ER LE

PR 007 Ho Vogue pates ajoutant ces deux nombres, nous aurons pour la quantité comprise sous le radical

0, 4586 1318 5069 5020 7748 , dont la racine carrée est 0, 6772 0985 15;

ajoutant enfin à cette dernière quantité i (2,03)—1, 3533 5335 35, nous aurons définitivement

valeur exacte jusqu’à la dernière décimale. Si nous avions pris la première valeur approchée de la racine avec 5 ou 6 décimales, nous aurions pu en obtenir 18 ou 20 par ce procédé, et ainsi de suite.

Quelque facile que soit l’extraction d’une racine carrée, la nécessité d'exprimer la quantité radicale par un nombre de chiffres à peu près double de celui qu’on veut avoir à la racine rend le procédé de Halley très-laborieux, et nous pensons qu’on pourrait le remplacer avantageusement par une application de la méthode de Newton pour les racines des équations (voyez Ar- PROXIMATION tom. I), en modifiant cette méthode comme nous allons le faire.

Soit toujours N un nombre quelconque et a sa raeine approchée de manière que 3 exprimant une fraction, on ait

d'où N=— (a+ 2).

Développant le binome, nous aurons

N— a" ma"= ee,

D mi # +ete.,

ce qui nous donnera l'équation

m(m— DA

02 (a — N) + me" UE a RE co

Négligeant tous les termes affectés des puissances de 7, supérieures à la première, il viendra simplement.

04 —N—+ma 3%; d’où

N pu. a Mn 10?

et, par conséquent, . « . (1)

Appliquons d’abord cette formule à la racine carrée de 2, en prenant pour première valeur approchée 4 — 1,4; nous aurons