onr4—or

Ainsi, comme il n’y a qu’une seule variation de perdue

en (T — 7)- . à

en(æ— 8). « «

dans le passage de æ— 7 à æ —8, ou de tæ'4àæ'— 1

(z' exprimant æ—), il ne peut y avoir plus d’une racine comprise entre ? et 8. Ici, l'inspection seule de l'équation en (x — 7) montre qu’elle ne peut avoir plus d’une racine positive comprise entre o, 1, et, par conséquent, que la proposée n’en a qu’une entre s et 8, car cette équation ne présente qu’une seule variation de signe.

55. Fourier a donné, dans son Analyse deséquations, un théorème qui, bien que différent, par son énoncé, de celui de M. Budan, est identiquement le même. Si,

ÉQU

comme il le paraît, la découverte de ces théorèmes a été faite à peu près dans le même temps par ces deux géomètres, on ne peut du moins refuser la priorité de la publication à M. Budan. (Voy. les ouvrages cités.)

Voyez, dans ce Dictionnaire, pour ce qui concerne les autres procédés de la résolution des équations numériques , l'ingénieuse méthode de Bernouilli (tom. I, page 116), démontrée tom. II, page 420, et le beau développement en série des racines d’une équation dû à Euler, tom. II, page 458. Voyez aussi les articles APPROXIMATION, ÉQUATION, Limite, RACINE, et TRans- FORMATION.

ÉQUATIONS »# conprriow. ( Astronom. et Géod. ) Les tables astronomiques, comme celles des planètes et de la lune, dont la construction repose essentiellement sur la théorie de l'attraction universelle, ont acquis de nos jours un grand degré d’exactitude ; cependant, comme les principaux élémens qui entrent dans cette construction sont empruntés des observations, celles-ci, quelque parfaites qu’elles soient, ne sauraient l'être toutes que dans un cas tout-à-fait fortuit, parce qu'elles sont très-délicates à faire, même dans les circonstances les plus favorables : aussi remarque-t-on souvent entre les tables et les résultats d’un grand nombre d'observations recueillies à des époques éloignées de celle qui a servi de point de départ, de petites différences qui sont alors regardées comme exprimant les erreurs des tables. C’est ainsi qu’en déterminant, par exemple, le lieu du soleil à une époque quelconque de l’année, la longitude observée peut différer d’une seconde et plus, de la longitude calculée par les formules de la mécanique céleste. De la, la nécessité de corriger de temps à autre les élémens des tables particulières à chacun des astres; mais il est nécessaire pour cela de connaître les rapports que l’analyse mathématique établit entre eux, afin d'y avoir égard dans la recherche des corrections dont ils sont susceptibles; corrections qui doivent être faites de la manière la plus avantageuse. Cette recherche s'effectue à l’aide de la méthode des équations de condition.

D'abord, si dans l'équation qui exprime la dépendance qu'ont entre eux les élémens ou constantes À, B, C;... on remplace ces élémens respectivement par A+», By, C—z,…. (les quantitésæ, y, z,... dé signant par supposition de très-petites corrections) ; si ensuite on fait tous les développemens nécessaires, il est clair qu’en vertu de l'hypothèse, l’on pourra négliger les puissances supérieures de æ, y, z,. . . et représenter le résultat par cette équation linéaire

ac Æby+cz +... —=m.

En supposant donc que les coefficiens @,b,e,: 5:57

EQU 127 aient été donnés par une première observation, et que l'on ait eu par une seconde observation

d'a +by+czt... =m,

et ainsi de suite, en sorte que leur nombre surpasse de beaucoup celui des inconnues, il restera à les résoudre par l’un des procédés suivans.

1° L'idée qui se présente en premier lieu pour combiner ces équations successivement, de manière à en obtenir d’autres qui soient favorables à la détermination de chaque élément, c’est de les ajouter ensemble, ou de les soustraire les unes des autres, selon qu'il résultera d’autres équations où le coefficient numérique de l’erreur due à cet élément sera le plus grand possible, tandis que ceux des autres élémens jouiront de la propriété contraire. On conçoit facilement, en effet, que ce but sera atteint par ce moyen : ainsi, en appliquant le même procédé à chacun des autres élémens, on parviendra à former autant d’équations spéciales qu’il y aura d’erreurs à déterminer. Telle est , en peu de mots, la méthode dont le célèbre astronome Tobie Mayer a le premier fait usage pour perfectionner ses tables de la lune, et qu’on pourrait employer également dans toute recherche physico-mathématique, où il s’agit de représenter un grand nombre d’observations par des formules résultant d’une théorie connue.

2° Il est cependant une autre méthode non moins générale, et qui conduit d’une manière plus directe et plus sûre aux valeurs les plus probables des inconnues; c’est celle que Legendre a imaginée, et qu'il a nommée Méthode des moindres carrés, dans son Mémoire sur la Détermination de l'orbite des comètes.

Supposons toujours æ, y, z,... les corrections des élémens, et représentons par e, &', e,... les erreurs commises dans les observations successives; on aura

e = ax by cz +.

s—az+v'y+cz +...

= gx + b'y+cz +...

DC ce! 1 dottog ce

équations qui seront en même nombre que les observations, mais en plus grand nombre que les inconnues. Cela posé, si on fait la somme des carrés de toutes ceserreurs, et que pour abréger l’on désigne s?-Le'?L3E... par u; que l’on fasse a? —+ a? + … E(a°), ab + ab +... — (ab), et ainsi de suite, on aura

différentiant successivement cette expression par rap=

128 ÉQU port à æ, y, etc., et égalant chaque différentielle à zéro, l'on aura

D sub) + 2(b)x + S(bc)y.. = 0,

y = Ua) + 2e + 2(6 y. = 0:

Il résulte de là, que pour former l'équation du minimum par rapport à l’une des inconnues, il faut multiplier tous les termes de chaque équation de condition par le cocflicient de l’inconnue dans cette équation, pris avec son signe, et égaler à zéro la somme de tous ces produits. Il ne reste plus alors qu’à résoudre les équations résultantes par les moyens connus.

Cette méthode, comme l’on voit, consiste en quelque sorte à prendre le centre de gravité des observations que l’on compare, pour trouver les valeurs les plus probables ; mais Laplace a démontré par sa savante théorie des Probabilités, qu’elle est en outre la plus avantageuse entre toutes celles que l’on pourrait proposer; ainsi, sous ce rapport, elle mérite la préférence sur celle de Mayer, malgré la longueur des calculs numériques dans lesquels elle entraine, et dont il est impossible de s'affranchir entièrement quand le nombre des équations de condition est un peu grand.

L'application suivante, choisie en géodésie, indiquera suffisamment au lecteur la marche qu’il y aurait à suivre dans d’autres cas.

Il a été démontré, au motRecriricarion (Supplément), que les longueurs M, M(, M, M° des degrés des méridiens, croissent à très-peu près comme les carrés des sinus des latitudes }, x, X°, °, correspondant respectivement à leurs milieux; si donc e, el'), &°), «, expriment les erreurs dont ces mesures peuvent ètre affectées, l’on aura ces quatre équations de condition (1):

à M —2z—ysinn —e MO 3 — y sin — MO — 5 —ysinn® — 0

(3 . (3) M — z — ysin’}? sh,

dans lesquelles