Soit, pour dernier exemple, l'équation

Œ° — Ga + Gt — 02° — 5x —4—= 0.

En lui appliquant la règle (37), on obtient la suite de fonctions

X = — Got + Gui — 27! — 5x — 4 X, = 52 — 16% + 192 — 4x — 5

= 122 — 9%° + 58x +- Go

Les substitutions de — æ, o et + œ donnent

en - — + + + 3 variations, x — 09 ——+<—— + 3 variation,

T=+e, + + +- + — + 2 variations.

La proposée n’a donc qu’une seule racine réelle posilive ; les quatre autres sont imaginaires. En appliquant à cette même équation une règle d’induction, Newton avait trouvé (Arith. univ., tome IT, cnar. 11), qu'elle devait avoir deux racines négatives ct une po-

Pour T—=—X,

sitive; on voit que sa règle est fausse.

Pour déterminer la partie entière de la racine positive, on substituera dans la proposée la suite des nombreso, 1, 2,3 etc., ce qui donnera,

Pour T—0 X—=— 4 D Xe 10 LT —= 2; = — 22 TS, —=— 10 xz—4, X —=-#200

ainsi la racine cherchée est entre 3 et 4, mais beaucoup plus près de 3 que de 4.

43. Limites des substitutions. Les limites supérieures ordinaires des racines d’une équation étant souvent de très-grands nombres, et les limites supérieures les plus petites pouvant être rarement obtenues sans beaucoup de calculs, il est important, pour éviter les substitutions inutiles, de savoir reconnaître si les nombres substitués renferment ou non toutes les racines réelles, quoiqu’elles ne soient pas toutes en évidence. Les caracttres que nous allons indiquer, et d’après lesquels on devra poursuivre ou arrêter les substitutions, sont liés à un moyen si simple d'obtenir les résultats de ces substitutions, qu’on doit, danstous les cas, le préférer aux opérations directes. Voici en quoi il consiste.

Lorsque, dans un polynome du degré m, m étant un uommbre entjer, on substitue, à la place de æ, la suite

ÉQU

des nombres naturels 0,1, 2, 3, 4, etc., les résultats qu'on obtient forment une progression arithmétique de l'ordre m (voy. Procression, tom. IT), c’est-à-dire, une progression dont les différences de l'ordre m sont constantes. Pour fixer les idées, soit l'équation générale du troisième degré

+ Ar + Br +C—0o;

si nous faisons successivement 7 —0,—1, — 2, €ClC., nous aurons la suite de quantités . . . (a)

re

8EVAA ob C

Gtre o 0 5 var oo QE

Or, en retranchant chaque terme de cette suite, de celui qui le suit immédiatement, on obtient la nouvelle série de premières différences :

CIC En etc.

Opérant de la même manière sur celle-ci, on aura pour la série des secondes différences :

etc. etc.

Les différences de cette dernière, qui sont les différences troisièmes de la suite (a), sont évidemment égales entre elles et au nombre 6.

Ainsi , les résultats (a) de la substitution des nombres naturels 0, 1, 2, 3 etc., dans le premier mèmbre d’une équation de troisième degré, forment évidemment une progression arithmétique du troisième ordre dont les différences constantes sont égales à 6. On reconnait aisément qu'il en serait de même si le premier terme +! de l’équation, au lieu d’avoir l’unité pour coeflicient, avait un nombre quelconque P , seulement alors les différences constantes seraient égales à 6P. Observons maintenant que lorsqu'on connait la première différeuce de chaque ordre, il n’est rien de plus facile que de continuer la progression. Ici, par exemple, il ue faut qu'ajouter G à la quatrième différence du second

ÉQU 117

ordre 24 2A, pour obtenir lacinquième 30-24; mais celle-ci, ajoutée à la cinquième différence du premier ordre 61—-9A—B, donne la sixième différence du premier ordre 91 11A—+B, qui, ajoutée à son tour au sixième terme de la progression 125A— 5B + C, fait connaître le septième terme

Il suffit donc d’une suite d’additions pour pouvoir construire tous les termes de la progression (a), au moyen du premier terme de chaque ordre de différences, savoir :

1HA+HB, 6+24, 6.

Par exemple, pour l'équation a — 4m 13x—22— 0,

on aurait, en faisant A——4,B—13, C——929,

1HALB—=10, 6+21—=—0,

“c'est-à-dire

Di. 3e.Dif. ac.[Dif. are,

+ 6] — 2 | +10 Ces premiers termes des diverses séries font connaître les seconds, en ajoutant chacun d’eux avec celui qui le

Proz.

précède; ainsi le second terme de la série des différences secondes est — 2 6 — +4, celui des différences premières est Æ1o—2—-L8, ctenfin le second terme de la progression est — 22 10 —— 12. En écrivant toujours -6 dans la colonne des différences troisièmes, on obtient de cette manitre

Diff. 3°.|Diff. 2e.[Dif.are.| Prog, + 6|— 3! —+10 | —22 +6|+4[+8|-1 + 6 | +10 | +12 | — 4

Les termes dela progression correspondent évidemment

aux substitutionsæt—0,%=—1,7—3,2—5,x—4.

En examinant la formation des termes de ces diverses suites, on reconnait que lorsqu'on est arrivé à une ligne

de termes affectés chacun du signe -, toutes les autres lignes qu’on pourrait former, et, par conséquent, tous les termes ultérieurs de la progression, offriraient nécessairement ce même signe, de sorte qu'il est impossible d'obtenir des variations de signes dans la colonne des

résultats, ou des termes de la progression, au-delà de

118 ÉQU

la substitution à laquelle correspond cette permanence générale. Il ne peut donc y avoir ici de racines positives au-dessus de 4, car 4 correspond au résultat +8, précédé de termes tous positifs. Nous avons donc, par ce procédé, non seulement l'avantage de réduire les calculs des substitutions aux deux opérations arithmétiques les plus simples, l’addition et la soustraction, mais encore celui de savoir où nous devons nous arrêter.

On peut obtenirles résultats correspondant aux substitutions— 1,—2,—95,—etc., par une suite de soustractions, mais il est généralement plus simple, après avoir cherché les racines positives, de changer le signe des racines de la proposée et de chercher, de la même manière, les racines positives de la transformée; elles seront les racines négatives de la proposée (n° 52).

44. Ce que nous venons de dire pour les équations du troisième degré s'applique à toutes les autres. Dès qu’on a déterminé la première différence de chaque ordre, les résultats des substitutions s’obtiennent par une suite d’additions. Pour les équations du quatrième degré on à

Équation générale, gt + Art Bx+Cx+-D—0 . +D 176 différence première. + + «+ 1 + A+ B + C 170 différénée seconde. + » + 14 + 6A + 2B

ire différence troisièmes. + + 90 + 6A

Différence 4® ou constante.. 24.

Premier terme des résultats + + « + + + +

Voici le tableau des calculs sur l'équation déjà traitée at — 19% +- 197 — 3 —0.

Ici, A—0,B——12, C—+12, D——53,et,

par suite,

Partant de ces nombres, on trouve pour les substitutions positives,

Difr. 4e.[Difr. 3e.[Diff. 20,[Diff. ire Résultats.

Le4|+ 36[— 104 1] — 3

3 est donc la limite supérieure des racines positives. Pour chercher les racines négatives, changeons les signes des racines de la proposée; elle deviendra

Te 192 ve 19Z 0,

ÉQU

Nous aurons, en comparant avec les formules précédentes, D——3,

ce qui nous donnera, en opérant comme il est indiqué,

Diff. 4e.| Diff. 3e.)DifT. 2e. Diff. ure,[Résultats.

z—0|+24|+ 36— 10[— 25] — 5 æ—1|<+o4|+ 60+ 26|— 35| — 26 z=0|+24|+ st 86 | — 59 æ—3 | + 24 | 108|+ 170] 79 — 66 æ=4 | + 24 [+ 19214 278|+ 249l + 13

La limite des racines positives de la transformée est donc 4,et, par conséquent, la proposée n’a pas de racines négatives au-delà de — 4.

Nous n’ayons sans doute pas besoin de faire observer que tout ce que nous avons dit ci-dessus, concernant les changemens de signes des résultats, s'applique à ceux qui sont obtenus par ce procédé, c’est-à-dire , qu’il faut conclure du premier tableau, qu'il y a au moins une racine réelle comprise entre 2 et 3, et, du second, qu'il y a au moins une racine réelle comprise

entre 3 et 4.

45, Nous allons étendre les formules, qui font obtenir

immédiatement les différences, au cas où les premiers

termes des équations sont affectés de coefficiens, en

nous bornant aux équations des huit premiers degrés,

ce qui est suffisant pour les applications usuelles. La

marche que nous allons suivre montrera d’ailleurs com-

ment il faudrait opérer pour des équations supérieures. Soit... (1)

Azt-LBaCat+Dat+latFr+ Gao tl=o

une équation du huitième degré dans laquelle les coefficiens À, B, C, cte., sont desnombres entiers quelconques positifs, négatifs ou nuls; on pourra la réduire à une du septième degré en faisant A—0, à une du sixième en faisant A—0, et B—0, et ainsi de suite. Ceci posé, si l'on substitue à la place de æ, les nombres entiers 0, 1; 2,53, etc., les résultats formeront une progression arith-

métique du huitième ordre, dont le premier terme sera 14

En retranchant chacun des termes de cette progression de celui qui le suit immédiatement, on formera la série des premières différences : progression du septième ordre, qui aura pour premier terme

AHB+CHD+HE+F+6G+ 1H.

Opérant de la même manière sur cette série des premières différences, on obtiendra la série des secondes différences, dont le premier terme sera

Continuant de la même manière , jusqu’à ce qu’on parvienne aux différences huitièmes, qui sont constantes et égales à 40320 A, on pourra réunir tous les résultats dans un seul tableau, comprenant ainsi Les élémens de la résolution des équations numériques, depuis celles du premier degré jusqu’à celles du huitième. Nous aurons de cette manière R, désignant le premier terme de la série des résultats ou celui qui correspond à æ —0, et D,, D,, D,, D,, etc., les premières différences de chaque ordre (II).

1 — 2[ 127A—+ 65B451C+15D+-7E+-3F + 6] D,—= CI 966A-L301B-—-90C—+25D+6E+ r| D,= »4] 701A—550B+65C—+10D +]

D,= 120 [: 050A—+-140B—+1 sc-+p] D, = po] 266 -+a1B-+-c | D,=5oio| san |

46. Pour montrer l'application de ces formules, prenons d’abord l'équation

DS —h4rt + 4a— 22 —5x—4=0,

dans laquelle le théorème de M. Sturm nous a fait reconnaître qu’il n'existe qu’une seule racine réelle positive. Nous avons, en comparant avec la formule (I),

A0, HB—=0, C0, D —1, 4; F=+k, G—— 02, H——5, I——#4;

substituant ces valeurs dans le tableau (II), nous obtiendrons

= 1444-02 —5——6 [1528 ae] —6

D, — G[25—aû +4] +50

Di »4 [104 | = +

Au moyen de ces différences , le calcul des substitutions positives sera compris dans le tableau suivant :

Diff. 56.1Diff. 4e.[Diff. 3e.[Diff. 2e.[Diff. are. Résultats,

Il y a donc une racine positive comprise entre 3 et 4, et le calcul est fini, puisque tous les signes de la dernière ligne sont positifs.

Si l’on ne savait pas que cette équation n’a qu'une seule racine réelle, il faudrait calculer les résultats des substitutions négatives — 1, — 2, — 5, etc., soit en changeant le signe des racines, pour n’avoir que des additions à faire, soit en prolongeant le tableau précé= dent par des soustractions du côté des substitutions négatives. Lorsque le calcul des différences est un peu long, ce dernier moyen est préférable. Voici la marche des opérations :

æ= 0, Hi20, +144, +30, — 6, —6 : — 4 =—1, +120, + 24, + 6, —12, +6 : —i10

la différence constante —- 120 étant retranchée de la différence quatrième 144, donne + 24 nouvelle différence quatrième; celle-ci, retranchée de la différence troisième H 30, donne +6, nouvelle différence troisième ; cette dernière retranchée de — 6, différence seconde, donne—12, nouvelle différence seconde, qui, retranchée àson tour de la différence première —6, donne +6, nouvelle différence première; enfin, cette nouvelle différence première retranchée du résultat — 4, donne le nouveau résultat — 10, correspondant à z— — 1. Opérant ensuite sur la nouvelle ligne de chiffres comme nous venons de le faire sur la première, on obtiendra le résultat correspondant à æ —— 2, et ainsi de suite. Le calcul, continué jusqu’à ce que la dernière ligne n’offre que des variations de signes, est résumé dans ce tableau :

Dif.be]Dif. 4e.[DiT. 3e.fDiff. 2e.[Dif. re. Résultats.

a= ol120|+ 1444 30o[— 6|— 6! — & æ——1|120|+ 24+ 6|— 124 6! — 10 æ=——0|190|— 96!+ 102/— 11414 120| —130

La dernière ligne ne présentant aucune permanence de signes, il en résulte que l'équation n’a point de ra= cines au delà de — 2; car, d’après la construction des

120 EQU

résultats, on voit qu’il n’est plus possible d’en obtenir de positifs : chaque différence négative devant être augmentée par la soustraction d’une différence positive, et chaque différence positive devant être parcillement augmentée par la soustraction d’une différence négative.

On a donc deux critériums assurés pour limiter les substitutions, savoir : du côté des nombres positifs, lorsqu’il n’y a plus de variations de signes, et du côté des nombres négatifs, lorsqu'il n’y a plus de permanences.

Les substitutions n’ayant mis qu’une seule racine en évidence, et la marche des résultats

pouvant faire soupçonner (n° 25) qu’il existe un nombre pair de racines entre les nombres + 1 et— 1, il faudrait essayer des substitutions intercalaires que l’application du théorème de M. Sturm rend inutiles. Cet exemple suffit pour montrer sa grande utilité. Nous ferons cependant connaître plus loin un autre théorème qui, bien que moins décisif, peut servir de guide dans un grand nombre de cas.