La factorielle à exposant pair a°"!" peut toujours
’ x 2 2 se décomposer en deux facteurs 4", (a+r)""*, dont
le premier exprime le produit des facteurs de rangs impairs
a (a+ ar) (a +-4r) (a+-6r) … (a+ (am—a)r), et dont le second exprime le produit de tous les facteurs de rangs pairs
(ar) (a+-5r) (a+-5r) (apr). (a+-(om—i)r);
ce qui est évident, et donne la relation générale
PE An m{?r,
Si l’exposant était de la forme 3m , m aurait encore
See. 2 3r miär,
(14)... a (a an" (a ar)
et ainsi de suite.
7 Nous avons vu (tome 11, page 9) qu’on peut donner à une factorielle une base ou un exposant quelconques, au moyen de ces relations que nous ne ferons que rappeler
De A 69... "= (À)
Ces deux transformations reposent en principe sur la construction
évidente par elle-même , tant que l’exposant m est un nombre entier, quels que soient les signes des quantités a,b, metr, mais qu’il n’est permis d'étendre généralement aux cas des valeurs fractionnaires de m que lorsque b est un nombre positif. En effet, b étant négatif, l'égalité (17°) prend la forme . . . (a)
Ce a = a,
abstraction faite des signes de a etder, qui n’exercent aucune influence sur la nature du facteur (—b)®, duquel dépend précisément la possibilité de cette construction. Or il est certain que l'égalité (a) ne peut avoir lieu qu’autant que son premier membre est une quantité réelle, parce que toute factorielle à base et à accroissement positifs ou négatifs est une quantité essentiellement réelle, dont on peut toujours évaluer la grandeur, comme nous le verrons plus loin; mais
le facteur (— b)", et par suite le premier membre (—b}® a"! n'est généralement une quantité réelle que lorsque l'exposant m est un nombre entier ; donc cette égalité n'est vraie généralement que pour la suite des valeurs entières positives ou négatives de m. Ainsi, s’il est permis d'étendre par induction l'égalité (17) aux valeurs fractionnaires de l'exposant #, dans le cas de b positif, il est impossible de lui accorder une semblable extension dans le cas de b négatif; de sorte qu’en faisant usage, soit de cette construction, soit de toutes les transformations qui en dérivent, il est essentiel de n’introduire ou de ne retrancher dans les bases des factorielles aucun facteur susceptible de changer les signes de ces bases; on ne peut donc généralement poser, quel que soit m, comme l'avait fait Kramp,
mais bien
ml
Si ce géomètre eût fait usage de cette dernière transformation , la seule vraie dans tous les cas, il ne serait pas tombé sur les résultats absurdes qu’il a signalés et dont nous parlerons bientôt.
8. Procédons maintenant à l’évaluation numérique des factorielles, en signalant d’abord, les relations qui existent entre celles qui ne diffèrent que par leurs bases. Nous avons, en vertu de la loi fondamentale (2), l'identité
; a” (a+mr)"” Es" (anr)"",
dont on tire l’expression générale
(a (a+nr) nr)" mbr
(18)... (a-mr)" = a ‘,
à l'aide de laquelle, connaissant la factorielle a", l’éva-
: rene luation de la factorielle (a—-mr) se réduit à des multiplications tant que m est un nombre entier. Le seul cas important étant celui de # fractionnaire, nous fe-
rons ñ — g ce qui donnera à l’expression (18) la
forme
(19)... (am)!
plus propre à faire connaître toute son impbrtance. Dans le cas, par exemple, de
factorielle dont la valeur connue est 0,886227 .…, 1 , s G ou sr r exprimant le rapport, de la circonférence
au diamètre — 3,1415926 ..., on aurait
arm (5)
mi
ml|l à V5
et comme 1m peut représenter tous les nombres
entiers en faisant successivement m—0, M—1,
m=—2, etc., cette relation suffit pour évaluer toutes les factorielles de la forme a?” dans laquelle a est un
nombre entier ; faisant donc 1+m=—a, d’où m—a—1, et observant que
ce qui nous donnera dans les cas particuliers de a — 2, a—3, a—4;"etc.
Se Sabah
a Du
gi 55.7 1 «FT
