ME

à près; or, en observant que les résultats des subo

stitutions de L 2 et de +5, savoir — 11 et 6 indiquent que la valeur de la racine est plus voisine de 5 que de 2, parce que —- 6 est plus près de o que — 11, nous poserons æ— 2,7, et substituant cette valeur dans l'équation, nous obtiendrons — 4,9559; ce résultat étant négatif, nous montre que la racine est comprise entre 2,7 et 3; faisons maintenant + — 2,9, la substitu-

tion de cenombre nous donnera pour résultat L 1,6081 5

nous en concluerons que la valeur de la racine est entre ; AL TU 2,7 et 2,0, et par conséquent qu’elle est 2,8 à 35 Près.

Il ne faut plus qu’appliquer la méthode de Newton à cette valeur pour poursuivre à volonté l’évaluation de la racine. En opérant de la même manière sur la seconde racine comprise entre — 3 et — 4,on trouvera

sin . 1 que sa valeur approchée à moins de et 3,9.

Ces deux racines étant trouvées, il reste à déterminer les deux autres, qui, si elles sont réelles, doivent être comprises entre o et 1; pour cet effet, nous pouvons substituer les nombres

0,1 0,2 0,5 0,4 etc., jusqu'à 0,9;

si les racines sont réelles, et que leurs valeurs diffèrent 1 à s , 2 de 35 <u moins, nous obtiendrons nécessairement des

résultats de signes contraires. Mais, au lieu d'opérer ces substitutions, il est plus simple de rendre les racines de la proposée dix fois plus grandes, et de substituer les nombres entiers 1, 2, 5, 4, et jusqu'à g; car si la transformée a une racine réelle comprise, par exemple, entre 2 et 5, comme cette racine sera 10 fois plus grande que la racine correspondante de la proposée, on saura que cette dernière est entre 0,2 et 0,3. Cette transformation, qui n’exige qu’un trait de plume, a l'avantage de rendre les calculs plus faciles, et permet de se servir d’une partie de ceux qu’on a dû faire pour les premières subtitutions.

Nous rappellerons qu'on multiplie les racines d’une équation par un facteur quelconque m, en multipliant son second terme parm, son troisième par m*, son quatrième par m° et ainsi de suite, tome 2, page 565. Si l'équation n’est pas complète, il faut tenir compte pour le rang des termes de ceux qui manquent. Jci, le fac-

EQU 111 teur étant 10, il n’y a que des zéros à écrire, et l’équation transformée est

On trouve, en désignant toujours le premier membre de l'équation par X,

Pour T— 0, X — — 350000 T—= 1, X —— 19199 G— 2, X — — 10884 DO EEXE—E— 4819 t—=4,X—=— 944 T—5,X— + 625 z—6, X— + 96

Nous nous arrêterons à », puisque nous reconnaissons deux racines, l’une entre 4 et 5, et l’autre entre G et 7. Lesracines cherchéesde la proposée sont donc 0,4 et 0,6,

« : 1 à moins de —.,

32. Proposons-nous encore l'équation résolue directement ci-dessus (17)

Cette équation, traitée par la méthode des diviseurs (voy. Racines comuexsunagzes, tome 11), nous offre une, racine entière —{4, nous la diviserons donc par æ— 4, pour la débarrasser de cette racine, et nous obtiendrons.

d? + Ga? + 15% + 29 — 0.

Les signes de cette dernière n’offrent que des permanences; il en résulte qu’elle n’a pas de racines positives, et qu’on doit substituer seulement les nombres négatifs 0,;—1;—2,—3, etc. Dans ce cas, pour éviter la considération des signes, dans la construction des puissances des nombres substitués, on transforme l’équation en une autre dont les racines sont les mêmes, mais de signes contraires; ce qui s'effectue en changeant lessignes des termes qui contiennent les puissances impaires de æ, si l'équation est de degré pair, ou ceux des termes

‘ qui contiennent les puissances paires de æ, æ° comprise,

si l'équation est de degré impair. (Voy. Traxsronma- TION, tome IT.) La proposée devient, de cette manière,

&+ — 42? + 15xz — 22 — 0,

équation dont les racines positives seront les racines négatives demandées.

Nous ferous remarquer que cette transformation si simple ramène la résolution des équations numériques à la recherche des seules racines positives.

112 ÉQU

Obseryons maintenant que la limite supérieure ordinaire des racines positives est ici 1 -22— 23 (voy. tome II, page 404); de sorte qu'il faudrait substituer tous les nombres entiers depuis o jusqu’à 25, pour être sûr de ne pas laisser échapper quelques racines, sil n'existait aucun moyen de découvrir une limite plus resserrée ; mais le procédé de Newton, exposé au mot Laure, tome II, nous apprend, en lappliquant à la proposée, que la plus petite limite supérieure de ses racines positives (elle n’en a pas de négatives) est 3. Les seuls nombres à substituer sont donc 0, 1, 2, 5; et l’on sait de plus qu'il y à au moins une racine comprise entre 3 et 3. Comme la recherche de la plus petite limite supérieure est souvent très-laborieuse, nous indiquerons plus loin les moyens de s’en passer.

Les substitutions effectuées donnent

Pour 4 — 0, X — — 22 T—=i, X —= — 712 D — ON NN

DO ON — ne 8,

résultats qui n’offrent qu’un seul changement de signe.

Si toutes les racines sont réelles, il doit donc s’en trouver deux entre o et 1, ou entre 1, 2, à moins qu’elles ne soient toutes trois comprises entre 2 et 5. La marche régulièrement décroissante des résultats — 22, — 14— {4 ne pouvant fournir aucun indice susceptible de guider dans les recherches, on est réduit à essayer la substitu-

= tion des nombres 3 sa se etc., jusqu’à 2 pr 8, 107 10° 10 10

et encore ce moyen n’est nullement décisif; car si la

différence des racines est plus petite que F0 les substi-

tutions ne pourront les mettre en évidence. Pour tirer parti de toutes les inductions, remarquons que la somme des trois racines, prise ayec un signe contraire, devant être égale au coeflicient 4 du second terme, il est impossible qu'il ÿ ait trois racines comprises entre 2 et 3; car leur somme serait évidemment plus grande que 4. Il est même impossible, par la même raison, qu'il ÿ en ait deux entre 1 et 2. Cette circonstance, toute particulière à l'équation que uous traitons, montre que deux des racines sont imaginaires ou comprises entre oO et 1. Quant à la troisième, sa partie entière est 2; eten opérant comme ci-dessus, nous trouverons que sa valeur

5 1 À à est à moins de de près 2,4, ce qui permettra de pous-

ser son approximation aussi loin qu’on pourra le désirer par la méthode de Newton. En lui donnant ensuite Je signe — on aura une des racines de la proposée.

Pour trouver s’il existe deux racines entre 0 et 1, on t'ansformera l'équation en une autre dont les racines soient 10 fois plus gfandes, ét si la substitution des

ÉQU nombres 0, 1, 2, 3, 9 et 10, ne produit que des résultats de même signe, on en conclura, ou que les racines sont imaginaires, ou qu’elles diffèrent de moins qu'une unité; celles de Ia proposée diffèrent alors de moins

que Il faudra donc de nouveau transformer la pro-

posée en une autre dont les racines soient 100 fois, 1000 fois, ete, plus grandes. Mais lors même qu’on obtiendrait toujours des résultats de même signe, on ne pourrait conclure avec certitude que les deux racines sont imaginaires, car elles peuvent très-bien ne commencer à différer qu'après un grand nombre de chiffres décimaux communs si, par exemple, les deux racines étaient

0,567843219, etc.

0,567843218 ; etc.

leur distinction par des substitutions successives entrainerait des calculs impraticables.

Les considérations précédentes montrent suffisamment quelle serait l'utilité d’une règle capable de faire connaître la plus petite différence des racines d’une équation, et combien il serait important de pouvoir déterminer, dans tous les cas, le nombre exact des racines réelles. Nous allons examiner les moyens que possède aujourd’hui la science pour résoudre ces deux questions.

53. Équation aux différences. Désignons par &,, &,; æ, etc., æ, les m racines de l'équation

Wii Mi— 1 Mi 2 £ PRE D + AE Ep" éte2.. LA © @ HA —0, et par # la valeur d’une quelconque des différences Ty — Los Lo — Lys Ly— Lay Ds Lo CC.

Il s’agit de trouver une équation dont l’inconnue & ait pour racines toutes ces différences, dont le nombre est évidemment égal à celui des combinaisons deux à deux avec permutations des m lettres æ,, &,, æ,, ete. Le degré de l'équation demandée sera, par conséquent, m (m—1). (Voy. Cousmaisox , tome I.)

Or, æy et æ, étant deux quelconques des racines Li Ti Ps Etc. nous avons, d’une part, la relation générale... (1)

U=T,—®, et de l’autre, l'équation... (2) PAT RAF ete AG FAT 6,

car æ, étant uné racine de la proposée; doit y satisfaire. L'égalité (1) donne æu=#,y—u, ct comme æy; est

ÉQU aussi une racine de la proposée, on a encore l’équation (3) (æ,;+u)"+A,(&+u)" "HA, (&,+u)" ete... — 0.

La question se réduit donc à éliminer æ, entre les deux équations (2) et (3), et l'équation finale en w aura Pour racines toutes les différences des racines de la proposée. x, désignant une quelconque des racines de l’équation en x, il revient au même ; et il est plus simple de considérer les deux équations (4) et (5)

es rATT D EE Ant etc. = 0) (+) (ou) TA (eu) ete. — 0.

Développons d’abord la dernière, nous aurons

2 pure M(R—1),m—2 | m(m—1) (m2) m—3