On tire d’abord de ce théorème larègle suivante

Les fonctions X,X,,— X,, — X,, —etc., étant déterminées, ony ferax —— ,et l'onécrira à la suiteles uns des autres, sur une même ligne, les sexes des résultats de cette substitution ; le signe dela dernière fonction —X,,, qui ne contient pas x, demeure toujours le même.

On fera ensuite x = co , et l’on écrira sur une seconde ligne, au-dessous de la première, les sicxes des résultats donnés par la substitution de cette valeur dans les mêmes fonctions.

On comptera le nombre des variations qu'offre chaque suite de signes. La différence entre les deux nombres exprimera le nombre total des racines réelles de la proposée.

Si, au lieu de substituer — et + œ, on substituait la limite supérieure des racines négatives et celle des racines positives, on arriverait de la même maniere à la connaissance du nombre total des racines réelles, mais la substitution de — æ et - œ n’exigeant aucun calcul, parce qu’elle réduit chaque polynome à son premier terme, est toujours préférable.

Pour distinguer les racines positives des racines négatives, il suffit d’une nouvelle substitution, celle de æ—0; on a alors trois suites de signes correspondant respectivement aux substitutions æ =-—, T0, %— + ; la différence des nombres de variations des deux premières donne le nombre des racines négatives, et la différence des nombres de variations des deux dernières donne le nombre des racines positives. Par exemple, si l’on a trouvé

Pour Z—=— 2%, — +- = + — + 5 variations, T—=0, + + — + + 3 variations, RE rnoun

on en conclura que, puisqu'il disparait 3 variations dans le passage de— æ ä0, la proposée a trois racines réelles comprises entre — æ et 0, c'est-à-dire : trois racines négatives; et que, puisqu'il disparait à ya= riations dans le passage de 0 == —- co, la proposée a, de

ÉQU 115

plus, 2 racines positives. Nous allons éclaircir cette théorie par quelques exemples.

4o. Reprenons l'équation du n° 32,

D — ai Le 13% — 29 — 0,

dans laquelle la substitution de la suite des nombres entiers 0,1,2,93, etc., n’a pu mettre en évidence qu’une seule racine réelle comprise entre 2 et 5. Le polynome dérivé de son premier membre est

Pour pouvoir effectuer la division, il faut multiplier tous les termes de X par le facteur 3, et nous devons observer ici, une fois pour toutes, que l'introduction ou le retranchement d’un facteur commun n’a aucune influence sur les résultats, de sorte qu’on doit opérer absolument de la même manière que dans la recherche du plus grand commun diviseur. Le reste de cette première division est 46% —146, ou 25æ— #3, en retranchant le facteur commun 2. Nous avons donc, en changeant les signes de ce reste, —X, —— 23% + 73.

Divisant X, par — X,, ou 32? — 8x + 13 par — 25% +-53, nous obtiendrons, pour dernier reste, —- 9452. D'où — X, —— 9432. La suite des fonctions est donc ici

X = 2 — Ga + 15% — 22, X, = 52? — 8x + 13,

Pour T—=—®, —+H+— 9 variations, T = Os. — + + — 2 variations,

T—= +, + + — — À variation.

A1 y a donc une seule racine réelle positive, car le passage de — « à 0, ne produit aucun changement, et celui de o à + æ ne fait disparaitre qu’une variation.