SIN @— — X
et les trois racines seront données par les expressions... (X%)
an 1 æ—=—+sin x X V/%P;
æ — + sin (60°— 2 +) X 2/2 æ — — sin (Go° + Ze) X/3P.
IT- cas. p et q étant toujours des nombres essentiel-
l'équation est de la forme... (1) a — pa —q—0;
il n’y aura de changé que le signe des racines ; l’expres-
sion (à) de sin + demeurera la même, et les expres- | sions (#) deviendront... (m) æ——sinzpX a/ À — 5 PA 31»
i 1 1 æ—— sin (Go° — >?) x AP;
æ + sin (0° + Le) X /3P: |
Les calculs indiqués par ces formules sont trop simples pour que nous ayons besoin d'en donner des exemples ; on en trouvera d’ailleurs plus loin dans leur application au quatrième degré.
11. La solution du cas érréductible des équations du troisième degré par les fonctions trigonométriques est si facile, qu’on doit toujours l’employer de préférence aux méthodes d’approximation, qui ne conduisent souvent aux valeurs des racines que par de longs calculs. On peut également se servir de ces fonctions lorsqu'il n’y a qu’une seule racine réelle, mais alors il peut se p présenter quatre cas différens.
T® cas. p et q étant, dans ce premier cas comme dans 1 les suivans, des nombres essentiellement positifs, l’équation est de la forme... (n) |
a + pa + qe | |
ÉQU On caleulera un are & par la relation... (0)
ee 1 ans x À
puis un arc © par cette autre...
tang (2) = A
et la racine réelle aura pour expression... (q)
lang 39»
T—= — cot 20 X SP.
IT eas. L’équation est de la forme... (r)
2° + px — q— 0.
Les expressions de tang ? et de tang w seront toujours les mêmes ; seulement la racine changera de signe, et deviendra... (s)
= Cot 20 X V/5P.
II cas. L'équation est de la forme... (t)
&°— pr +q—0,
et l’on a de plus 4p° < 254°.
On fera alors... (u)
ê 1 * Sin ® —5,* V5 D;
SE
tang O— BAT — pe
La racine sera donnée par l'expression... (v)
IV: cas. La condition 4p° < 27q° ayant toujours lieu, l'équation est de la forme... (x)
TL — pt — 4 — 0.
Les expressions précédentes demeureront les mêmes , sauf celle de la racine qui prend le signe L et deyient..….. (y)
Nous avons appliqué ces formules (tome, page 440) à l'équation æ°— 2%— 5 —0, traitées ci-dessus par les expressions théoriques primitives des racines. Cette même équation ayant été traitée, en outre, au mot
ÉQU 103
APPROXIMATION (tome I) par les méthodes de Newton et de Lagrange, on peut s’assurer, en comparant les calculs que la résolution directe des équations du troisième degré, au moyen des fonctions trigonométriques , est supérieure à toutes les autres par sa promptitude et sa simplicité. )
