Reprenons encore l’équation du n

TZ — 122 +19æ2—3—=0,

dont nous savons qu’une racine est comprise entre — 3 et— 4, deux entre o et 1, ladernière entre 2et 3. Nous allons voir que le théorème de M. Sturm fait immédiatement reconnaitre l'existence des deux racines comprises entre o et 1, que nous n'avions pu que soupçonner ci-dessus, ce qui aurait entraîné beaucoup de calculs inutiles si le soupçon ne s'était pas trouvé fondé. La dérivation donne

GT me 24 T4 19, 04 X° me GT HBS=X,,

116 ÉQU le reste de la première division est — 6x? + 97 —3;

retranchantle facteur commun 3 et changeant les lignes, nous ayons done

le reste de la division de X, par — X, est —17æ—+-0. D'où 192 —9=— X,;

cnfin le reste de la division de —X, par —X, est —8;

d'où —X,=——+8. Nous avons donc, en rassemblant les résultats,

X —x — 192% +1ax —3 X,—2— 6x +3

Substituant successivement — æ, 0 et H œ, nous obtiendrons,

Pour T—=—œ,

+ — + — + 4 variations, æ — 0, —++— LE 3 variations X = + @ + + + + + O variation.

ce qui nous apprend que l'équation proposée a ses quatre racines réelles, savoir : une négative et trois positives.

Pour déterminer maintenant avec exactitude entre quels nombres entiers chacune de ces racines se trouve comprise, substituons dans ces mêmes fonctions la suite des nombres naturels 0, 1, 2, 5, etc., tant avec le signe —- qu'avec le signe —, nous obtiendrons pour les substitutions positives,

Pour T—O0, — + + = + 3 variations, T=l ———— = 1 variation, LT—I2, —— + + + 1 variation,

ne dE Te ME Me

O variation.

Nous nous arrêtons à æ— 3, parce que sa substitution donne les mêmes signes que celle de - œ, et qu’il en résulte qu’il n’y a pas de racine réelle comprise entre 3 et + 0.

En examinant ces suites de signes, nous YOyOons que o donne 5 variations et que 1 n’en donne qu’une, d’où il suit qu'il y a deux racines comprises entre o et 1 ; de même, 2 donnant une variation ct 3 n’en donnant aucune, il y a une racine comprise entre 2 ct 3.

XL est inutile ici d’opérer la substitution des nombres négatifs daus tontes les fonctions; comme il u existe

ÉQU

qu'une seule racine négative, il suffit, pour la mettre en évidence, d'effectuer cette substitution dans la proposée.