Rome

HAT + (n=1)A 2° Tu 1e), ET + ete.

+ Are + (m—1)4, 2" Vu etc,

+ A DPES +etc.

ce que nous pourrons mettre sous la forme... (6) L x x" X +X'u + = u? + Ta.gu tete... Lun 0, en posant

3 = m m—i —2 X =a"+Az +A,r" +Ar" een uen g

CHE Mi 2 " X'= mr + (mA a (m2) 2° + etc.

ES —2 X= mm)" + (mt) (m—2A 2" + etc.

LL —3 = m1) (m—2)2 + (m1) (m2) (n=3)A 2°" + etc,

etc. — etc.

Ces polynomes se dérivent les uns des autres en multipliant chaque terme par l’exposant de x qu’on diminue ensuite d’une unité. Les termes sans æ sont con- Sidérés comme s'ils renfermaient æ, ce qui les fait disparaître à chaque dérivation.

Le terme X étant identique avec le premier membre:

ue l'équation (4), est nul par lui-même. Ainsi l'équa- | tion (6) se réduit à

: x” Xe PUR EUR 13% tete. + um—0o,

| . ou simplement à

LL UE | x X 1 M) ce + ete... Hu" 0, en GPnSANE tout par w. Les deux équations entre lesquelles il faut éliminer +, sont donc, en dernier lieu [CA «

DH Az" + Ag L At" ete. = 0ù FA SD :

ad AE ete... + um Lg

Tox, Lit %

an.

ÉQU 113

Sans nous arrêter aux cas particuliers, examinons quelle sera la forme de l'équation finale en u. Ses racines étant les différences des racines æ,, æ,, æ,, etc., doivent être numériquement égales deux par deux, et de signes contraires, car deux racines quelconques T,» &,, fournissent deux différences contraires æ, —Z;, T,—2,. Si nous désignons donc par «, £, y, 9, etc., les racines positives de l'équation aux différences, ses racines négatives serOnt — &, —f3, — p—9%, ete., et elle sera équivalente au produit des facteurs

(u— x) (ua) (u—8) (u+6) (y) Cu +5

ou bien, en multipliant l’un par l’autre les binomes qui ne diffèrent que par le signe, à celui des facteurs

(ut — 0) (ut — 6) (0 — 47) (u? — 5)...

il en résulte que le degré de cette équation est pair, et qu’elle ne renferme que les termes affectés des puissances paires de w; sa forme est donc

2a 2a—2 2n—4 2n— u + Pu eu P,u SN Pris

6 C : +elc...+P u2+P —0o.

Si l’on pose #?— x, elle deviendra

n —| —2 = +Pz HP ; HP + ete. +P z+P 0;

l'exposant n étant égal à SES

Cette dernière se nomme l'équation aux carrés des différences , parce que ses racines z sont les carrés des différences w. Les calculs qu’exige la formation de l’une ou de l’autre de ces équations sont les mêmes, puisqu’elles ont les mêmes coefficiens. Nous verrons ailleurs (voy. Foxcrions SYMÉTRIQUES) comment on peut calculer les coefliciens de l’équation aux carrés des différences d’une équation proposée, sans avoir besoin d’éliminer æ entre les équations (7); il nous suffit ici d’avoir indiqué la possibilité de ces opérations pour pouvoir apprécier leur degré d'utilité.

34. D'après la construction de l'équation aux carrés des différences, il est évident qu’elle ne peut avoir que des racines positives, si toutes les racines de la proposée dont elle provient sont réelles. En effet, qu’une difference soit x ou — #, son carré est toujours; mais si une différence esteal/—1, ou a-£l/—1, son carré est— a? dans le premier cas, et une quantité imaginaire dans le second. Ainsi, lorsqu'une équation aux carrés des différences offre des permanences de signes, on est assuré que la proposée renferme des racines imaginaires.

35. La limite inférieure des racines positives de l’equation aux carrés des différences fait aisément connaitre un nombre plus petit que la plus petite différence entre les racines de la proposée, et lève, par conséquent, la difficulté que nous ayons signalée ci-dessus (52).

114 ÉQU

Voyons d'abord comment on trouve cette limite inferieure des racines positives.

Soit une équation quelconque

+ pr" + ge" + etc... +t—0o,

. à 1 b Si l’on fait D ou aura une transformée

1 1 1 PR one frotee Hb=10,

qui, étant ramenée à la forme ordinaire en multipliant tous ses termes par z", deviendra

1 + pr + ge + ete... + tr = 0, ou plutôt RD etc. +1 # +£ ge = 0;

transformation qui n’exige aucun calcul. Or, les racines de cette dernière sont égales à l’unité divisée par celles

de la proposée, puisque x =>; donc les plus grandes

racines de la transformée correspondent aux plus petites de la proposée, ct vice versd; et, par suite, si { désigne la limite supérieure des racines, soit positives, soit négatives de la transformée, ; sera une limite inférieure des racines de même nature de la proposée.

Revenons à l'équation aux carrés des différences. La limite inférieure de ses racines positives étant un nombre plus petit que le carré de la plus petite différence entre les racines de la proposée, la racine carrée de cette limite sera, à plus forte raison, plus petite que la plus petite différence des racines ; de sorte qu’en désignant cette racine carrée par d, il est évident que la subatitution de la suite des nombres 0, d, 20, 36, etc., à la place æ, dans le premier nombre de la proposée , mettra en évidence toutes ses racines réelles. S'il arrivait que à fût plus grand que l’unité, et que cependant Ja substitution des nombres entiers 0, 1, 2, etc., n’ait pas donné autant de changemens de signes que la proposée a de racines, On serait certain que toutes celles qui manquent sont imaginaires.

36. Les propriétés de l’équation aux carrés des différences sufliraient, comme on le voit, pour faire disparaître toutes les difficultés de la résolution des équations numériques, si la formation de cette équation n’était pas elle-même une difficulté plus grande que toutes les autres. Nous renvoyons au mot Foncrions symérriques pour donner une idée des caleuls prolixes qu’entraîne la détermination de ses coefficiens pour des proposées seulement du troisième degré; dèsle cinquième degré les calculs deviennent impraticables par leur longueur, de sorte que les indications que semble pro=

ÉQU

mettre cette méthode manquent précisément lorsqu'elles seraient réellement utiles, car les procédés théoriques directs permettent toujours de s’en passer pour les proposées du troisième et du quatrième degré auxquelles on l’applique exclusivement dans les traités d’algèbre modernes. Il est vraiment affligeant que, par déférence sans doute pour le grand nom de Lagrange, on ait cru devoir faire entrer la théorie de l'équation aux carrés des différences dans l’enseignement élémentaire.

37. Théorème de M. Sturm. Ce théorème, dont la découverte est récente, offre un moyen très-simple et généralement praticable pour mettre en évidence toutes

les racinesréelles d’une équation numérique quelconque. Soit

A + Ba" + Cr" + ete... + Mr + N —=0

une équation du degré m, que nous supposerons ne point renfermer de racines égales; les coefliciens A, B, C, etc. , étant d’ailleurs des nombres réels. Exprimons simplement par X, son premier terme, et par X,, le polynome

mAg" + (m—1)Br" "+ {(m—92)Cx" "tete... +M,

qu’on en dérive en multipliant chacun de ses termes par l’exposant de la puissance de + qu'il contient, puisen diminuant cet exposant d’une unité. Divisons XparX,, et comme la division ne peut être exacte, puisque l'équation X—0, n’a pas de racines égales, désignons le reste par X,; prenons — X, pour nouyeau diviseur et opérons la division de X, par — X, : X, étant le reste de celte seconde division, divisonsencore— X, , par —X, et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous tombions sur un dernier reste qui ne contienne plus +. On voit que ces opérations sont les mêmes que s’il s'agissait de trouver le plus grand commun diviseur (voyez ce mot, tom. I, page 566), entre X et X,, avec cette seule différence, qu'il faut changer le signe de chaque reste avant de le prendre pour diviseur. Voici la suite des calculs.

Équation proposée X— 0

Polynome dérivé de Ce AE

puis x x EX Xe Lan = ee A etc.

Ayant ainsi obtenu lasuite des fonctions X,X,, —X,, —X,,—X,, ete., si l’on y substitue, à la place de æ, . un nombre quelconque p positif ou négatif, lesrésultats, considérés seulement sous le rapport de leurs signes, offriront un certain nombre de variations et de permanences; et il en sera encore de n.ême si l’on substitue ensuite un second nombre g, plus grand que p. Or, »

La différence entre le nombre des variations de la suite

ÉQU

des résultats donnés par la substitution de p et le nombre des variations de la suite des résultats donnés par la substitution de q, exprime EXACTEMENT le NOMRRE des racines réelles de la proposée qui se trouvent comprises entrep et q.

Tel est le théorème très-remarquable dont il s’agit.

38. Obseryons que, dans la série indéfinie des nombres entiers positifs et négatifs — etc. . ..— 3, —2, —1,0,+L1,+0,<+53,...—<etc.,les nombres négatifs doivent être considérés comme d’autant plus petits qu’ils s’écartent plus deo; par exemple, si les deux nombres substitués p et g, étaient —16 et — 2, — 16 serait le plus petit. |