P=VD
d'où, en égalant les deux seconds membres,
VD = VoD„ et
D V„ Do ~ V '
ce qui donne, en remplaçant V par sa valeur Vo(l + St),
d'où, enfin,
n- Do
Étant données les densités D, D' d'un corps aux températures t, t', il est facile de conclure qu'il existe entre ces densités la relation suivante :
Étant connu le coefficient de dilatation et la densité d'un corps à une température déterminée, il est donc facile de calculer la valeur de la densité de ce corps â une température quelconque.
Ces formules relatives aux déterminations des variations de la densité des corps sous l'influence des variations de température, sont d'un usage fréquent dans toutes les recherches dans lesquelles on tient compte des indications fournies par le baromètre. En effet, dans les observations barométriques, la température et la densité du mercure de l'appareil varient nécessairement avec la température ambiante. Pour rendre les résultats obtenus directement comparables, on ramène la hauteur de la colonne mesurée dans chaque observation à la valeur qu'elle aurait si le mercure de l'appareil était à zéro. Les considérations précédentes fournissent un moyen très-simple d'opérer cette réduction.
Soient : H la hauteur observée à la température t, et D la densité du mercure à cette température.
Désignons par Ho la hauteur qu'aurait la colonne barométrique si le mercure était à zéro, et par Do la densité du mercure à zéro.
Nous avons :
Do
l-+-St
Mais les hauteurs barométriques faisant équilibre à une même pression atmosphérique sont nécessairement inversement proportionnelles aux densités du mercure, donc,
L'o d'où l'on déduit pour la valeur cherchée de Ho :
La quantité S, ou coefficient de dilatation, sert encore à déterminer les varia-
tions de force élastique d'un gaz qui s'échauffe sans changer de volume. Soient VoetHo le volume et la force élastique d'une masse déterminée de gaz à ze'ro. Si la pression ne change pas et si la température s'élève à t son volume devient :
Nous savons que la force élastique d'un gaz, à une température constante, est inversement proportionnelle au volume qu'il occupe. Or le gaz occupe actuellement, à la température t et sous la pression Ho, le volume V, si nous voulons le ramener au volume V» sans changer sa température t, il faudrait donc le soumettre à une pression H telle que :
d'où l'on tire pour la valeur H de la force élastique du gaz dont la température s'est élevée de zéro à f en conservant son volume primitif Vo :
H = H„(1-H^f)- La force élastique d'ua gaz qui s'échauffe sous volume constant, varie donc suivant les mêmes lois que le volume de ce gaz quand il s'échauffe sous pression constante.
Les méthodes employées dans la détermination des coefficients de dilatation varient avec l'état physique des corps en expérience. 11 y a donc nécessité absolue d'étudier à part les dilatations des liquides, des solides et des gaz.
A. Dilatations des liquides. Les liquides en expérience, n'ayant pas de forme déterminée, sont nécessairement enfermés dans des enveloppes solides soumises, comme eux, à l'action de la chaleur ; on ne peut donc jamais observer directement que la résultante des changements de volume survenus dans le contenant et dans le contenu sous l'influence des variations de température, c'est-à-dire l'excès de la dilatation absolue ou réelle du liquide sur la dilatation de l'enveloppe, ou encore la dilatation apparente du liquide. Ainsi prenons une enveloppe jaugée à zéro; le volume réel Vo du liquide à la même température sera exactement connu. Portons le système à la température t, le liquide occupera un plus grand nombre des divisions d'égale capacité de l'enveloppe. Si nous prenons, pour valeur du volume V du hquide à la température t, ce nombre de divisions qu'il occupe, nous ne déterminerons évidemment que son volume apparent, puisque nous opérons comme si les divisions de l'enveloppe avaient conservé la même capacité qu'à zéro. Dès lors
V — V» sera la dilatation apparente du liquide de zéro à t" ; — - — la dilatation
apparente de l'unité de volume du liquide de zéro à f ; — - — - le coefficient de
\ ot
dilatation apparente du liquide, ou la dilatation apparente de l'unité du volume pour une variation de température de un degré.
De ce qui précède et des méthodes adoptées pour la graduation des thermomètres, il résulte évidemment qu'un thermomètre à liquide quelconque ne donne jamais que la dilatation apparente de ce liquide, ou sa dilatation absolue diminuée de celle de l'enveloppe. Il est donc très-important de connaître le coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre.
La figure 20 représente l'appareil très-simple employé par Dulong et Petit pour
déterminer la valeur du coefficient de dilatation apparente du mercure dans le verre. Cet appareil consiste en \m long réservoir de verre terminé par un bec recourbé qui plonge dans une petite capsule de verre. Ou pèse d'abord le réservoir et la capsule vides, puis on remplit le réservoir de mercure à zéro. On pèse de nouveau l'appareil en ayant soin de placer la capsule sous le bec pour recueillir le mercure que Pélévation de température fait couler par la pointe effilée. La différence de poids donne le poids P du mercure qui remplit le réservoir à zéro.
Cela fait, on plonge le réservoir tout entier dans un bain à la température t en ayant soin de recueillir dans la capsule le mercure qui s'écoule audebors. Quand l'équilibre de température est établi, on relire la capsule et on détermine le poids/» du mercure qui est Fig. 20. sorti de l'appareil. Ainsi :
A zéro, le réservoir a un volume V égal à celui du poids P du mercure qui le remplit ;
A la température de t, ce réservoir ne contient plus qu'.un poids P — p de mercure; par le fait de l'excès de la dilatation du mercure sur celle de l'enveloppe, il est sorti de l'appareil un poids j; du liquide.
Si la capsule étant enlevée avec le mercure du poids p qu'elle contient, on refroidit le réservoir à zéro, le mercure du poids P — p qu'il contient se contracte, et la capacité du réservoir se divise en deux parties :
La première, de volume V, est remplie par un poids de mercure P — p; La seconde, vide et d'un volume Y — V, serait remplie par le poids jj de mercure ramené à zéro.
Or, puisque le poids de mercure P — p, dont le volume réel à zéro est V, remplit le réservoir tout entier à t", il en résulte qu'en passant de zéro à t", ce volume Y de mercure se dilate d'une manière apparente de V — Y'.
Par conséquent, la dilatation apparente de X unité de volume Ju mercure entre zéro et f, dans cette enveloppe, est :
Et comme, à la même température, les volumes des deux masses de mercure sont proportionnelles à leurs poids, nous avons :
Par suite, le coefficient c de dilatation apparente du mercure, ou la dilatation apparente de l'unité de volume de ce liquide, pour une variation de température de un degré, est :
V— y P ^ • Yt ~ {P — p)t ^'
Dans les enveloppes de verre qu'ils employaient, Dulong et Petit ont trouvé
pour valeur de ce coefficient c de dilatation apparente du mercure. Nous
devons faire observer que la valeur de c varie avec la nature du verre de l'enveloppe.
Une fois connue, la valeur du coefficient c de dilatation apparente du mercure
dans une enveloppe de verre déterminée, l'appareil de la figure 20 peut être employé comme thermomètre. Eu effet, nous avons la relation
= et.
L'expérience fournissant toujours p et P, et la valeur de c étant connue, cette équation donne :
Les indications de ce thermomètre sont très-exactes; Dulong et Petit l'ont souvent employé dans leurs recherches.
La dilatation de Vunité de volume d'un corps quelconque n'étant que le rapport de l'accroissement d'un volume déterminé du corps à son volume primitif, Dulong et Petit ont déduit d'un principe posé par Boyle une méthode très-exacte et très-ingénieuse de déterminer le coefficient de dilatation absolue du mercure indépendamment des variations de capacité de sou enveloppe.
Soient : A, C [fig. 21), deux vases de verre remplis de mercure et communiquant par un tube très-étroit BFED dont la branche transversale est maintenue très-exactement dans sa position horizontale.
Dans le vase A, le mercure est maintenu à zéro ; dans le vase C, il est porté à la température t; le tube horizontal est assez étroit pour que le liquide ne passe pas d'une branche à l'autre.
Quand l'équihbre est étabh, on mesure avec un cathétomètre les hauteurs, nécessairement différentes, ho et h, des colonnes de mercure dans les vases A, G audessus de la branche horizontale de communication. Nous avons :
Ao hauteur de la colonne de mercure à zéro;
h hauteur de la colonne de mercure à f.
Appelons D», D les densités du mercure à zéro et à t"; V», V les volumes d'une même masse de mercure à zéro et à t".
Puisque l'équilibre existe dans les deux colonnes de mercure, nous avons nécessairement entre leurs hauteurs et les densités du liquide dans les deux vases la relation :
fe Do K~ D'
Mais, puisque les densités d'une même masse de mercure sont en raison inverse des volumes qu'elle occupe, nous avons ;
Ces deux relations donnent :
Fi-. 21.
d'où Von tire :
h — ho V-V„
K. ~ V„ En divisant les deux termes de cette équation par ^ nous avons pour valeur du coefficient de dilatation absolue du mercure :
h — K V— Vo j hot ~ Yo«
Pour déterminer la valeur du coefficient § de dilatation absolue du mercure, il suffit donc de mesurer la température t à laquelle est portée le vase C et les hauteurs h, h„ des colonnes mercurielles dans les deux, vases. Ces opérations peuvent être exécutées avec une très-grande exactitude.
Dans ses importantes recherches sur la dilatation absolue du mercure, M. V. Regnault a adopté la méthode imaginée par Dulong et Petit; mais il a modifié et per^ fectionné l'appareil employé par ces deux grands physiciens.
Dans la figure 22, nous nous sommes borné à reproduire les dispositions fondamentales de l'appareil de M. V. Piegtiault.
AB, A'B' sont deux tubes de fer verticaux ouverts à l'air libre par leur partie
Fi?. 22.
supérieure, de 1", 50 de longueur et de 10 millimètres de diamètre intérieur. Un
peu au-dessous de la partie supérieure, ils communiquent par un tube de fer horizontal et percé d'un trou en 0 ; à leur extrémité inférieure, les tubes v
NN' verti-
caux communiquent avec deux tubes de fer horizontaux Ib, XV . Aux tubulures des extrémités libres de ces tubes horizontaux sont fixés deux tubes verticaux de
verre L, U. Par l'intermédiaire de deux tubes en plomb abouchés en V à un troisième tube en plomb PP, ces tubes de verre communiquent avec un ballon dans (lequel l'air est comprimé; on maintient l'air comprimé à une température constante en plongeant le ballon dans un grand vase rempli d'eau. Un thermomètre placé entre les deux tubes verticaux de verre donne la température du mercure contenu dans ces tubes. Ajoutons enfin que, sur les faces extérieures des tubes horizontaux NN', Ib, Vb' , on a tracé des repères a, a' b, b' correspondant exactement aux axes de ces tubes.
Le tube A'B' est maintenu vertical dans une chaudière CC remplie d'huile et placée sur un fourneau. Cette chaudière est enveloppée d'un manchon de tôle pour diminuer la déperdition de chaleur. La température de l'huile de la chaudière est donnée par un thermomètre à air EE dont nous décrirons plus tard la construction et le maniement. Des agitateurs permettent de maintenir la température de l'huile sensiblement uniforme dans toute la hauteur de la chaudière.
Le tube AB est maintenu vertical dans un manchon en tôle galvanisée MM dans lequel on fait passer un courant d'eau froide dont la température constante est indiquée par plusieurs thermomètres. L'eau d'un réservoir supérieur tombe par un robinet r dans un entonnoir e et, par un long tube de verre, au fond du manchon. L'excès du Hquide se déverse constamment par la partie supérieure du man- . chon. Une première mèche de coton m plongée dans le manchon, et une seconde mèche de coton m' font circuler un courant d'eau froide autour des tubes horizontaux NN', Vb' ; on s'oppose ainsi à la propagation par conductibilité de la chaleur de la chaudière.
L'appareil étant bien réglé, les tubes NN', Ib, l'b' étant bien horizontaux, on verse du mercure dans les tubes verticaux AB, A'B' par leurs extrémités libres. En même temps on comprime l'air dans le ballon pour empêcher le mercure de monter dans les tubes de verre L, L'. On continue à verser du mercure jusqu'à ce que le liquide remplisse le tube horizontal NN' et s'échappe au dehors par l'ouverture 0. Cela fait, on chauffe la chaudière et l'on comprime l'air du ballon de manière que le niveau de mercure ne s'élève que très-peu dans le tube de verre L' en communication avec le tube vertical A'B' plongé dans l'huile chaude de la chaudière ce.
Quand la température du bain d'huile de la chaudière CC, accusée par le thermomètre à air EE, est stationnaire, on prend :
La température T du bain d'huile et du mercure contenu dans le tube vertical A'B';
La température t de l'eau froide du manchon MM et du mercure contenu dans le tube vertical AB ;
La température If du mercure contenu dans les deux tubes de verre L, L' accusée par le thermomètre placé entre ces tubes.
En même temps on mesure au cathétomètre :
La hauteur H' du repère a' au-dessus du repère b' ; c'est la hauteur de la colonne de mercure dans le tube vertical A'B', dont la température est T;
La hauteur H du repère a au-dessus du repère b ; c'est la hauteur du mercure dans le tube vertical AB, dont la température est i;
Les hauteurs h, h' des niveaux l, V du mercure dans les tubes de verre audessus des repères b,b' ; ce sont les hauteurs des colonnes de mercure dans ces tubes de verre, dont la température commune est If.
Ces déterminations expérimentales sont nécessaires et suffisantes pour calculer
le coefficient de dilatation absolue du mercure entre zéro et la température T du bain d'huile. En effet, appelons :
Do la densité du mercure à la température de zéro;
D la densité du mercure à la température T, et x le coelficient de dilatatiou absolue du mercure entre zéro et la température T du bain d'huile;
d la densité du mercure à la température t, et § le coefficient de dilatation absolue du mercure entre zéro et la température t de l'eau du manchon MM ;
d' la densité du mercure, et S' le coefficient de dilatation absolue du mercure entre zéro et la température t' des deux tubes de verre L, L'.
La pression exercée par la colonne H' du mercure du tube A'B' est nécessairement
