Le but principal de la méthode des substitutions

, L à : 1 D étant de déterminer la valeur des racines à re d'unité

près, pour pouvoir leur appliquer ensuite les méthodes d'approximation, il nous reste à montrer comment on peut obtenir cette première détermination sans aucun des tâtonnemens indiqués ci-dessus (n°31), et qui peuvent devenir très-laborieux lorsque l'équation est d’un degré élevé.

Partons toujours de l'équation générale (T1), qui embrasse les huit premiers degrés, et supposons que nous ayons trouyé la valeur entière a, d’une de ces racines, si nous désignons par #, sa valeur plus petite que l’unité, elle sera représentée paræ — az, et en substituant a-}-7, à la place de æ, dans l’équation (1), on obtiendra une équation en 7, dont une des racines doit être nécessairement moindre que l’unité, et comme nous supposons que la proposée n’a qu’une seule racine comprise entre a et a +-1, l'équation en z n’aura qu'une seule racine réelle entre o et 1; il s’agira donc seulement de déterminer le premier chiffre décimal de cette seule racine. Avant de procéder à cette détermination, indiquons le moyen de calculer les coefficiens de l’équation en z, par le moyen de ceux de l'équation en æ.

Or, la substitution de aL£ dans (1), nous donnera une équation de la forme (I)

oz G'a Fa LE'z8+ D'a Cat ÆD'z + A2,

EQU pour laquelle nous aurons, en effectuant le calcul des coefficiens,

l'O —1+Ha +Gat +Ta +Loi +Daÿ +Ca6 +Bal+ Aa H' — H+2Ga-+3Fa? +4Ea +5Dai +6Ca5 +7Baô +8Aa7 G'— G+3Fa+6Ea? -10Da3 +15Ca4+91 Bas +28 Aa8

F' — F+4Ea+10Da2+20Ca +35Bai+56 105

E' — E+5Da+15Ca?+35Baÿ+70aA

D'— D+6Ca+21Ba2+51Aa

C' — C+7Ba+98Aa?

B' — B+8Aa