A°—=PA

48. Construisons par le moyen de ces formules l'équation en %, résultante de la substitution de 3 + z, à la place de æ dans l'équation

D — hr Ga — 22 — 5x —4—=0,

dont nous savons que la racine réelle a 3 pour partie entière.

Nous avons, en comparant avec (I) et (HIT),

La proposée n'étant que du cinquième degré, il faut retrancher des formules générales toutes les parties qui contiennent À, B et C. Substituant ces valeurs dans les formules (IIT), nous trouverons, en faisant 4a—=3,

F4 —48 + go—+46

L'équation en z est donc

25 riz +462 +887 +64z—10—0;

et, d’après la règle de Descartes, elle ne peut avoir plus d’une racine positive, laquelle est visiblement comprise entre o et 1, car en faisant z — 0, il vient un résultat négatif — 10, tandis qu’en faisant 3= 1, le résultat est positif.

Pour trouver maintenant le premier chiffre décimal de cette racine, rendons les racines de l'équation en z, dix fois plus grandes; par ce moyen, le premier chiffre décimal cherché deviendra le chiffre des entiers de la racine, et nous pourrons l’obtenir par la substitution des nombres entiers 0, 1, 2, etc., jusqu’à 10, s'il est besoin.

La transformation n’exige d'autre peine que celle d'écrire des zéros (n° 31), ct l'équation devient

ÉQU

Les substitutions donnent

Pour 3 —= 0; — 1000000 z—=1;, — 267289 Z2—=32;, + 670563.

Ainsila valeur entière de x'est 1, et par conséquent la valeur cherchée de z est 0,1. Celle de æ est donc 3,1, à moins d’un dixième près.

Le même procédé appliqué à l'équation en z' pourrait faire trouver le premier chiffre décimal de sa racine, ce qui donnerait les deux premières décimales de æ, et ainsi de suite, mais il est beaucoup plus prompt d’employer le procédé de Newton, surtout tel qu’il a été modifié par Raphson. (Voy. APPRoxIMATION , tom. I.) Nous examinerons plus loin quelques autres modifications, qui peuvent rendre ce procédé moins laborieux.

49. Le procédé que nous venons d’exposer offre le moyen direct de séparer les racines comprises entre les deux mêmes nombres entiers successifs. Si l’on avait trouvé, par exemple, qu’une équation X—0, renferme deux racines entre 6 et 7, on y ferait X—6+ 2, et l’équation résultante en 7, Z — 0, aurait nécessairement deux racines réelles comprises entre o et 1; multipliant par 10 les racines de cette dernière, la transformée en z', L'—0, aurait, par conséquent, deux racines réelles comprises entre o et 10, et dont les substitutions feraient connaître les parties entières ; en admettant que ces parties soient 4 et #, les racines de Z seraient o, 4 eto, 7 àun dixième près, et l’on aurait pour les racines cherchées de X—0, 6, 4 et 6, 7, à moins d’un dixième près. Dans le cas où les deux racines de Z'=— 0, seraient comprises entre les deux mêmes nombres, les racines de X — 0, auraient non seulement la même partie entière, mais encore le même premier chiffre décimal, et il faudrait opérer sur l'équation Z— 0 comme on l'aurait fait sur l'équation X—0; on parviendrait ainsi à la connaissance des seconds chiffres décimaux des racines cherchées, et ainsi de même jusqu’à ce qu’on ait séparé les deux racines.

S'il y avait primitivement trois, ou un plus grand nombre de racines comprises entre les deux mêmes nombres entiers, l'équation en z, aurait le même nombre de racines réelles comprises entre 0 et 1, et celle en z, le même nombre de racines réelles comprises entre O et 10.

50. Nous n’ayons considéré jusqu'ici que des équations dont la partie entière des racines était exprimée par un seul chiffre, ce qui nous a permis de la déter- W miner au moyen d’un petit nombre de substitutions; | mais si cette partie entière était exprimée par deux ou » un plus grand nombre de chiffres, quoique les procéf dés indiqués soient sudisans pour Ja faire découvrir,

| Tom, 11.

ÉQU 121 les calculs pourraient devenir d’une longueur rebutante, ce que l’on peut toujours éviter par de faciles transformations. Soit, par exemple, l'équation

xt — 1802! — 13004? — 18000% — 140000 = 0;

les signes nous indiquant qu'il ne peut y avoir qu’une seule racine positive, procédons d’abord à la recherche des racines négatives, en changeant, pour plus de facilité, le signe des racines. La proposée devient alors

et, en comparant avec les formules (1) et (11), nous ayons

G——15300, H——+18000, I=— 140000; d’où

Opérant sur ces différences, nous aurons

Difr. 4e.[Diff, 3e.]Diff. ae.] Diff.ire. Résultats.

æ—0] 24 |1116|—1506|+16881|—140000 æ— 1} 24 |+a1140]— 5go|+15355|—125119 æ — 24 |H1164/+ 750!+14985|—107744 æ—3| 94 |+1188|Li1914|+15735|— 92759 æ—4| 924 |<1212|15102| 17649 — 77024 æ—5] 924 |+1236|14514|+20751|— 59575 æ—6| 24 |+1260!+5550|L25065|— 38644 æ—7| 24 |+1284/+6810|+30615|— 13559 æ = 24 |1308|+-8094[+-37425|+ 17056

Nous découvrons donc une racine entre 7 et 8, et la marche régulièrement décroissante des résultats ne nous indique aucun couple de racines compris entre les nombres précédens, de sorte que nous pouvons supposer ou que la proposée a trois racines négatives comprises entre— 7et—8, ou qu’elle n’a qu’une seule racine négative et deux imaginaires. Cherchons maintenant la racine positive qu’elle doit nécessairement avoir.

En procédant sur l'équation

xt — 1807 — 13002 — 180007 — 140000 —=0,

comme nous venons de le faire sur sa transformée, non

seulement les dix premières substitutions n’amènent au-

cun changement de signes dans Jes résultats, mais la

122 ÉQU

marche des différences montre qu’on ne peut en espérer qu'après plus d’une centaine de substitutions. Pouvant supposer ainsi que la partie entière de la racine est comprise entre 100 et 1000, ce serait le cas de chercher la plus petite limite supérieure des racines positives; cependant, ne voulant point ici avoir recours à ce moyen, observons qu’on peut rendre les racines de la proposée 100 fois plus petites, en y faisant æ— 100Z, transformation très-facile à effectuer, puisqu'elle se réduit à diviser chaque coefficient par la puissance de 100 dont l’exposant est le nombre des termes qui le pré-

cèdent. (Voy. Transrorwarion, tome II.) Il n’y a donc.

en réalité que des virgules à écrire, et la proposée devient

dont les racines, multipliées par 100, seront les valeurs de æ. Ainsi, les parties entières des racines z seront les centaines des racines x.

Si l’on avait pu supposer que la valeur de æ fût entre 10 et 100, on aurait fait seulement 4— 107; comme on aurait fait æ—1000%, si l’on avait supposé qu’elle fût entre 1000 et 10000.

Appliquant à cette transformée les règles enseignées, nous aurons

et, par suite,

Diff. 4e.| Diff. 36, [ Diff.20. | Diff. tre,

Résultats.

0] 24 |+Lob,2lL

Après avoir trouvé la partie entière 1 de la racine FA nous pourrons obtenir son premier chiffre décimal, et même son second et son troisième, par les opérations indiquées au n° 47. Ces calculs donnent 3— 1,89, et par conséquent æ—100%— 18%, à moins d’une unité près. Dans tous les cas, lorsque la racine x est connue

ae L à: Prés; On peut achever de la déterminer par la mé-

thode de Newton; puis, en la multipliant par 10, 100 Ou 1000, Suivant qu’on a fait #—10%, — 1007, — 1000%, on obtient la valeur de +.

Les deux racines réelles de ‘la proposée ont donc Pour parties entières — 9 et + 187. On peut s'assurer,

ÉQU par le théorème de M. Sturm, que les deux autres racines sont imaginaires.

51. Ce qui précède renferme l’ensemble des procédés nécessaires pour obtenir la valeur approchée, à moins d’un dixième, des racines de toute équation numérique, par la méthode des substitutions; une fois cette valeur trouvée, on peut ensuite lui donner à volonté tous les degrés d’approximation par le procédé de Newton, dont nous allons rappeler le principe, afin de pouvoir lui appliquer une modification très-utile dans tous les cas où l’on peut se contenter de 3 à 4 décimales.

a étant la valeur approchée de la racine, on substitue dans la proposée a x à la place de æ, et l’on parvient à une équation en z

0—=M+Nz+Pz+Qz tete,

dans laquelle on néglige tous les termes affectés des puissances de z supérieures à la première, on a simplement alors

o—M-ENz,

d’où l’on tire une valeur approchée de z

Or, il est évident que l’erreur serait moins grande si, au lieu de prendre l’équation approximative

on prenait cette autre o—=M+Nz+Pa;

mais il faudrait résoudre une équation du second degré, et il est important de ne pas compliquer la suite des calculs par des extractions de racines carrées qui deviendraient de plus en plus laborieuses. Voici le moyen très-simple employé par Halley pour éviter ces extractions et abaisser la seconde équation au premier degré, sans erreur sensible. Prenons la valeur de z dans la pre-

te et substituons-la

mière équation, savoir : N

comme il suit dans la seconde M —MLN:—P N”

nous aurons, en résolvant cette dernière... (LV)

is MN *= MPNN,

valeur facile à calculer, et nécessairement plus appro- |

AE .M chée de la véritable que — x

ÉQU La question consiste donc à obtenir les trois premiers coefliciens de la transformée en 3, ce qu’on peut toujours faire aisément par les formules (LIL), car la proposée étant représentée par

0 = 1+ Hz + Ga? + Frs + Ext + Das + C26 + Bz7 + etc. on a

M=—I +Ha +Ga + Fa +D& +Cat +etc, N — H+926Ga + 3Fa? + 4Ea3 + 5Da% + 6Caÿ +7Baë + etc.

P = G+3Fa + 6Ea2 + 10Das + 15Caf + 21Ba$ + 28A06 + etc,

+ Eat

expressions dont la loi des coefficiens numériques est évidente, et qu’on peut, par conséquent, prolonger à volonté.

Prenons, par exemple, l'équation

dont nous avons trouvé ci-dessus (n° 52) que la racine = 1 réelle est 2,4 à moins de st) nous aurons, en NOUS ar-

rêtant au coefficient F des formules précédentes,

et, par suite,

Substituant ces valeurs dans la formule (IV), il viendra

— 0,016 X 11,08 z— FFM RUE —0,00144 Ajoutant cette valeur de z à 3,4, on a æ—2,40144, valeur exacte, jusqu’à la dernière décimale.

Il ne faut pas s'attendre qu’on obtiendra dans tous les cas 5 décimales exactes; la grande approximation qu’on rencontre ici vient de ce que la partie 2,4 de la racine est déjà une valeur approchée à moins de 0,001. Cette racine est la racine négative de l'équation du quatrième degré, résolue par les fonctions trigonométriques n° 18. Dans tous les cas, en se bornant à 3 décimales, et en recommençant les calculs avec cette

| première valeur de x, on obtiendra au moins six ou | sept décimales exactes; une troisième opération en

donnera treize ou quatorze, et ainsi de suite. Appliquons encore cette formule à l'équation

dont nous avons trouvé ci-dessus la racine positive égale

ÉQU 123

à 1,8, à moins de o,1. Comparant avec les formules générales, nous avons

Substituant les dernières valeurs dans la formule (IV) dont nous désignerons la variable par z', pour éviter toute confusion, il vient

Fou Pptp EEE. € Eu == 8 ET 0,455) X 059) — C4 7?

d'où z—1,8—+ 0,078 — 1,878. Si nous faisons maintenant z—1,878—y, nous obtiendrons une transformée en y, dont la racine, calculée par la formule (IV), sera y——0,003321 ; d'où z—1,878— 0,009321 = 1,874679, valeur exacte jusqu’à la dernière décimale. Cette valeur de z étant la’ centième partie de la racine de l'équation en'x du n° 50, nous avons donc; pour cette dernière, æ—187,4679.

52. Théorème de M. Budan. Si l’on transforme une équation numérique

—= a+ bg + ca? + dat +etc.

en une autre équivalente o=a 0 (x—p) +c(æ—p) +4d'(&—p)"+ ete,

? étant un nombre entier, il existera entre les coefficiens a’, b', c',etc., et ceux de l’équation primitive plusieurs relations importantes qui conduisent au théorème suivant :

Si une équation en x a n racines réelles comprises entre o et Le nombre p, elle aura au moins n variations designes de plus que sa transformée en x—p, lorsque p est positi je et au moins n variations de moins, lorsque p est négatif.

Quoique ce théorème nie soit pas sufisant pour faire découvrir immédiatement les limites de chacune des racines réelles, parce que, ainsi que l'ont fait observer Lagrange et Legendre dans leur rapport à l'Institut , il indique seulement qu’il peut y avoir, mais non qu'il doive y avoir autant de racines comprises entre 0 etp, que l’équation a de variations en plus ou en moins que sa transformée en æ—p, sa facile application le rend utile pour diriger les tâtonnemens, lorsqu'on veut éviter les calculs souvent très-pénibles que nécessite le théorème de Sturm, dont la découverte est d’ailleurs postérieure à la sienne, Deux exemples suffiront pour montrer Je parti qu'on peut en tirer,

12% ÉQU

En traitant ci-dessus (32) l'équation at at +13x—22—0,

nous avons reconnu que dans le cas où ses trois racines seraient réelles, il devait y en avoir deux de comprises entre 0 et 1; et pour décider la question, nous avons eu recours plus loin au théorème de M. Sturm (40) ; or, en formant l'équation en æ— 1, on trouve

qui offre tout autant de variations que la proposée; d'où il résulte, d’après le théorème de M. Budan, qu'il ne saurait ÿ avoir deux racines réelles comprises entre o et1, et, par conséquent, que les deux autres racinesde la proposée sont imaginaires.

L'équation

dont nous avons découvert, par des substitutions, deux racines comprises entre o et 1, a pour transformée en T— 1

quine présente qu'une variation, tandis que la proposée en a trois; il est donc très-probable, d’après cette circonstance, qu’il existe deux racines entre o et 1. Dans ce dernier cas, le théorème engage à des recherches ultérieures; dans le premier, il prouve qu’elles sont inutiles.

53. Le calcul des équations transformées est si simple, que M. Budan l’a pris pour base d’une nouvelle méthode de résolution des équations numériques, recommandée pour l’enseignement élémentaire par le conseil de l'Université. Nous allons en donner une idée, en l'appliquant, comme point de comparaison, à quelques-unes des équations traitées ci-dessus par la méthode des substitutions.

Enseignons d’abord le moyen de passer des cocfficiens d’une équation en æ à ceux de sa première transformée en æ—1. Après avoir écrit les premiers sur une mème ligne, en commençant par celui du terme qui contient la plus haute puissance de +, et qu’on nomme ordinairement le premier terme, on prend les sommes successives de 1, de 2, de 5, ctc., de ces coefMiciens, jusqu’à leur somme totaie, ce qui forme une seconde ligne de nombres dont chacun représente la somme du nombre correspondant de la première ligne, avec tous ceux qui le précèdent. Par exemple, pour l'équation précédente du troisième degré, on aura

Cocficiens. ; 4 1415 — 909 Sommes LT, à AD 10 ee 295

ÉQU opérant ensuite sur la seconde ligne comme on l’a fait

sur la première, mais sans tenir compte du dernier nombre — 22, on obtient

Sommes ames, 1—9 + 8;

celle-ci, traitée de la même manitre, donne, toujours sans tenir compte du dernier nombre,

Sommes 3més, 1 — 1;

Lé

et enfin la dernière somme, ou la somme 4°, est simplement 1. L'ensemble du calcul est ainsi :

Coefliciens. .

Sommes 116, 1-— 3 +10 — 22

Sommes 2m6s, Sommes 3mes,

Sommes 4mes, 1.

Les derniers chiffres de chaque ligne sont les coeficiens de la transformée en æ— 1, savoir : celui de la dernière ligne, le coefliçient du premier terme, celui de l'avant dernitre, le coeflicient du second terme, et ainsi de suite.

Lorsque l'équation n'est pas complète, il faut remplacer les coefficiens des termes qui manquent par 0; ainsi, pour l’équation ci-dessus du quatrième degré, on a:

Coefliciens., . 1 + 0 — 12 + 12 — 3

1Hi—i1i+i—2 12 — 9 —8.

Sommes 3me8, 1 +3 —6

Sommes 4mes, 1+4

Sommes 5mes, 1,

Sommes 1re8,

Sommes 265,

ce qui donne pour les coefficiens de la transformée en DT— 1,1, +4, —6,—8,— 2.

Cette détermination des coefliciens de la transformée en æ— 1, repose sur les propriétés des polynomes dérivés. M. Budan en a fait l’objet de la proposition suivante :

Un polynome quelconque , procédant suivant les puissances entières et positives d’une quantité x, depuis le degré m jusqu'au degré o, se transforme en un autre polynome d'éqale valeur, procédant suivant les mêmes puissances de (x—1) dont les coefficiens respectifs, à commencer par celui du dernier terme, sont :

1° La somme première de tous les coefficiens dupolynome donné;

2° La somme seconde de tous les coefficiens, hormis le dernier ;

ÉQU

3° La somme troisième de ces coefficiens, excepté les deux derniers, et ainsi de suite.

La règle est nécessairement la mème pour passer du polynome en æ— 1 au polynome en æ—2, de celui-ci au polynome en æ-—3, et ainsi de suite. Par exemple, ayant

Équatiou entr. + at + 0x — 192? + 19x — 3 —0,

Équation eu (aies (x—1)t + 4(2—1 D —6(a—i J—8(x— 1)—2—0;,

on obtiendra l'équation en (æ—2) en formant les sommes des coeficiens d’après la règle indiquée,

1H5—1—9—11 1+6+5—4 up 12

Sommes 5mes 1,

Coefliciens. . .

Sommes 1res, Sommes 2mes, Sommes 3mes,

Sommes 4mes,

Cette équation est donc (x—2)i28 (x—92)" +19 (x—0) —{4(x—2) —11=0.

Ceci posé, il est facile de comprendre son application à la recherche de la partie entière des racines réelles d'une équation. Voici le principe fondamental de la méthode.

Étant donnée une équation en x du degrém, on se procurera ses transformées successives en (x—1), (x—2), (x—3), et ainsi de suite, jusqu'à cequ'on parvienne à une transformée en (x—p}) dont les coefficiens soient tous de même signe. è

Cette dernière transformée ne pouvant point avoir de racine positive (d’après la règle de Descartes), le nombre entier p est une limite de la plus grande valeur positive de l'inconnue.

Lorsque le dernier coefficient d'une transformée en (x—m) est de signe contraire au dernier coefficient de la transformée suivante en (x—m—1}), la proposée a une ou plusieurs racines en nombre impair dont la valeur est comprise entre m et m1.

Cette dernière proposition est une conséquence de la construction des coeliciens, car il est évident que le dernier coeficient d’une transformée en æ—p, p étant un nombre entier positif quelconque, est égal au résultat qu’on obtiendrait en substituant dans la proposée p à la place de +.

On ne peut découvrir par ce procédé que les racines positives d’une équation; mais en changeant le signe des racines, il devient applicable aux racines négatives

Soit, pour premier exemple, l'équation

Dh 190 +- 19% —3—=0,

EQU 125 nous aurons, en cherchant d’abord les racines positives :

Cocficiens des équations :

CR To ie Pole telle 1 + O—19—L19— 3 1+ 4— 6— 8— 2 1 8—Li2— h— 11

Tous les coefficiens de la transformée en æ—53 étant positifs, on doit en conclure qu’il n’y a pas de racines positives au-dessus de 3; de plus, le changement de signe des deux derniers coefficiens — 11 et + 16, annonce qu'il existe au moins une racine réelleentre 2 et 3;

en (ti). « « en(æ—2). + . .

cu (x— 3). ele

et enfin la perte de deux variations dans le passage de æ à æ— 1 indique qu’il peut y avoir deux racines comprises entre o et 1, ce que fait soupçonner d’ailleurs la marche des derniers coefficiens —3,—2,—11, d’après la proposition du n° 22, puisque ces coefliciens sont identiques avec les résultats des substitutions, dans la proposée, des nombres 0, 1, 2 et 3. | Changeant les signes des puissances impaires de æ, pour chercherles racinesnégatives,la proposée deviendra

et en procédant comme ci-dessus, on obtiendra Coefficiens des équations :

Il existe donc une racine entre 3 et 4, c’est-à-dire que la proposée a uneracine négative entre — 3 et— 4. Les variations de signes montrent que cette racine est seule, car il n’y a qu’une seule variation perdue dans Je passage de æ à æ—4,.

Pour découvrir les deuxracines probables entre o et 1, nous poserons équation en z

EN T—=—X + « en(t—1).. + .

en (T—2).. : « en(z—3). . . .

en(z—#4). « .

10Z —= %, ce quinous donnera une

dont les racines sont 10 fois plus grandes que celles de l'équation en x; en lui appliquant la méthode, il viendra

Cocflieiens des équations :

ent + +... .« 1 0—1200-12000—50000

en (z—1).

En (Z2—2). + «

en (z—3). : 1—19— 1146 G908— 4719 en (z—4). - 1—16— 1104 + 2646— 954 en (2—5). . 1 20—1050+ 490 605 en (eG) I 042008 PNG ENEM6E em(z-gh ee 1—+28— 0906— 5458— 2459

L'équation en x, a donc deux racines comprises l’une entre 4 et 5, et l’autre entre 6 et 7; d’où il résulte que les racines cherchées sont zæ— 0,4, et æ —0,6, à moins d’un dixième près. C’est ce que nous avions trouvé précédemment.

Soit encore, pour exemple, l'équation du n° 46

D — Gt Æ Ya — 00 — 5x —4= 0; Coefficiens des équations :

EH Les see

enfr—1} : . 1H 1— 2— 4— 8— 10 en(æ—2). . - 1—+ 6H 1294 6G— 13— 29 en(z—3). . . 1—+11+ 46+ 88 64— 10 en(x—4) : « 1416100302 427200

La transformée en æ—{4 ayant deux variations de moins que la proposée; on pourrait supposer qu'il y a deux racines comprises entre o et 4, mais ilne peut y en avoir qu'un nombre impair entre 3 et 4, indiqué par le changement de signes; ainsi il n’existe qu’une seule racine positive entre ces limites, et comme on sait, en outre, que deux résultats de même signe ne peuvent comprendre qu’un nombre pair de racines, on voit que la marche irrégulière des résultats—/4,—10,—22,—10, accuse seulement l'existence d’un nombre pair de racines imaginaires.

Coeflciens des équatioos :

144 44 2— 54 4 1+9—+ 30 +48 EL 32 HLaio

CUT —= — Le «

en(t—i) + «

Ce dernier résultat prouve que la proposée n’a pas de racines négatives au-delà de — 1, et nous présente un cas où le théorème est en défaut, car la transformée enæ— 1 a deux permanences de plus que l'équation en æ, ce qui annoncerait deux racines comprises entre o et 1, qui n'existent pas.

54. On voit, d’après ces exemples, que la méthode de M. Budan donne la détermination de la partie entière des racines incommensurables avec une extrême facilité, puisqu’elle n’exige d’autres opérations arithmétiques que l'addition et la soustraction ; cependant comme, à part le calcul des différences (45), qui n'est jamais bien pénible, la méthode des substitutions se réduit pareillement à des additions et des soustractions, dont le nombre est toujours beaucoup moindre que dans la méthode de M. Budan, cette dernière lui est inférieure sous le rapport de la promptitude, surtout lorsque le degré des équations est élevé, que leurs coefficiens sont de grands nombres, et qu’il est nécessaire de construire neuf à dix transformées.

M. Budan applique encore son procédé à la détermination approchée de la partie dés racines incommen-

ÉQU

surables plus petites que l’unité, mais nous ne pouvons entrer dans les développemens qui seraient indispensables pour l'intelligence des opérations, et nous devons renvoyer à son ouvrage (Nouvelle Méthode pour la résolution des équations numériques), qui renferme plusieurs remarques très-ingénieuses, propres à faire distinguer les racines imaginaires des racines réelles dans les cas douteux.

Pour faciliter les applications de son théorème, il nous reste à montrer comment l’on peut passer d’une équation en æ à sa transformée en æ—p, sans être obligé de calculer toutes les transformées intermédiaires. Soit

0—1+ Hx + Ga? + Fri Ext etc.

une équation d’un degré quelconque; posons a—p+#y, nous obtiendrons une équation en y

0=1 + H'y+ G'y + F'y LE'yt + etc.

dont les coefliciens seront donnés par les formules (HIT) en faisant a —p; or, cette équation est la transformée

demandée, car la relation æ—p y donne y=æ—p; ainsi, écrivant æ— p à la place de y, on a

0=]l' + H'(x—p) +G'(x—p)' +etc….

Supposons, par exemple, qu'après avoir trouyé (50) que l’équation

a un nombre impair de racines comprises entre 7 et 8, on veuille en fixer le nombre exact qui peut être 1 ou 3, puisque les signes présentent trois variations; on caleulera les coefficiens de la transformée en æ — "7, à l’aide des formules (IT), puis, au moyen de ceux-ci, on calculera, par le procédé indiqué, Îles coefficiens de la transformée en æ— 8, ce qui donnera

Coefficiens des éqations. :