avec un signe contraire si #® est impair.
Par exemple, dans l’équation
di —2—142+2%4—0, dont les trois racines sont2,L3et—4,ona Premier coeflicient — 1 —— (+2+5 — 4);
— 14 (2 X 5 aX 4H 5X— 4); Troisième coeflicient + 24 = — (2 SLR —4).
Second coefficient
4 bis. On distingue les racines d’une équation, en réelles et en imaginaires. Toute racine imaginaire peut être ramenée à la forme primitive
p+qv 1,
p et q étant des quantités réelles.
Une équation ne peut avoir une seule racine imaginaire, Car si dans le produit
(a) (+4) (ea)... (ea),
| dont le développement forme le premier membre de | l'équation (a), tous les nombres &,, &,, 4,, ete., 4n | étaient réels, excepté le premier, a, —=p+qV—1, | Ja quantité imaginaire |/ — 1 entrerait nécessairement dans la construction des coeficiens À, À,, A,,ete.; et ces
coefficiens ne seraient pas des quantités réelles. Si donc
ÉQU 99.
l'une des racines @, est de la forme p+-q4/—x1, ildoit y avoir une autre racine 43. également imaginaire , et. telle que /—1 disparaisse du produit des facteurs (æ+ a) (æ— as), afin que cette quantité ne se: trouve plus dans le produit général. Supposons donc a—=p+qV— 1, au—p +q y/—à1, etcherchons quelle relation doit exister entre les quantités réelles P; 4; p, q, pour que le produit (æ—+a,) (æ—+a@) soit lui-même réel. Or, en effectuant la multiplication , nous ayons
(@+p+ qu) (œ+p'+q 3) =e+{o+r+ a+ | + (png +p 107
et nous voyons que |/ — 1 ne peut disparaître, à moins que
q+d'=0; pg +pq—0.
La première condition donne g——, et, en établissant cette relation entre q et qg', la seconde condition se réduit à p—p—0, d’où p—p. Ainsi, toutes les fois qu’une équation a une racine imaginaire p+qv'— 5, elle en a une autre PQ 5, qui ne diffère de la première que par le signe du coefficient de /— 1; d’où il suit encore : 1° qu’une équation quelconque ne peut avoir qu’un nombre pair de racines ima-
ginaires marchant par couple semblable à p+q1/—1,
p—qV/— 1; 2° qu'une équation de degré impair a au moins une racine réelle.
5. Les racines réelles d’une équation n’ont entre elles aucune relation semblable à celle que nous venons de signaler entre les racines imaginaires; entièrement indépendantes les unes des autres, ces racines ne sont subordonnées qu'aux conditions qui lient leurs valeurs numériques aux valeurs des coefliciens (3). On les classe en commensurables et en incommensurables : les racines commensurables sont celles dont la valeur peut s’exprimer par un nombre entier ou fractionnaire; les racines incommensurables sont celles dont la valeur ne peut s'exprimer que par des nombres irrationnels (voy, ce mot), ou par des suites infinies de nombres fraction naires. Nous ayons démontré (tome IT, page 405), « qu'une équation ramenée à la forme (a) et dont tous les coefliciens sont des nombres entiers, ne peut ayoir aucune racine fractionnaire; les racines de telles équations sont donc ou des nombres entiers, où des nombres incommensurables, ou des nombres imaginaires. Ce n’est que lorsqu'une équatiou a des coefliciens fractionnaires, ou que son premier terme a un coeflicient
100 ÉQU
autre que l'unité, qu'il peut y avoir des racines fractionnaires : de là le grand avantage de ramener toutes les équations à n’avoir que des coefliciens entiers sous la forme (a). Les transformations qu’on peut faire subir aux équations ont été exposées en détail au mot Trans- FORMATION, tome II.
6. La théorie des équations présente deux problèmes fondamentaux réciproques l’un de l’autre, qu’on peut énoncer comme il suit :
1° Étant données m quantités 4,, &,, @,, CC... Gn, construire les coefliciens A,, A, , À,, À,, etc... À, de l'équation
TA Ze = A, æ" Tete. + At + AUS —0}
dont ces quantités sont les racines.
9° Étant donnés les mcoefficiens À,, A,, A,, etc... An de cette équation, construire ses racines &,, &,, @,, etc. Le premier problème ne présente aucune difficulté, puisqu'il ne s’agit que de développer le produit
Mais il n’en est pas de même du second, et jusqu'ici les efforts des géomètres ont été infructueux pour le résoudre dans toute sa généralité. Rappelons d’abord tout ce que l’on sait sur la solution théorique des équations.
7. Equations du premier degré. Ces équations, ramenées à la forme générale
sont immédiatement résolues en faisant passer la quantité constante dans le second membre, car on a
æT—=— AÀ,.
Tout se réduit donc à faire subir aux équations du premier degré les tranformations nécessaires enseignées tome I, page 540. Il ne peut y avoir de difficulté que lorsqu'on a plusieurs équations entre plusieurs inconnues, et qu'il faut éliminer quelques-unes de ces inconnues pour obtenir une équation finale à une seule inconnue. Nous ne reviendrons pas sur ce que nous avons déjà dit à ce sujet (tome I), aux mots Équarron et ÉLIMINATION ; et nous nous contenterons de traiter ici les équations à une seule inconnue : la solution de toutes les autres dépendant de la leur.
8. Equations du second degré. La forme générale des équations du second degré est... (c)
Sous cette forme, quelles que soient les quantités constantes À, etA,, entières ou fractionnaires, positives
ÉQU ou négatives, les deux racines &,, &,, sont données par les expressions... (d) R
a=—sath/[ar aa];
aa, —h/[ar a],
démontrées tome IT, page 388. Ainsi, après avoir ramené une équation du second degré à la forme (c), il ne faut plus qu’exécuter, sur les coefficiens A, , À,, les opérations indiquées par les expressions (d), pour obtenir les deux racines cherchées. Supposons, par exemple , qu’un problème ait conduit à l'égalité
après avoir fait passer tous les termes dans le premier ! membre , ce qui donne
on divisera tout par 8, et l’on obtiendra, en réduisant
8 à sa plus simple expression,
la fraction
Comparant avec (c), on aura
Be A5
et, par suite,
2) 19 2: 4 2 5 D 7 5 vive
ou, simplement,
Sn vu
UE
1/11 étant incommensurable, on extraira la racine en poussant l’approximation aussi loin que la nature du problème pourra l’exiger; en se bornant à cinq déci-
males, on aurait ici a,—2,07916, 4, —0,42084.
Il suffit d'examiner les expressions (d) pour reconnaître tous les cas particuliers que peuvent présenter les racines des équations du second degré. On reconnaît,
que:
1° Les deux racines sont toujours réelles lorsque le A coeflicient À, est négatif.
2° Elles sont encore réelles lorsque A, est positif;
mais plus petit que ë AT.
ÉQU
5° Les deux racines sont imaginaires quand A, étant positif, on a Aï<4A,.
4 Les deux racines sont égales quand A°—4 A, ; elles sont inégales dans tous les autres cas.
5 Enfin, quand les racines sont réelles, elles ne peuvent être commensurables qu’autant que Aï—4A, est un carré parfait.
