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du hasard ou du cas fortuit; et celle-ci, comme nous allons essayer de l'expliquer, résulte de l'idée que nous nous faisons, et que nous devons nous faire, de la solidarité et de V indépendance des causes.

11 n'est pas impossible qu'un événement arrivé à la Chine ou au Japon exerce une certaine influence sur des faits qui doivent se passer à Paris ou à Londres ; mais, en général, il est bien certain que la manière dont un bourgeois de Paris arrange sa journée n'est nullement influencée par ce qui se passe actuellement dans telle ville de Chine où jamais les Européens n'ont pénétré. Il y a là comme deux petits mondes, dans chacun desquels on peut observer une chaîne de causes et d'effets qui se développent simultanément, sans avoir entre eux de connexion, et sans exercer l'un sur l'autre d'influence appréciable.

Il prend au bourgeois de Paris la fantaisie de faire une partie de campagne, et il monte sur un chemin de fer pour se rendre à sa destination. Le train éprouve un accident dont le pauvre voyageur est la victime, et la victime fortuite, car les causes qui ont amené l'accident ne tiennent pas à la présence de ce voyageur : elles auraient eu leur cours de la même manière lors même que le voyageur se serait déterminé, par suite d'autres influences, à prendre une autre route ou à attendre un autre train. Mais si l'on suppose qu'un motif de curiosité, agissant de la même manière sur un grand nombre d'individus, amène ce jour-là et à cette heure-là une affluence extraordinaire de voyageurs^, il pourra se faire que les embarras qui en résultent dans le service du chemin de fer soient la cause déterminante de l'accident. Des séries de causes et d'effets, primitivement indépendantes les unes des autres, cesseront de l'être, et il faudra reconnaître entre elles un lien étroit de solidarité.

Un homme, surpris par l'orage, se réfugie sous un arbre isolé et y est frappe de la foudre. Cet accident n'est pas purement fortuit, car la physique nous apprend que le fluide électrique a une tendance à se décharger sur les cimes des arbres comme sur toutes les pointes. Il y avait une raison pour que l'homme ignorant des principes de la physique courût à l'arbre isolé comme à un abri ; et il y en avait une autre, tirée aussi de la forme de l'arbre et de son isolement, pour que la foudre vînt le chercher précisément à cette place. Au contraire, si l'homme avait été frappé au milieu d'une prairie ou d'une forêt, l'événement serait fortuit : car il n'y aurait plus aucune liaison entre les causes qui l'ont amené sur le lieu de l'accident et celles qui font que la foudre s'y rencontre en même temps que lui.

Un homme qui ne sait pas lire prend un à un des caractères d'imprimerie entassés sans ordre. Ces caractères, dans l'ordre où il les amène, donnent le mot amitié. C'est une rencontre fortuite ou un résultat du hasard : car il n'y a nulle liaison entre les causes qui ont dirigé les doigts de cet homme, et celles qui ont fait de cet assemblage de lettres un mot des plus employés dans notre langue.

Ce n'est point parce que les événements sont rares et surprenants qu'on doit les qualifier de résultats du hasard. Au contraire, c'est parce que le hasard les amène entre beaucoup d'autres auxquels donneraient lieu des combinaisons différentes, qu'ils sont rares: et c'est parce qu'ils sont rares qu'ils nous surprennent. Quand un homme extrait, les yeux bandés, une boule d'une urne qui renferme autant de boules blan-

ches que de boules noires, l'extraction d'une boule blanche n'a rien de surprenant, tandis que le même événement nous paraîtrait surprenant si l'urne renfermait mille fois plus de boules noires que de boules blanches. Mais, dans l'un comme dans l'autre cas, l'événement est le résultat du hasard^ parce qu'il n'y a manifestement aucune liaison entre les causes qui font tomber sur telle boule les mains de l'operateur, et la couleur de cette boule.

Nous employons ici le mot de cause, conformément à l'usage ordinaire, pour désigner tout ce qui influe sur la production d'un événement, et non pas seulement pour désigner les causes proprement dites, ou les causes efficientes et vraiment actives. Ainsi, au jeu de croix ou pile. l'irrégularité de structure de la pièce projetée sera considérée comme une cause qui favorise l'apparition d'une des faces et contrarie l'apparition de l'autre : cause constante, la même à chaque coup, et dont l'influence s'étend sur toute la série des coups pris solidairement et dans leur ensemble, tandis que chaque coup est indépendant des précédents, quant à l'intensité et à la direction des forces impulsives, que l'on qualifie pour cela de causes accidentelles ou fortuites.

A cette notion du hasard s'en rattache une autre, qui est de grande conséquence en théorie comme en pratique : nous voulons parler de la. notion de l'impossibilité physique. C'est encore ici le cas de recourir à des exemples pour rendre plus saisissables les généralités abstraites.

On regarde comme physiquement impossible qu'un cône pesant se tienne en équilibre sur sa pointe ; que l'impulsion communiquée à une sphère soit précisément dirigée suivant une ligne passant par le centre, de manière à n'imprimer à la sphère aucun mouvement de rotation sur elle-même ; qu'un instrument à mesurer les angles soit exactement centré ; qu'une balance soit parfaitement juste, et ainsi de suite. Toutes ces impossibilités physiques sont de même nature, et s'expliquent à l'aide de la notion qu'on a dû se faire des rencontres fortuites et de l'indépendance des causes.

En effet, supposons qu'il s'agisse de trouver le centre d'un cercle : l'adresse de l'artiste et la précision de ses instruments assignent des limites à l'erreur qu'il peut commettre dans cette détermination. Mais, d'autre part, entre de certaines limites différentes des premières et plus resserrées, l'artiste cesse d'être guidé par ses sens et par ses instruments. La fixation du point central, dans ce champ plus ou moins rétréci, s'opère sans doute en vertu de certaines causes, mais de causes aveugles, c'est-à-dire d>- i tout à fait indépendantes' des conditions géométriques qui serviraient à déterminer ce centre sans aucune erreur, si l'on opérait avec des sens et des instruments parfaits. Il y a une infinité de points sur lesquels ces causes aveugles peuvent fixer l'instrument de l'artiste, sans qu'il y ait de raison, prise dans la nature de l'œuvre, pour que ces causes fixent l'instrument sur un point plutôt que sur un autre. La coïncidence de (a pointe de l'instrument et du véritable centre est donc un événement complètement assimilable à l'extraction d'une boule blanche par un agent aveugle, quand l'urne renferme une seule boule blanche et une infintté de boules noires. Or, un pareil événement est avec raison réputé physiquement impossible en ce sens que, bien qu'il n'implique pas contradiction, de fait il n'arrive pas; et ce:i ne veut pas dire que nous ayons besoin d'être renseignés par l'expérience pour réputer l'événement

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impossible : au contraire, l'esprit conçoit a priori la raison pour laquelle l'événement n'arrive pas, et l'expérience n'intervient que pour confirmer cette vue de l'esprit.

De même, lorsqu'une sphère est rencontrée par un corps mû dans l'espace, en vertu de causes indépendantes de la présence actuelle de cette sphère en tel lieu de l'espace, il est physiquement impossible, il n'arrive pas que, sur le nombre infini de directions dont le corps choquant est susceptible, les causes motrices lui aient précisément donné celle qui va passer par le centre de la sphère. En conséquence, on admet l'impossibilité physique que la sphère ne prenne pas un mouvement de rotation sur ellemême en même temps qu'un mouvement de translation. Si l'impulsion était communiquée par un être intelligent qui visât à ce résultat, mais avec des sens d'une perfection bornée, il serait encore physiquement impossible qu'il en vînt à bout : car, quelle que fût son adresse, la direction de la force impulsive serait subordonnée, entre de certaines limites d'écart, à des causes indépendantes de sa volonté et de son intelligence; et, pour peu que la direction dévie du centre de la sphère, le mouvement de rotation doit se produire. On expliquerait de la même manière l'impossibilité physique admise par tout le monde, de mettre un cône pesant en équilibre sur sa pointe, quoique l'équilibre soit mathématiquement, possible ; et l'on ferait des raisonnements analogues dans tous les cas cités.

Ainsi qu'on vient de l'expliquer, l'événement physiquement impossible (celui qui, de fait, n'arrive pas, et sur l'apparition duquel il serait déraisonnable de compter tant qu'on n'embrasse qu'un nombre fini d'épreuves ou d'essais, c'està-dire tant qu'on reste dans les conditions de la pratique et de l'expérience possible) est l'événement qu'on peut assimiler à l'extraction d'une boule blanche par un agent aveugle, quand l'urne renferme une seule boule blanche pour une infinité de boules noires; en d'autres termes, c'est l'événement qui n'a qu'une chance favorable pour une infinité de chances contraires. Mais on a donné le nom de probabilité mathématique à la fraction qui exprime le rapport entre le nombre des chances favorables à un événement et le nombre total des chances ; en conséquence, on peut dire plus brièvement, dans le langage reçu des géomètres, que l'évéi.einent physiquement impossible est celui dont la probabilité mathématique est infiniment petite, ou tombe au-dessous de toute fraction, si petite qu'on la suppose. D'un autre côté, il résulte de la théorie mathématique des combinaisons que, quelle que soit la probabilité mathématique d'un événement A, dans une épreuve aléatoire, si l'on répèle un très-grand nombre de fois la même ('preuve, le rapport entre le nombre des épreuves qui amènent l'événement A et le nombre total des épreuves doit différer très-peu de la probabilité de l'événement A ou du rapport constant entre le nombre toi il des chances pour chaque épreuve en particulier. Si l'on peut accroître indéfiniment le nombre des épreuves, on fera décroître indéfiniment et l'on rendra aussi petite qu'on le voudra la probabilité que la différence des deux rapports dépasse une quantité donnée, si petite qu'elle soit; et l'on ipprochera ainsi de plus en plus des cas il impossibilité physique cités tout à l'heure.

Dans le langage rigoureux qui con\icnt aux vérités abstraites el absolues des mathématiques 'i de la métaphysique, une chose es) possible du elle ne l'< ;l pas : il n'y a pas de degrés de

possibilité ou d'impossibilité. Mais, dans l'ordre des faits physiques et des réalités qui tombent sous les sens, lorsque des faits ou phénomènes contraires sont susceptibles de se produire et se produisent effectivement selon les combinaisons fortuites de certaines causes variables et indépendantes d'une épreuve à l'autre, avec d'autres causes ou conditions constantes qui régissent l'ensemble des épreuves, il est naturel de regarder un phénomène comme doué d'une habileté d'autant plus grande à se produire, ou comme étant d'autant plus possible, de fait ou physiquement, qu'il se reproduit plus souvent dans un grand nombre d'épreuves. La probabilité mathématique devient alors la mesure de la possibilité physique, et l'une de ces expressions peut être prise pour l'autre. L'avantage de celle-ci, c'est d'indiquer nettement l'existence d'un rapport qui ne tient pas à notre manière de juger ou de sentir, variable d'un individu à l'autre^ mais qui subsiste entre les choses mêmes : rapport que la nature maintient et que l'observation manifeste lorsque les épreuves se répètent assez pour compenser les uns par les autres tous les effets dus à des causes fortuites et irrégulières, et pour mettre au contraire en évidence la part d'influence, si petite qu'elle soit, des causes régulières et constantes, comme cela arrive sans cesse dans l'ordre des phénomènes naturels et des faits sociaux.

Il n'est donc pas exact de dire, avec Hume, « que le hasard n'est que l'ignorance où nous sommes des véritables causes; » ou, avec Laplace, . « que la probabilité est relative en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance; » de sorte que, pour une intelligence supérieure qui saurait démêler toutes les causes et en suivre tous les effets, la science des probabilités mathématiques s'évanouirait, faute d'objet. Sans doute, le mot de hasard n'indique pas une cause substantielle, mais une idée; cetie idée est celle de la combinaison entre plusieurs systèmes de causes ou de faits qui se développent chacun dans sa série propre indépendamment les uns desautres. Une intelligence supérieure à l'homme ne différerait de l'homme à cet égard qu'en ce qu'elle se tromperait moins souvent que lui, ou même, si l'on veut, ne se tromperait jamais dans l'usage de cette donnée de la raison. Elle ne serait pas exposée à regarder comme indépendantes des séries qui s'influencent réellement, ou, par contre, à se figurer des liens de solidarité entre des causes réellement indépendantes. Elle ferait avec une plus grande sùrete, ou même avec une exactitude rigoureuse, la j art qui revient au hasard dans le développement successif des phénomènes. Elle serait capable d'assigner a priori les résultats du concours de causes indépendantes, dans des cas où nous sommes obligés de recourir à l'expérience, à cause de l'imperfection de nos théories et de nos instruments scientifiques. En un mot, elle pousserait plus loin que nous et appliquerait mieux la théorie de ces rapports mathématiques, tous liés à la notion du hasard, et que l'expérience ou l'observation statistiques constatent en tant que lois de la nature, aussi bien en ce qui concerne les actes réfléchis des êtres libres, qu'en ce qui tient au jeu des forces mécaniques ou aux déterminations fatales de l'appétit et de l'instinct.

A la vérité, les géomètres ont appliqué leur théorie des chances et des combinaisons à deux ordres de questions bien distinctes, et qu'ils ont parfois mal à propos confondues : à des questions de possibilité qui onl une valeur tout objective, ainsi que l'on vient de l'expliquer, et à des questions de probabilité, dans le sens vu!-

PROB

R»irc du mot, qui sont en effet relatives en parlic à nos connaissances, en partie à notre ignorance. Quand nous disons que la probabilité ma- Lique d'amener un sonnez au jeu de trictrac est la fraction j%, nous pouvons avoir en vue un jugement de possibilité; et alors cela signifie que si les dés sont parfaitement réguliers et bomogènes, de manière qu'il n'y ait aucune raison prise dans leur structure physique pour qu'une face soit amenée de préférence à l'autre, le nombre de sonnez amenés dans un grand nombre de coups, par des forces impulsives dont la direction, variable d'un coup à l'autre, est absolument indépendante des points inscrits sur les faces, sera sensiblement un ■— du nombre total des coups. Mais nous pouvons aussi avoir en vue un jugement de simple probabilité, et alors il suffit que nous ignorions si les dés sont réguliers ou non, ou dans quel sens agissent les irrégularités de structure, si elles existent, pour que nous n'ayons aucune raison de supposer qu'une face paraîtra plutôt que l'autre. Alors l'apparition du sonnez, pour laquelle il n'y a qu'une combinaison sur trente-six, sera moins probable relativement à nous que celle du point deux et as, en faveur de laquelle nous comptons deux combinaisons, suivant que l'as se trouve sur un dé ou sur l'autre : bien que ce dernier événement soit peut-être physiquement moins possible, ou même impossible. Si un joueur parie pour sonnez et un autre pour deux et as, il n'y aura pas moyen de régler leurs enjeux autrement que dans le rapport d'un à deux, et l'équité sera satisfaite par ce règlement, aussi bien qu'elle pourrait l'être si l'on était certain d'une parfaite égalité de structure; tandis que le même règlement serait inique de la part de l'arbitre qui saurait que les dés sont pipés et en quel sens.

En général, si, dans l'état d'imperfection de nos connaissances, nous n'avons aucune raison de supposer qu'une combinaison arrive plus facilement qu'une autre, quoique, en réalité, ces combinaisons soient autant d'événements dont les possibilités physiques ont pour mesure des fractions inégales ; et, si nous entendons par probabilité d'un événement le rapport entre le nombre des combinaisons qui lui sont favorables et le nombre total des combinaisons que l'imperfection de nos connaissances nous fait ranger sur la même ligne, cette probabilité cessera d'exprimer un rapport subsistant réellement et subjectivement entre les choses; elle prendra un caractère purement subjectif, et sera susceptible de varier d'un individu à un autre, selon le degré de ses connaissances. Elle aura encore une valeur mathématique, en ce sens qu'elle pourra et que même elle devra servir à fixer les conditions d'un pari ou de tout autre marché aléatoire. Elle aura de plus cette valeur pratique, d'offrir une règle de conduite propre à nous déterminer (en l'absence de toute autre raison déterminante) dans des cas où il faut nécessairement prendre un parti. Mais ce ne sont point là les importantes applications, dans l'ordre des phénomènes naturels, que nous avons eues surtout en vue. en rappelant ici les vrais principes de la théorie des probabilités mathématiques, et en discutant les idées fondamentales d'où cette théorie procède.

De lu probabilité philosophique. Pour mieux préciser les idées, nous recourrons d'abord à des exemples fictifs, abstraits, mais très-simples. Supposons donc qu'une grandeur sujette à varier, soit susceptible de prendre les valeurs exprimées par la suite des nombres de 1 à 10 000, et que quatre observations ou mesures consécu-

tives de cette grandeur aient donné quatre nombres, tels que :

offrant une progression régulière, et dont la régularité consiste en ce que chaque nombre est le quadruple du précédent : on sera très-porté à croire qu'un tel résultat n'est point fortuit; qu'il n'a pas été amené par une opération comparable à quatre tirages faits au hasard dans une urne qui contiendrait 10000 billets, sur chacun desquels serait inscrit l'un des nombres de 1 à 10 000; mais qu'il indique, au contraire, l'existence de quelque loi régulière dans la variation de la grandeur observée, en correspondance avec l'ordre de succession des mesures.

Les quatre nombres amenés par l'observation pourraient offrir, au lieu de la progression indiquée, une autre loi arithmétique quelconque. Ils pourraient former, par exemple, quatre termes d'une progression dans laquelle la différence d'un terme au suivant serait constante, ou quatre termes pris consécutivement dans la série des nombres carrés ; ou bien encore ils pourraient appartenir à l'une des séries des nombres qu'on appelle cubiques, triangulaires, pyramidaux, etc. H y a plus (et ceci est bien important à remarquer), les algébristes n'ont pas de peine à démontrer qu'on peut toujours assigner une loi mathématique et même une infinité de lois mathématiques différentes les unes des autres, qui lient entre elles les valeurs successivement amenées, quel qu'en soit le nombre, et quelques irrégularités que présente, au premier coup d'oeil, le tableau de ces valeurs consécutives.

Si pourtant la loi mathématique à laquelle il faut recourir pour lier entre eux les nombres observés était d'une expression de plus en plus compliquée, il deviendrait de moins en moins probable, en l'absence de tout autre indice, que la succession de ces nombres n'est pas l'effet du hasard, c'est-à-dire de causes indépendantes. dont chacune aurait amené chaque observation particulière : tandis que, lorsque la loi nous frappe par sa simplicité, il nous répugne d'admettre que les valeurs particulières soient sans liaison entre elles, et que le hasard ait donné lieu au rapprochement observé.

Mais, en quoi consiste précisément la simplicité d'une loi? Comment comparer et échelonner, sous ce rapport, les lois infiniment variées que l'esprit est capable de concevoir et auxquelles, lorsqu'il s'agit de nombres, il est possible d'assigner une expression mathématique ? Telle loi peut paraître plus simple qu'une autre à certains égards, et moins simple lorsqu'on les envisage toutes deux d'un point de vue différent. Dans l'expression de l'une n'entreront qu'un moindre nombre de termes ou de signes d'opérations; mais, d'un autre coté, ces opérations seront d'un ordre plus élevé; et ainsi de suite.

Pour qu'on pût réduire à la probabilité mathématique le jugement de probabilité fondé sur le caractère de simplicité que présente une loi observée, entre tant d';mtres qui auraient pu se présenter aussi bien, si la loi prétendue n'était qu'un fait résultant de la combinaison fortuite de causes sans liaison entre elles, il faudrait premièrement qu'on lût à même de faire deux .-atégories bien tranchées, l'une des lois réputées simples, l'autre des lois auxquelles ce caractère de simplicité ne convient pas. 11 faudrait, en second lieu, qu'on fût autorisé à mettre sur la même ligne toutes celles qu'on aurait rangées dans la même catégorie, et, par exem-

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