I] résulte des formules précédentes, qu’une équa
tion du troisième degré, ramenée à la forme générale
apr tq=—0,
dans laquelle p et 4 sont des nombres positifs ou négatifs, peut avoir :
1° Trois racines réelles inégales, dont deux négatives et une positive, ou deux positives et une négative, suivant que q est positif ou négatif.
2° Trois racines réelles, dont deux égales et de signe contraire à la troisième numériquement double de ces premières.
5° Enfin une racine réelle, positive si q est négatif, négative si q est positif, et deux racines imaginaires.
Le premier cas a lieu lorsque p est négatif, et qu'on a 4p° > 257q°; le second, lorsque p est négatif et tel que 4p—25q"; letroisième, toutes les fois que p est positif, ou qu’étant négatif, on a 4p° < 25q°.
Ce n’est que lorsque l'équation est complète qu’elle peut avoir trois racines égales et trois racines de même signe.
14. Equation du quatrième degré. Les expressions théoriques des racines de l’équation du quatrième degré sont rarement employées pour évaluer numériquement ces racines, à cause des longs calculs qu’elles nécessitent...., Soit... (x)
æ" + Ax? + Bx + C = 0
une telle équation privée de second terme, et dans laquelle A, B et C sont des nombres quelconques positifs ou négatifs; formons avec ces coefliciens l'équation du troisième degré... (x)
5% L oz (A2— 4C)z— B°—0,
qu'on nomme la réduite; désignons par z' une quelconque des racines réelles de cette réduite, et faisons, pour simplifier, |/x'=— a; les quatre racines de l’équation (x) seront
Lt. = SIC æ—=—-a+#1/| 4 a Hat Z——-4—V EU —
y FHilitis NT x — Latyf-ietatl — jamv-ie-ia 5)
ainsi que nous l’avons démontré, tome I, page 230.
En observant que la valeur numérique de a peut être prise indifféremment avec le signe + ou avec le signe—, parce qu’elle provient de l’extraction d’une racine carrée, et qu'il n’en résulte cependant que quatre valeurs différentes pour x, par suite de légalité
qu’on obtint en faisant, dans la réduite, 4°, on peut adopter pour les expressions des racines les quatre formules symétriques... (f)
résulte de l'analyse de ces formules : 1° que lorsque la réduite n’a qu’une seule racine réelle, la proposée
a deux racines réelles et deux racines imaginaires; :
2° que les racines de la proposée sont toutes quatre réelles ou toutes quatre imaginaires, lorsque les trois racines de la réduite sont réelles, savoir : toutes quatre réelles, si les trois racines de la réduite sont positives; toutes quatre imaginaires, si l’une des racines de la réduite est positive et les deux autres négatives. Dans
ÉQU ces deux circonstances, la réduite tombe dans le cas irréductible , et la solution théorique de l'équation du quatrième degré se trouve compliquée de toutes les difficultés inhérentes à ce cas.
15. Les fonctions trigonométriques, auxquelles il faut nécessairement avoir recours lorsque les trois racines de la réduite sont réelles, rendant, dans tous les cas, les calculs moins laborieux, nous allons indiquer, par quelques exemples, leur application à la solution directe des équations du quatrième degré.
Observons d’abord que, pour résoudre la réduite (4), il faut la ramener à la forme æ°—-pæ + q=— 0, et faire disparaitre son second terme; posons donc
no
et, en substituant cette 1 eur dans l'équation (+), nous obtiendrons l'équation finale... (4)
7 (ptc)afe +2 er)
Celle-ci, résol-e au moyen des formules données cidessus, nous 1 era connaitre la valeur de y, et par suite
celle de #=ÿ—> A ; faisant donc
d=y—;A, et a=l/1—2à,
les quatre racines (8) de l'équation du quatrième degré prendront la forme (9)
Si l'équation en y a trois racines réelles, on pourra
employer à volonté une quelconque de ces racines, les résultats seront identiquement les mêmes.
