HUE

valeur exacte jusqu’à la quatrième décimale. Prenons maintenant & — 1, 414, la formule nous donnera

DR ST tar

valeur exacte jusqu’à la septième décimale. En posant a = 1, 414 2155, une nouvelle application de la formule donnerait seize décimales exactes.

= Évaluons maintenant |/17, afin de comparer cette méthode avec celle de Halley, et prenons, comme cidessus, 4 — 2, 03, nous aurons

ai — 16,98181681; a — 8,505427,

et par suite

V17= = 2,03 Dr:

= RC

dont les six décimales sont exactes. En faisant a = 2, 0305, une nouvelle opération donnerait dix décimales exactes, comme on pourrait en obtenir quatorze en prenant a = 2, 050 543. Ge procédé est si facile dans son exécution, qu’à défaut de tables des logarithmes, on doit le préférer à tous les autres, même lorsqu'on peut se contenter de 5 ou 4 déeimales. Soit, par exemple, à trouver la racine cubique de 325 , à moins d’un millième prés; sa valeur entière étant entre 6 et»,

mais beaucoup plus près de 7 que de 6, car 6° = 216

132 EXT et 5 — 545, nous ferons a— 7, et comparant avec la

formule (1) nous aurons

Le calcul ne pouvant fournir généralement que le double des chiffres exacts pris pour première valeur approchée, nous ferons maintenant a —6,8 , et la formule nous donnera

FACTORIELLES. (Alg.) L'évaluation numérique des factorielles à exposans fractionnairesest un des points principaux de la théorie de ces fonctions que nous n’a- Yons pu qu'indiquer tom. 1, page #, en donnant leur développement général. Nous allons exposer ici, outre les moyens ingénieux découverts per Kramp, pour n’obtenir que des développemens convergens , plusieurs procédés particuliers au moyen desquels on peut calculer très-promptement les valeurs des factorielles , lorsque leurs bases sont liées par certaines conditions avec la base d’une autre factorielle dont la valeur est connue.

1. Nous avons démontré qu’on a généralement , m et n étant des nombres réels quelconques,

(a) au (a+ (m—1}r)"!—"

a" = (a—(m—i)r}mie (2)... ge Eee a (a mr) pen: (a+nr)"!",

mr mile

ACC

(Voyez Facrontezces, tome II.) De plus, comme conséquences immédiates de l’ex=

pression (5), et à cause de «°"—1,

"mel 125 1

(a— mr)"

cette dernière expression fournit les huit transformaa

valeur dont toutes les décimales sont exactes. Si l’on voulait connaître ultérieurement cette même racine avec 5 décimales, il serait inutile de faire a — 6, 855, car en prenant seulement a— 6, 87 on obtiendrait,

par le même procédé 38 = 6,85534. Pour se borner aux calculs strictement nécessaires, on ne doit prendre dans les valeurs approchées qu’un nombre de chiffres moitié de celui qu’on veut obtenir, comme on doit s'arrêter dans les divisions, dès que le nombre des chiffres du quotient est le double de celui des chiffres de la valeur approchée qu’on a employée. Dans certains cas la division peut fournir une décimale exacte, et même deux de plus querce nombre; mais dans le doute on fera toujours bien de n’en pas tenir compte.

FAC tions suivantes, par le passage des accroissemens positifs aux accroissemens négatifs, en faisant varier les signes de metder

mi animal Mesetelafnt à (K5) bac & 7 (am (a—r)"— (Oe GR (a+mr)" TT (a+r) (5). grip onerlee ve que oies (a-mr) "" (a—r) (BE) eee

= (dm (a ne ‘à LE 2. Si nous faisons, dans la loi (2), m—n= p, nous pourrons en tirer

pæ—eir

Go. = (an) :

expression qui montre que le rapport de deux factorielles de même base et de même accroissement est rationnel toutes les fois que la différence des exposans est un nombre entier. On a, par exemple, dans le cas de p = L etm—Z.

4 ue

ne tt)

Noûs ferons observer généralement que toute fac-

torielle dont l’exposant est un nombre fractionnaire plus

une factorielle de même base et de même accroisse-

grand que l'unité peut toujours être ramenée à

ment, ayant un exposant plus petit que l'unité. Soit en effet : une fraction dans laquelle p>q, désignant par

m le quotient entier et par n le reste de la division, de manière que

1 dE IE 1e q

ou bien encore

dv il (a+) F,

Ainsi, dans le cas de ne “e il vientm—1,n—1, ct

par conséquent,

ou

al — al (a+gr).

3. Le produit de deux factorielles de même base et de même accroissement ne peut, dans aucun cas, se réduire à une seule factorielle; mais, lorsque les accroissemens sont de signes différens, on obtient une réduction très-utile dans une foule de cas. Nous avons, d’après la loi (2), . . . (a)

wlr mt

(a—mr)" —=(a—mr) . a

Or, en vertu de (1),

mile

et il est facile de voir que

(a—mr)

ic T D Een nn

Multipliant donc d'une part les deux membres de l'é-

(a— mr).

galité (a) par a, et de l’autre les divisant par (a—mr),

il viendra

(a mr) a mir mlr Dot se =) ON ES = mr

Mais

(a mr)" = (a—mr).(a—mr+r) ;

donc

Ho) ana

=a. (a—mrtr)"

2 1 Si, par exemple, m — 300 aurait,quels que soient aetr,