EXC

et enfin ne . 1 midi vrai, M = m— = dP.

Ainsi, en retranchant du midi approché la quantité 1 , . 3. . L à = dP trouvée ci-dessus, ou l'équation des hauteurs cor-

respondantes, on a le midi vrai, lequel sera d’autant mieux connu, que l’on aura pu recueillir le même jour vers neuf heures du matin et trois heures du soir un plus grand nombre d'observations de ce genre.

On remarquera que la variation dD est le changement en déclinaison pendant l'intervalle des deux observations correspondantes, variation qu’il est facile d’éva= luer, puisque la Connaissance des temps la donne pour 24". On la prendra positivement lorsque le soleil montera vers le zénith, et négativement dans le cascontraire. De plus, si D est australe, tang D sera négative. Dans tous les cas, l'angle horaire P sera, en temps, la différence du midi approché à la première observation. Ce calcul, qui s'effectue à l’aide des logarithmes à 5 décimales, est trop simple pour nous y arrêter; mais il faut faire bien attention au jeu des signes algébriques. Delambre a donné, pour abréger l'opération, une table des facteurs de dD. (Astron., tome I, p. 576.)

L'observation de deux passages consécutifs du soleil au méridien fait connaître l'avance ou le retard de la pendule en 24" de temps vrai, et par suite en 24" de temps moyen. (Voyez ces mots.)

(M. Puissant.)

ÉQUILIBRE. ( Stat.) Lorsque plusieurs forces agissant sur un même corps matériel se détruisent de manière que leurs actions simultanées ne communiquent aucun mouvement au corps, on dit que ces forces se font équilibre ou qu’elles sont en équilibre. Les lois de l'équilibre des forces forment l’objet de la Srarique , l’une des deux branches fondamentales de la MÉcaxIQuE (tome IT, page 217).

Les limites qui nous étaient imposées pour nos deux premiers volumes nous ayant à peine permis d'indiquer les propositions principales de la statique, nous avons dû lui consacrer dans ce supplément une suite d'articles liés entre eux par des renvois. Ainsi, tout ce qui concerne la nature et la mesure des forces se trouve aux mots FORGE, QUANTITÉ DE MOUVEMENT, QUANTITÉ D'ACTION ; ce qui a rapport à leur composition est traité au mot Résucranre ; et Les lois de leur équilibre sont exposées aux mots Momexs et VITESSES VIRTUELLES.

EXCENTRIQUE. Voyez COURDES EXCENTRIQUES.

EXCÈS SPHÉRIQUE. ( Géod.) Les triangles que

l'on forme sur Ja terre, dans les opérations qui ont /

pour objet la mesure d’un arc de méridien, ou le levé géométrique d’une contrée, ne peuvent, à cause de la longueur de leurs côtés, être considérés comme rectilignes; car ces côtés, en tant que la terre est sphérique, sont des arcs de grands cercles compris entre leurs extrémités. Ainsi, dans ce cas, la somme des trois angles horizontaux de chaque triangle surpasse deux angles droits de plusieurs secondes, abstraction faite toutefois des erreurs d'observation. C’est cette petite différence, due à la courbure du globe, qu'on nomme excès sphérique. On SPHÉROÏDIQUE un exemple du calcul de cet excès, et son

verra à l’article TRIGONOMÉTRIE

usage pour évaluer l'erreur commise dans la mesure des trois angles d’un grand triangle.

(M. Puissant.)

EXTRACTION DES RACINES. ( 4/9. ) La théorie et le procédé de l'extraction des racines, la plus laborieuse des six opérations arithmétiques élémentaires, sont exposés dans le premier volume, page 574; nous ferons seulement connaître ici quelques méthodes approximatives , capables de faire obtenir les racines des quantités irrationnelles avec un plus grand nombre de décimales exactes que n’en peut donner l'emploi des tables ordinaires des logarithmes.

La plus directe de ces méthodes consiste dans les développemens en séries pareillement enseignés tome I, page 579. On a pu voir que de tels développemens expriment la valeur exacte de la racine, par la totalité de leurs termes, et qu’il est ainsi possible d'approcher indéfiniment de cette valeur en prenant un nombre de termes de plus en plus grand. Mais la sommation des termes d’une série entraîne souvent des calculs prolixes qui, lorqu’elle est très-peu convergente ; ne sont guère’ moins laborieux que le procédé élémentaire, déjà si pénible pour les racines du troisième degré; et l’on a dû chercher les moyens d’obtenir une approximation plus facile et surtout plus prompte. Le procédé suivant est dû à Halley, qui l’a fait connaître dans les Transactions philosophiques de 1694 ; il ramène toutes les extractions de racines à celle d’une racine carrée.

Soit N, un nombre entier ou fractionnaire , dont il s’agit d'extraire la racine du degré m; désignons par a la racine m"° de la plus grande puissance m"° contenue dans N, ou de la puissance m"° immédiatement plus grande que N , de manière qu’en désignant par b la différence entre N et 4® on ait

ni m m m

VAN = Va + b où UN = V/a" — b.

Par exemple, si l’on avait N — 30 et m— 2, comme le plus grand carré contenu dans 30 est celui de 5, et

EXT que le carré immédiatement au-dessus de 30 est celui de 6, on aurait :

V/30 = 1/25 L 5 ou 1/30 — 1/36 — 6.

Nous poserons généralement

mi m

VN =V/a E b

en considérant be comme pouvant être positif ou négatif, suivant la facilité qui peut en résulter pour les calculs. Ceci posé, nous avons pour les diverses valeurs de l'exposant m, plus grandes que 2

Va+0 lat

je tvfe Ge Ven = pets |,

Re

Va +0 =ga+v|3

+0 Sa +] + ce etc. — etc.

et, en général

et] (m1) m(m a Pour montrer l'application de ces formules, proposons-nous de trouver avec 10 décimales la racine quatrième de 17.

Le premier point est de se procurer une valeur ap-

prochée de la racine, ce qui esttoujours facile au moyen

des logarithmes. Ainsi, le logarithme de 17 étant 1, 2504489, son quart est 0, 5076192, et le nombre

correspondant à ce quart, valeur approchée de V/17; est 2,030, Faisons a — 2,05, et élevons 2,05 à la quatrième puissance, nous trouverons

ce qui nous donnera, à cause de a* +b=—17

substituant ces valeurs dans la formule des racines quatrièmes , il viendra

0, eee |

3 = (250%) +vf (1209) + GT 1209]

er =

EXT Or,