TA TU IA

donnent, pour celles des proposées, l’expression théorique

eÿ[-ia+ives a]

Cette expression semblerait ne renfermer que deux racines; mais il faut observer que, quelle que soit la quantité m,

VM—ÿ/1. M, égalité dont le second membre comprend #m valeurs di{f-

m férentes par suite des m valeurs différentes de 1/1 (voy. tome 1, page 547); l'expression complète de la racine est donc

eva V[-iativu a]

et elle donne en effet 2m racines par la combinaison de chacune des valeurs de{/ 1 avec'le double signe du radical. Par exemple, dans le cas de m—4, comme les quatre racines de l'unité sont 1,—1, 44/1, 4/1, les huit racines de l'équation

œ'—+ Ag B—0o

à 4 2 en faisant, pour abréger, — / A—4B=P.

ÉQU Les équations de la forme æim EL AgnLBr® + C—=o

se ramènent à une équation du troisième degré, en faisant encore æ"—%, et celles de la forme

ais Aie Bain Cas LR

se réduisent, par le même moyen, à une équation de quatrième degré, qu’elles soient d’ailleurs composées de tous les termes exprimés dans les formes générales , ou qu’il manque quelques-uns de ces termes.

20. Nous ferons observer, en passant, que toutes les équations dont les exposans forment une progression arithmétique peuvent être transformées en équations d’un degré moindre ; ainsi, la résolution de l'équation.

DA DTA DR etc... HA a" A —0

dépend de celle de l'équation 3 HAS TH A,x etc... HA 3 A —0o

au moyen de la condition æ = V2

Il existe une autre classe d'équations susceptibles d’abaissement et qu’on nomme équations réciproques ; nous les avons traitées en détail tome I, page 555.

21. ÉQuarIONs NUMÉRIQUES. On démontre dans tous les traités d’algèbre la proposition suivante, qu’on peut regarder comme la base de la résolution des équations numériques.

Si deux nombres substitués dans le premier membre d'une équation, à la place de l'inconnue, donnent deux résultats des signes contraires, ilexiste au moins une racine réelle de cette équation comprise entre ces deux nombres.

S'ily a plusieurs racines comprises, leur nombre est nécessairement impair.

Comme conséquences importantes, nous signalerons ces deux principes :

Toute équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme.

Toute équation de degré pair dont le dernier terme est négatif a au moins deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative.

22. La première proposition conduit à substituer successivement les nombres entiers 0,1,2,3, 4, etc., à la place de l'inconnue d’une équation, car, parmi ces nombres, si l'on en trouve qui réduisent son premier membre à zéro , ils seront autant de racines, et si d'autres donnent des résultats de signes contraires, on aura par leur moyen les valeurs des racines, à moins d’une unité près. Pour fixer les idées prenons l'équation

108 ÉQU

et remplacons successivement +, par 0, 1, 2, 5, etc. en prenant ces nombres tant avec le signe —+- qu'avec le signe —, nous obtiendrons X, désignant, pour abré-

ger, le premier membre de l'équation,

Pour L—0.X—=-— 9 Poux X——1,X—=— 126 T—1, X—— 2 æ——2,X—— 59 æ—2,X—— 11 æ——35,X—— 66 X—53,X—+ 6 G——4,X——+ 13 X—4, X—+ 109 x——5,X——+0263.

Nous ne poursuivrons pas plus loin ces substitutions, parce que l'accroissement rapide que prend le premier terme, comparativement aux autres, nous montre que les nombres au-dessus de + 4 et de — 5, donneront toujours des résultats positifs de plus en plus grands. En examinant ces résultats, nous voyons 1° que léquation n’a pas de racines entières; 2° qu’elle a au moins une racine positive comprise entre 2 et 3, et au moins une racine négative comprise entre — 3 et — 4. Pour déterminer maintenant le nombre exact de ces racines comprises, il serait essentiel de savoir si la proposée a toutes ses racines réelles, car, dans le cas contraire, comme elle n'aurait que deux racines réelles, on saurait immédiatement qu'il n’y a qu’une seule racine positive comprise entre 2 et 3 et qu’une seule racine négative comprise entre—3 et—4, tandis que, si les quatres racines sont réelles, il peut non seulement s’en trouver trois positives entre 2 et 5, ou trois négatives entre — 3 et — 4; mais il peut encore arriver que deux des racines soient comprises entre d’autres nombres que 2 et 5 où —5 et — 4, et cela d’après cette conséquence du principe précédent, qu'il ne faut jamais perdre de vuc : Deux nombres qui comprennent un nombre pair de racines ne peuvent donner que des résultats de méme signe par leur substitution. C’est précisément ce qui se rencontre dans l’équalion que nous avons prise pour exemple : deux de ses racines calculées ci-dessus ( 16)

sont comprises entre o et 1,

La substitution de la suite des nombres entiers ne saurait done mettre en évidence toutes les racines réelles d’une équation que dans le seul cas où toutes ces racines ont des parties entières différentes ; cependant lorsqu'on peut présumer que plusieursracines sont comprises entre deux nombres entiers successifs, il est toujours possible de distinguer ces racines les unes des autres en faisant subir à l’équation des modifications que nous examinerons plus loin. Attachons-nous d’abord aux moyens de reconnaître l’existence de plusieurs ra-

cines entre deux nombres entiers qui ne diffèrent que de l’unité.

23. Voici un principe très-utile pour se guider dans cette recherche :

Lorsque des résultats successifs, sans changer de signes, s'approchent de zéro, puis s’en éloignent, cette circonstance indique un nombre pair de racines ou réelles et comprises entre les nombres substitués correspondant aux résultats les plus voisins de zéro, où imaginaires.

L'application de cette règle aux substitutions précé-

® dentes montre que l'équation doit ayoir deux racines

réelles comprises entre o et1, si elle n’a pas deux racines imaginaires, car les résultats successifs s’approchent de zéro depuis la substitution de —3 jusqu’à celle de 1, puis le résultat qui correspond à +- 2 s’en éloigne ; ces résultats sont :

Les nombres correspondans aux résultats les plus près de zéro étant o et 1, c'est done entre ces nombres que doivent se trouver, st elles existent, les deux autres racines réelles de l'équation. Ainsi, quoique nousne puissions encore affirmer l'existence de ces deux racines , nous savons du moins qu'il n’y a qu’une seule racine comprise entre 2 et 3 et qu'une seule comprise entre —5et—{4, ce qui nous permet de poursuivre leur éva- Juation par les méthodes que nous signalerons bientôt.

Il nous resterait à lever l'incertitude qui règne encore sur l’existence des autres racines, mais cette question exige la connaissance des principes suiyans,

24. Rècre pes sienes. Lorsque deux termes successifs d’une équation ont des signes différens , on dit qu’ils présentent une variation de signes ; lorqu’au contraire, ils ont le même signe, on dit qu’ils présentent une per-

manence. Par exemple, l'équation 25 — hat + Ga — 22° — 5% —4 = 0 rénferme trois variations et deux permanences, Savoir :

+ x, — 4x"... une variation — hat, + 4x... une variation + 4°, — 24°... une variation == 22, — 5%... une permanence

— 5%, — As... une permanence.

Ceci posé, voici le principe très-important dû à Descartes, et qui porte le nom de règle des signes.

Le nombre des racines réelles positives d'une équation ne peut surpasser le nombre des variations de ses signes, et le mombre des racines réelles négatives ne peut surpasser ce- Lui des permanences.

D'après cette règle, l'équation précédente ne saurait avoir plus de trois racines positives et plus de deux racines négatives.

25. La règle des signes, dans toute sa généralité, ne s'applique qu'aux équations complètes ; mais on peut

ÉQU

facilement l’étendre à celles dans lesquelles il manque des termes en rétablissant ces termes affectés du coefficient + 0; par exemple, l'équation incomplète traitée

ci-dessus

D — 122? + 195 —35—0 « 0 CR] * . “ devient , de cette manière, l'équation complète &@* + où? — 192 L 19% — 5 —0,

et comme en prenant soit Je signe +, soit le signe —, du terme 02°, on a toujours trois variations et une permanence, on doit en conclure que la proposée ne peut ayoir plus de trois racines positives et plus d'une racine négaliye.

26, Quand toutes les racines d’une équation sont réelles, la règle de Descartes fait immédiatement connaître le nombre exact des racines tant positives que négatives ; car il est évident que le nombre exact des racines positives est alors égal à celui des yariations, et que le nombre des racines négatives est égal à celui des permanences, puisque le nombre total des variations et des permanences d’une équation complète est égal au degré de l’équation ou au nombre total des racines ; mais, lorsqu'il y a des racines imaginaires, cette règle n'indique plus, comme l’exprime d’ailleurs son énoncé, que les limites du nombre des racines positives et négatiyes, Par exemple, les signes des équations

qui offrent, dans chacune, deux permanences et pas de variations, nous apprennent bien que, si les racines sont réelles, elles sont toutes négatives ; mais on n’en peut rien préjuger sur la réalité de ces racines dépendantes uniquement de la relation des grandeurs des coefficiens. C’est en remarquant que dans la première équation (5)? 4 X 8, et que dansla seconde (7) > 4X8 qu’on reconnaît que les deux racines de la première sont imaginaires et les deux racines de la seconde, réelles (8); on peut conclure ensuite, de la règle, que ces dernières sont toutes deux négatives. Il existe cependant des cas où la règle des signes manifeste l'existence des racines imaginaires : c’est lorsqu'il manque quelques termes dans une équation, et qu’en les rétablissant avec le coelicient + o, on trouve des nombres différens de variations et de permanences , suivant qu'on prend le signe — ou Je signe —. Par exemple, l'équation,

D 5æ— 11 —0 deyient, par le rétablissement du terme qui manque,

a + où? LE 5æ— 11 — 0,

ÉQU 109

Or, en n’ayant égard qu’au signe supérieur, on a deux permanences et une variation; tandis qu’en considérant le signe inférieur, on a trois variations ; ainsi, on devrait conclure du signe inférieur, si les trois racines étaient réelles, qu’elles sont toutes trois positives, et du signe supérieur, qu'une seule est positive et les deux autres négatives. Ces résultats contradictoires prouvent que les trois racines ne sont pas réelles.

11 résulte de cette considération que, lorsqu'un terme manque dans une équalion, et que ceux entre lesquels il devrait setrouver compris sont affectés du méme signe, on en peut conclure que l'équation admet un couple de racines imaginaires. Car, dans ce cas, l’intercalation de + 0 amène toujours une permanence de plus, et celle de — 0, une nouvelle variation ou vice versd.

Cette dernière règle suit pour nous montrer que l'équation

a quatre racines imaginaires. La cinquième est nécessairement réelle.

27. Nous signalerons encore ces deux conséquences de la règle des signes :

1°. Une équation complète ou incomplète dont tous les termes sont de méme signe ne peut admettre aucune racine positive.

2°. Une équation complète qui ne renferme que des variations de signes ne peut admettre aucuneracine négative.

Nous ferons observer, de plus, que la partie de la règle qui concerne les racines positives a lieu pour les équations incomplètes comme pour les équations complètes, c'est-à-dire qu’une équation numérique quelconque ne peut avoir plus de racines positives que de variations de signes.

28. La règle des signes combinée avec les principes des n° 22 et 25 peut mettre en éyidence, dans un grand nombre de cas, toutes les racines réelles d’une équation, mais elle est très-souvent insuîMisante et les géomètres ont dû s’attacher à découvrir des principes plus généraux, ou du moins des procédés capables de faire connaître avec certitude le nombre et la nature des racines réelles de toute équation numérique proposée; connaissance préliminaire indispensable pour pouvoir les évaluer. Malheureusement ceux de ces procédés qui se distinguent par un caractère de généralité sont tellement laborieux, que ce que l’on peut se proposer de mieux, lorsqu'on a une équation à résoudre, c’est de les éviter ; aussi, tout en les exposant dans cet article, nous insisterons sur les calculs de tâätonnement qui conduisent toujours au but avec plus de facilité et de promptitude.

29. Reprenons les opérations du n° 22. Nous avons indiqué la substitution de la suite des nombres naturels 0, 1,2, 5, etc., pris avec le signe — et le signe —»

110 ÉQU

comme le moyen de découvrir celles des racines de l’équation qui ont des valeurs entières, et celles dont les valeurs sont comprises entre deux nombres entiers successifs. Ce procédé déjà très-laborieux, lorsque les racines entières ou que les parties entières des racines incommensurables'sont exprimées par plusieurs chiffres, serait impraticable, si rien ne limitait le nombre des substitutions ; il est donc important de les réduire au plus petit nombre possible.

Observons que toute équation de la forme

"Aa" Ba" +ecte.. +Mr+N—o,

dans laquelle les coefliciens À, B, C, etc., sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, ne saurait avoir aucune racine fractionnaire (tom. n, page 401 ); ainsi, en ramenant une équation à cette forme, on n’a plus à considérer que des racines entières ou incommensurables, et c’est ce que nous supposerons qu’on a Commencé par faire dans tout ce qui va suivre.

La détermination des racines entières étant plus facile que celle des racines incommensurables, et facilitant d’ailleurs leur recherche, c’est par elle qu’il faut commencer les opérations. Or, d’après la génération des équations (3), le terme absolu est égal au produit de toutes les racines, et, par conséquent , exactement divisible par chacune d'elles; si donc quelques-unes de ces racines sont des nombres entiers, elles font nécessairement partie des facteurs entiers du nombre absolu ; ce qui montre que, pour trouver les racines entières, il suffit de substituer à la place de l’inconnue les seuls diseurs exacts du terme absolu.

On diminue encore le nombre des diviseurs à essayer en cherchant les limites des racines de l’équation; car, ces limites étant connues, on peut d’abord exclure tous les diviseurs qui les dépassent, puis en soumettant les autres à des essais préalables très-simples, on finit toujours par n’en plus avoir qu'un petit nombre, dont on peut même se dispenser de faire la substitution, au moyen d’un procédé définitif d'exclusion. Nous avons exposé au mot RACINE, tome 11, tout ce qui concerne les racines commensurables avec assez de détails pour que nous puissions nous contenter de renvoyer à cet article.

Après avoir déterminé ainsi les racines entières d’une équation, on la débarrasse de ces racines par la division, ce qui la réduit à une équation d’un degré moindre et dont toutes les racines réelles, si elle en a, sont incommensurables.

50. Lorsqu'une équation n’a plus que des racines incommensurables, chacune de ces racines étant nécessairementcomposée d’une partie entière, qui peut être zéro, et d’une partie plus petite que l'unité , il faut avoir recours à la substitution de la suite des nombres naturels;

ÉQU

et quand on a trouvé deux nombres successifs qui donnent des résultats de signes contraires, on peut en conclure qu’ils comprennent au moins une racine, dont le plus petit de ces nombres est la partie entière. Mais il devient alors nécessaire de savoir s’il n’existe qu’une seule racine comprise, parce que s’il s’en trouvait plusieurs, elles auraient toutes la même partie entière, ct leur évaluation ultérieure exigerait qu’on substituât une suite de nombres dont la différence fût plus petite que leur plus petite différence, afin de les déterminer jusqu’à l’ordre des décimales, où elles commencent à prendre des valeurs différentes. Ce dernier procédé est encore celui qu’il faut employer lorsqu'on soupçonne qu’un nombre pair de racines est compris entre deux nombres qui donnent des résultats de même signe.

Les racines égales, soit qu’il en existe un nombre impair compris entre deux substitutions dont les,résultats sont des signes contraires, soit qu'il en existe un nombre pair compris entre deux substitutions , dont les résultats sont de même signe , ne peuvent jamais être mises en évidence par des substitutions successives, parce que, quelque petite que soit la différence des nombres substitués, toutes ces racines sont comprises à la fois entre deux de ces nombres. La méthode des substitutions n’est donc point applicable aux équations qui renferment des racines égales incommensurables ; de sorte que le premier soin à prendre après avoir débarrassé une équation de ses racinesentitres, c’est de la débarrasser de ses racines égales incommensurables. Les procédés de cette opération, qui donne en même temps la détermination complète des racines égales incommensurables, sont exposés tome 11, page 407; nous ajouterons seulement, qu'il est inutile de les essayer sur les équations du troisième et du quatrième degré à coefliciens rationnels et dont toutes les racines réelles sont incommensurables ; les premières ne pouvant jamais avoir de racines égales, et les secondes n’en ayant que lorsque leur second membre est un carré parfait, circonstance facile à reconnaître par une extraction de racine. On ne doit donc appliquer la méthode laborieuse des racines égales qu'aux équations des degrés supérieurs au quatrième, et quant on les a ramenées à n’avoir que des racines incommensurables inégales, mêlées ou non avec des racines imaginaires, leur solution ne dépend plus que des principes posés ci-dessus.