CF J

CF' ~m'

18. Au lieu de considérer l'axe principal, on pourrait opérer d'une façon analogue par rapport à un diamètre quelconque, puisque, comme nous l'avons dit, tous les diamètres jouissent des mêmes propriétés. Donc sur un diamètre XjX'i (fig. 9) on trouverait un foyer F"i où viendraient se réunir après la réfraction

Fig. 9.

tous les rayons qui auparavant étaient parallèles à XjX'^ ; on trouverait, d'autre part, un point F'^ qui serait tel que tous les rayons incidents dont les directions y passeraient donneraient après la réfraction un faisceau parallèle à X^X'^. Les distances CF'^ et CF"i seraient évidemment égales respectivement à CF' et CF".

Nous appellerons ces points des foyers secondaires. Nous voyons qu'il y a une infinité de foyers secondaires, deux sur chaque diamètre et divisés en deux groupes situés de part et d'autre du centre. Tous les foyers d'un même groupe se trouvent sur une surface sphérique concentrique à la suiface réfringente et ayant respectivement pour rayons les longueurs CF' et CF". Ces portions de sphères constituent la première et la deuxième surfaces focales.

Ces surfaces focales ont, dans leur partie utile, une faible amplitude : aussi peut-on, sans erreur sensible au point de vue pratique, les remplacer par leurs plans tangents en F' et en F". Ces plans sont dits \e premier plan focal et le deuxième plan focal ; ils sont d'une grande utilité pour toutes les constructions relatives à la marche des rayons.

et 2* distance focale f l'abscisse du centre G comptée à partir de F", la convention pour les signes restant la même. Ces valeurs sont immédiatement connues, car on a évidemment :

f' = —f' et /•" = — <p"

Si l'on voulait étudier les cas où la lumière passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, les mêmes figures pourraient servir, en supposant que la lumière vienne de la droite : il serait pi'éférable de dessiner les figures à nouveau en les retournant de manière à conserver toujours le même sens à la propagation de la lumière; seulement alors les foyers seraient inverses, F' deviendrait F" et réciproquement; de plus l'abscisse du centre changerait de signe. Enfin, s'il s'agit des deux mêmes substances, l'indice de

réfraction serait modifié et devrait être remplacé par -• Moyennant ces diverses modifica-

lions, les formules que nous venons de donner se retrouveraient identiquement, elles sont absolument générales, ^' et cp" étant les abscisses des foyers, R l'abscisse du sommet, m l'indice du 2* milieu par rapport au premier.

19. Étant donné un rayon incident dans une direction quelconque, comment trouver le rayon réfracté correspondant? Il est entendu qu'il s'agit de trouver une construction où l'on n'ait pas à mesurer d'angles, car sans cela la loi de la réfraction résout la question.

Un grand nombre de solutions peuvent être données; nous indiquerons, parmi les plus simples, celles qui nous serviront ultérieurement.

Soit le rayon SI (fig. 1 0) venant rencontrer en I la surface réfringente ; nous pouvons le considérer comme appartenant à un faisceau parallèle qui serait, après la réfraction, transformé en un faisceau conique dont le sommet serait à l'intersection du second plan focal et de l'axe secondaire parallèle au faisceau considéré. Si donc par le point G nous menons une droite parallèle à SI, elle rencontrera le plan focal F" en un point E" qui sera le foyer secondaire corres-

Fig. 10.

pondant au faisceau incident considéré : le rayon réfracté cherché devra passer par ce point et, comme il passe aussi en I, il est complètement déterminé.

Une autre construction est basée sur ce que le rayon SI peut être considéré comme appartenant à un faisceau conique et, par exemple, à un faisceau conique qui aurait son sommet sur le premier plan focal F', au point E' par conséquent. On sait que ce faisceau conique sera transformé par la réfraction en un faisceau parallèle dont la direction est celle de l'axe secondaire qui passe en E', c'est-àdire de la droite E'G : le rayon réfracté cherché devra donc être parallèle à E'G et, comme il passe en I, il est complètement déterminé.

Les deux constructions faites pour un même rayon donnent un quadrilatère E"IE'C qui est un parallélogramme : cette remarque peut être utilisée dans diverses circonstances.

Il résulte de l'existence de ces deux constructions distinctes que l'on peut déterminer séparément un point E" et la direction (parallèle à E'G) du rayon réfracté, que l'on peut tracer dès lors sans faire usage du point d'incidence I.

20. Considérons maintenant le cas d'un faisceau divergent d'un point A (fig. H), par exemple; pour définir ce point nous abaisserons la perpendiculaire Aa sur l'axe principal et nous nous donnerons la distance ?a et la hauteur ak (soit l'abscisse et l'ordonnée du point A) ^

* Nous avons fait les figures pour un dioptie convergent et un dioptre divergent pour les

DIOPTRIQLE.

Considérons un rayon quelconque AI passant par A et appliquons à la détermination du rayon réfracté IR les deux constructions précédentes : nous savons que la figure formée E"IE'G est un parallélogramme. Soit A' le point où le rayon réfracté coupe l'axe secondaire passant le point A ; déterminons ce point A' par son abscisse et son ordonnée Va' et a'A', que nous allons calculer successivemenl.

Fig. 11.

Il résulte du parallélisme des lignes AI', CE" d'une part et E'C.IA' de l'aulre que les triangles AE'G et CE"A" sont semblables : les plans focaux, étant parallèles, sont des lignes homologues dans ces deux triangles et déterminent, par conséquent, des segments proportionnels sur les côtés qu'ils coupent en e" et e'. On a donc immédiatement :

Âe;C£;; (i)

Cette équation qui détermine absolument la position du point A' ne contient ni le point I, ni rien qui se rapporte au rayon incident que nous avons choisi. Il résulte de là que, si nous considérions les divers rayons qui constituent le faisceau émané de A, le même calcul leur serait applicable à tous, et que, après la réfraction, ils iraient tous passer au point A' constituant ainsi un faisceau homocentrique.

Le point A ayant été pris quelconque (et la démonstration s'appliquerait d'une façon tout analogue au cas d'un faisceau incident convergent), le résultat est donc général et, dans la limite des restrictions que nous avons indiquées au commencemant de cette étude, nous pouvons dire que tout faisceau homocentrique est trauïformé par la réfraction sur une surface sphérique en un autre faisceau homocentrique .

Le sommet A' du faisceau homocentrique réfracté est dit V image du point A, sommet du faisceau homocentrique incident : cette image sera réelle ou virtuelle selon que le faisceau réfracté sera convergent ou divergent ; ce n'est point ici le lieu d'insister sur cette idée simple.

Il est à remarquer que, à cause de la réversibilité, on peut dire également que A est l'image de A'; pour cette raison, les deux points A et A' sont dits conjugués l'un de l'autre, ensemble ils forment un couple de foyers conjugués.

Les deux droites AA' et XX' coupées par les quatre parallèles Aa,E'F', E"F" et A'a', donnent les relations :

ke'

CF W'a''

constructions précédentes; nous nous bornerons maintenant à considérer un dioptre convergent : les conslruclions seraient d'ailleurs semblables, mutatis mutandis.

IVoù, à cause de l'équation précédente^ :

F'G~FV ^^ ^ ^ ~~ aF' '

relation qui donnera la position du point a'.

Celte relation ne contient ni le point A, ni rien qui caractérise l'axe secondaire qui passe par ce point, et la position de a' dépend ainsi seulement de celle de a. On conclut de là que tous les points lumineux qui seraient situés sur la perpendiculaire aA auraient pour image des points situés sur la perpendiculaire a' A' et que, par suite, si aA était un objet lumineux, son image serait précisément a' A'.

Pour déterminer complètement la position de A', nous allons calculer a'k' ; on trouve immédiatement, à cause des triangles semblables AaC et A'a'G :

A;a'Ca' ka aC '

Mais Ca' = CF" + F"o' = CF" + ^^ =''£^;

a¥ aï

et alors il vient :

AV CP' Aa~aF'*

21. On pourrait discuter, à l'aide de la formule générale, les diverses circonstances qui peuvent se présenter dans le cas d'un objet envoyant de la lumière sur la surface réfringente. Mais on peut y arriver simplement aussi par des constructions géométriques. Nous examinerons seulement le cas d'une surface

' Ces résultats conduisent à des formules qui permettent de discuter aisément les divers cas qui peuvent se présenter : nous déterminerons la position de chaque point par une abscisse et une ordonnée et nous conserverons la convention des signes que nous avons faite; seulement les abscisses ne seront pas comptées à partir de la même origine ; nous conserverons le point P comme origine pour les foyers et le centre, mais nous prendrons le point F' pour origine des abscisses correspondant aux points ou aux objets lumineux et le point F" pour origine des abscisses correspondant aux images. Les ordonnées sont comptées positivement au dessus de l'axe et négativement au-dessous.

Soient / l'abscisse et 0 (objet) l'ordonnée du point A; soient d'autre part /' l'abscisse et I (image) l'ordonnée de A'. On voit que, si l'on prend pour objet lumineux la droite ka, 0 sera la grandeur de l'objet et I celle de l'image.

Dans le cas de la figure, nous aurons :

l=^F'a l' = — F"a' /" = — F'G R= — TG

0 = Art I= — AV f"=F"G.

Les équations ci-dessus donnent alors, en remarquant que l'on a PF'= CP" et PF" = CF' :

On a d'autre part :

ou ll' = f'f".

et, à cause de l'équation précédente, il vient aussi :

convexe du côté d'où vient la lumière, le second milieu étant plus réfringent que le premier (c'est le cas que l'on a à appliquer lorsque l'on étudie la vision avec Vœil réduit de Listing).

Nous prendrons pour objet une droite Aa (fig. 1 2) perpendiculaire à l'axe : nous savons que son image sera déterminée lorsque nous connaîtrons l'image du point A, et celle-ci à son tour sera déterminée par l'intersection de deux rayons réfractés correspondant à deux rayons incidents quelconques : nous choisirons pour ceux-ci des rayons conduisant à des constructions simples et notamment le rayon AH parallèle à l'axe, qui se réfracte en passant en F", et le rayon AF'K,

Fig. 12.

qui passe par le premier foyer et qui, dès lors, se réfracte parallèlement à l'axe. Ces deux rayons se coupent en A' et la perpendiculaire A'a' est l'image cherchée. La surface réfringente ayant peu d'amplitude, on peut considérer que sensiblement les longeurs HP et PK sont égales l'une à Aa l'autre à A'a'.

22. Quelques remarques importantes se déduisent de la simple inspection de la figure. On voit que, quelle que soit la position de l'objet (lors même que, les faisceaux incidents étant convergents, l'objet serait virtuel), le rayon AH est invariable de position : il en est donc de même du rayon réfracté correspondant HF", c'est-à-dire que l'image A' se trouve nécessairement sur cette droite ou sur son prolongement et que, par suite, l'objet étant placé comme nous l'avons supposé, l'image est nécessairement comprise entre HF" et l'axe. La position, la nature, la grandeur de cette image, dépendront entièrement du rayon réfracté passant par K.

L'image sera réelle, si les rayons réfractés se coupent effectivement, elle sera virtuelle, si les prolongements de ces rayons seulement viennent à se rencontrer. Le premier cas se présentera : 1" si le point K est au-dessous de F, ou 2" s'il est compris entre P et H ; le second cas : 5<* si K est au-dessus de H (plus généralement, le premier cas se présente, si P et K sont d'un même côté de H, et le second cas, si H est compris entre K et P). L'image sera donc réelle :

1" Si l'objetr Aa est plus loin que F' de la surface réfringente;

2° Si l'objet est à droite de cette surface (il est vij-tuel alors).

L'image sera virtuelle :

5° Si l'objet est entre le premier foyer et la surface réfringente.

Nous savons en outre que, si l'objet est dans le plan focal, il n'y a pas d'image à proprement parler, chaque point de cet objet donnant après la réfraction un faisceau parallèle.

La figure montre de plus que l'image est droite (de même sens que l'objet) lorsqu'elle se lait à gauche de F", lorsque le point K, par suite, est au-dessus de

iU DIOPTRIQUE.

P; elle est renversée quand elle se fait à gauche de F", quand le point K est audessous de P.

De ces remarques on déduit que :

Un ol'jet î'éel situé à gauche de F' donne une image re'elle et renversée;

Un objet réel situé à d?^oite de F' (à gauche de P nécessairement) donne une image virtuelle et droite;

Un objet virtuel (situé à droite de P nécessairement) donne une image réelle et droite.

On voit donc que :

Le plan F' et la surface réfringente limitent dans l'espace les zones où l'objet et l'image sont réels ou virtuels;

L'image est droite lorsqu'elle est de nature contraire à l'objet (objet réel, image virtuelle ; ou objet virtuel, image réelle) ; elle est droite lorsqu'elle est de même nature.

Nous verrons que ces deux règles sont générales pour la réfraction à travers tous les dioptres, quelle que soit leur disposition.

23. Pour compléter cette discussion sommaire, il faut savoir comment varient la grandeur et la position de l'image quand l'objet se déplace. Supposons que l'objet étant d'abord très-loin à gauche se rapproche : le point K était très-près de P et l'image, égale à KP, était très-petite ; devant se trouver comprise entre les droits XX' et HF"R, elle était dès lors très-voisine de F" (nous savons du reste que, si l'objet était à l'infini, l'image serait dans le plan focal). Lorsque l'objet se rapprochera, la ligne AF' s'inclinera davantage, le point K s'abaissera ; l'image, toujours égale à PK, grandira et, en conséquence, s'éloignera de F", d'autant plus grande et d'autant plus éloignée de F" que l'objet fera plus rapproché de F'.

Nous ne poursuivons pas le raisonnement, qui s'applique avec la même simplicité aux autres cas, parce que nous allons arriver aux résultats par une autre méthode ; mais on reconnaîtrait facilement que ces considérations conduisent à eette règle absolument générale : '

Quand, à partir d'une position quelconque, mi objet se déplace devant une surface réfringente, son image se déplace dans le même sens.

Cette règle est très-importante et permet de prévoir, dans un très-grand nombre de cas, des effets qui se produisent.

Examinons de plus près maintenant les questions de la grandeur et de la position de l'image, dans leurs rapports avec la position de l'objet.

La comparaison des triangles semblables AaF', F'PK et HPF", F"a'A', donne :

KP FT ka aV

k'a' Y"a' HP PF"'

ce qui revient à :

k'a FT ka aK'

k'a' F'a' ka ~Vï"

24. La première équation montre que l'image aura une grandeur inférieure, égale ou supérieure à celle de l'objet, suivanl; que la distance aY' de l'objet au premier foyer F' sera supérieure, égaie ou inférieure à]la première distance focale FT.

Étudions d'abord le cas de l'égalité : ce résultat est obtenu quand on a «F'nzFT, ce qui correspond à deux positions distinctes de a, suivant que la Ion-

gueur sera portée à gauche ou à droite de F'. Prenons d'abord à gauche de F' une longueur F'E' (fig. 12) égale à la première distance focale, et menons par le point E' un plan perpendiculaire à l'axe. L'image sera dans ce cas réelle, renversée et égale à l'objet; nous trouverons facilement sa position par la 2^ équation qui, à cause de AV = Aa, donne a'F"^=¥"P, c'est-à-dire que l'image est située à une distance de F" égale à la deuxième distance focale ; soit E" le point correspondant, par lequel nous mènerons un plan perpendiculaire à l'axe.

Les plans E' et E" ainsi déterminés jouissent de la propriété que, lorsqu'un objet se trouve dans le premier, son ima^e, égale et de sens contraire, se trouve dans le second. Nous désignerons ces deux plans sous le nom de plans principaux inverses ou sous celui de plans antiprincipaux qui leur a été donné par M. Monoyer.

Le fait qu'un point A situé dans le premier plan antiprincipal a son image située dans le deuxième plan antiprincipal et à la même distance de l'axe conduit à cet autre énoncé : Tout rayon qui traverse le premier plan antiprincipal en un point rencontre le deuxième plan antiprincipal à la même distance de ïaxe, mais du côté opposé.

Cette propriété pourrait être prise à priori comme définissant les plans principaux inverses.

L'égalité de l'image et de l'objet peut être obtenue dans un autre cas, dans lequel on définirait la position de l'objet en portant à droite du foyer F' (fig. 12) une longueur égale à la distance focale FT, ce qui reviendrait à mettre l'objet en contact avec la surface réfringente. On reconnaîtrait alors immédiatement que, comme l'on devrait avoir également F"a"=:PF", l'image, qui serait virtuelle et droite, serait aussi en coïncidence avec la surface réfringente.

Ce résultat était évident : un point qui est à la surface de séparation de deux milieux réfringents est vu à sa véritable position pour un œil situé dans le 2« milieu : les rayons qui en émanent ne subissent pas de réfraction. Aussi n'aurait-il pas été nécessaire de signaler ce cas, si nous ne devions plus tard retrouver l'analogue dans des circonstances où il nous fournira de nouvelles et importantes données.

25. Nous pouvons maintenant faire la discussion complète que nous résu-

Fig. 13.

merons comme il suit, en supposant resjiace divisé en 6 zones par la surface réfringente, les plans focaux et les plans principaux inverses (fig. 15)^

L L'objet est à l'infini : l'image, infiniment petite, est dans le deuxième plan focal.

11. l""^ zone (de l'infini au l'^- plan principal inverse) : l'image, réelle, renversée, plus petite que l'objet, se fait dans la 5*^ zone (entre le 2*^ plan focal et le

2' plan principal inverse), d'autant plus petite et plus rapprochée du 2« plan focal que l'objet est plus éloigné.

III. L'objet est dans le 1^'" plan principal inverse : l'image, réelle, renversée et égale, est dans le 2« plan principal inverse.

lY. L'objet est dans la 2^ zone (du 1" plan principal inverse au premier plan focal) : l'image, réelle, renversée, plus grande que l'objet, se fait dans la 6^ zone (à droite du 2« plan principal inverse), d'autant plus grande et plus éloignée que l'objet est plus rapproché du l*^"" plan focal.

V. L'objet est dans le 1" plan focal : il n'y a pas d'image à proprement parler, comme nous l'avons dit. Par généralisation, on dit que l'image est à l'infini.

VI. L'objet est dans la S'' zone (entre le plan focal et la surface réfringente) : l'image, virtuelle, droite, plus grande que l'objet, se fait dans l'une des zones 1, 2 ou 3, d'autant plus grande et plus éloignée que l'objet est plus rapproché du plan focal.

VU. L'objet coïncide avec la surface réfringente : l'image est virtuelle, droite, égale à l'objet, et coïncide avec la même surface.

VHI. L'objet est dans l'une des zones 4, 5 ou 6 (il est virtuel et compris entre la surface réfringente et l'infini à droite) : l'image, réelle, droite, plus petite que l'objet, se fait dans la 4^ zone (entre la surface réfringente et le 2" plan focal), d'autant plus petite et plus rapprochée du 2« plan focal que l'objet virtuel est plus éloignée

26. On arrive pour les dioptres divergents à des résultats analogues à ceux que nous venons d'indiquer ; ils diffèrent seulement par les positions respectives des foyers et des plans principaux inverses par rapport à la surface réfringente. Les modes de démonstration sont tout semblables et lu marche de la discussion est la même ; les règles générales que nous avons indiquées sont applicables, comme on peut le reconnaître.

Il n'y a pas lieu d'insister, parce que les résultats auxquels on est conduit ne présentent pas d'applications sur lesquelles nous ayons l'occasion de nous arrêter.

27. b\ Indiquons rapidement ce qui se présente lorsque la surface de séparation des deux milieux n'est pas sphérique. Supposons que ce soit une surface géométriquement définie, ayant une très-petite amj)litude dans toutes les directions. Soit un point sur cette surface situé au centre de l'étendue considérée; menons la normale en ce point : elle représentera Y axe de la surface ; les sections faites dans la surface par des plans contenant l'axe sont des sections méridiennes. Les diverses sections méridiennes sont, en général, différentes les unes des autres; à cause de leur faible amplitude, on peut les identifier, sans erreur sensible, avec de petits arcs de cercle ; les divers arcs de cercle ainsi considérés ont des rayons différents. Si la surface est géométriquement définie, on démontre que, sauf quelques cas particuliers que nous laissons de côté, les rayons varient d'une manière continue. Si l'on fait un tour complet autour de l'axe, on observe qu'il y a, par exemple, d'abord décroissance du rayon jusqu'à un certain minimum, puis le rayon croît, passe par un maximum, et décroît ensuite jusqu'à la valeur primitivement considérée. Les sections qui correspondent au plus petit et au plus grand rayons de courbure sont appelées sections principales ; on démontre qu'elles sont rectangulaires Tune à l'autre. De l'une à l'autre le rayon de courbure varie continuement.

* Dans la figure 13, par erreur, il y a transpontion des lettres F' et F", E' et E".

On peut exposer les mêmes remarques en parlant de la courbure des sections : la courbure est l'inverse du rayon de courbure.

Lorsqu'un faisceau homocentrique passe d'un milieu à un autre à travers une surface analogue à celle que nous venons d'indiquer, surface que par abréviation nous appellerons surface astigmatique, il donne un faisceau émergent qui n'est pas homocentrique. La forme de ce faisceau et les conséquences qu'on en peut déduire pour les cas les plus intéressants étant étudiés en détail d'autre part [voy. Astigmatisme), il est inutile d'insister

28. II. c. Deux surfaces planes parallèles. Nous examinerons d'abord le cas où la substance comprise entre les deux faces planes est plus réfringente que les milieux situés de part et d'autre, milieux que nous supposerons être de même nature. C'est le cas d'une lame de verre ou d'une couche d'eau dans l'air, c'est le cas qui se présente le plus souvent.

Soit un rayon SI^ (fig. 14), rencontrant la première surface; il pénètre dans la lame en prenant la direction IJ^ plus rapprochée de la normale: si i et r sont les angles d'incidence et de réfraction, m étant l'indice du milieu réfringent par rapport à l'air, on a :

sui i sinr

Le rayon arrive en I^ à la 2" surface en faisant un angle d'incidence i' qui sera égal à r à cause du parallélisme des normales: il résulte de là que le rayon sortira toujours à travers la surface L', car l'angle r est nécessairement plus petit que l'angle limite, il en sera donc de même de l'angle i' . Le rayon émergent s'écartera de la normale en faisant un angle de réfraction r' : si donc 7n' est l'indice de réfraction de l'air par rapport à la substance réfringente de la lame, on a

sm i

sin r

7 = ??i'. A cause de la réversibilité, on sait que l'on a ?>im'=l; comme

d'autre part on a z'=:r, si l'on multiplie les deux égalités membre à membre, on aura :

sm i sinr

ce qui entraîne i= r' : donc, à cause du parallélisme des normales, on voit que le rayon émergent I^R est parallèle au rayon incident SI^.

Donc, quand un rayon passe à travers une lame à faces parallèles, il n'est pas dévié, il est seulement déplacé.

Le déplacement est mesuré par la perpendiculaire LH, dont on peut aisément trouver la valeur ^ ; la formule aussi bien que la figure montre immédiatement

* Si l'on appelle e l'épaisseur de la lame, on a immédiatement les relations

ItH = Ij2sin(t — r) et l.U = -. — > ce qui donne IiH=e — -. L la valeur de r étant

sinr sinr

Cl ri •>

donnée par l'équation ^^; — = m.

sin r

BICT. ENC. XXIX.

que le déplacement, pour une même incidence, est proportionnel à l'épaisseur de la lame traversée. Il en résulte que, si la lame est infiniment mince, le déplacement sera infiniment petit ; pratiquement, si la lame a une faible épaisseur, le déplacement sera négligeable et l'on pourra dire que, dans ce cas, un rayon traverse une lame mince sans subir de modifications.

L'existence du déplacement, dont il est possible d'évaluer la grandeur lorsque l'on connaît e, i et m, est la base d'un intéressant appareil de mesure, l'ophthalmomètre de Helmholtz.

29. Que pouvons-nous conclure des remarques précédentes pour les modifications que subiront les faisceaux traversant une lame à faces parallèles ?

Il est évident, sans qu'il soit nécessaire d'insister, que, si l'on considère un faisceau incident cylindrique (formé de rayons parallèles), il donnera, tant dans l'intérieur de la lame qu'à l'émergence, un faisceau cylindrique ; le faisceau émergent sera parallèle au faisceau incident, il n'aura pas subi de déviation, mais seulement un déplacement que l'on évaluera comme nous l'avons indiqué plus haut.

Dans les appareils destinés à regarder les objets très-éloignés, comme les lunettes astronomiques, la formation d'un point dans l'image observée dépend de la direction et non de la position du faisceau incident correspondant, c'està-dire que l'image se formera au même endroit, si le faisceau incident est déplacé parallèlement (l'image se déplacerait, au contraire, si le faisceau était dévié) j et réciproquement. Lorsque l'on regarde une étoile dans une lunette astronomique, on observe que la position de son image n'est nullement modifiée par la présence d'une lame à faces parallèles que l'on place obliquement devant l'objectif ; ce résultat prouve que la lame a pu déplacer le faisceau incident, mais qu'il n'y a pas eu de déviation. Cette expérience est donc une vérification •de la conséquence à laquelle nous avons été conduit.

Remarquons que, d'autre part, l'existence du phénomène observé est une

démonstration de la réalité de l'équation mm' = 1 que nous avons employée et prouve par suite la loi de réversibilité. 30. Considérons maintenant le cas d'un faisceau conique convergent ou divergent; nous examinerons spécialement le cas du faisceau divergent, mais la même figure servirait en sens contraire pour le faisceau convergent. Nous supposerons d'ailleurs que le faisceau a peu d'étendue, que c'est un pinceau émané du point A (fig. 15) : nous savons alors que la réfraction sur la l*"* face le transformera, mais en conservant l'homocentricité : ce sera donc un faisceau homocentrique qui traversera la 2* face et donnera dès lors à l'émergence un faisceau également homocentrique (il est intéressant de remarquer que, quel que fût le nombre des réfractions successives, le faisceau émergent serait également homocentrique).

Nous pourrons, comme nous l'avons indiqué plus haut, déterminer le faisceau

Fia-. 15.

DIOPTRKJUE.

réfracté dans la lame parallèle en déterminant son sommet a; quant au faisceau émergent, on l'obtiendra en remarquant que chacun des rayons qui le constituent est parallèle au rayon correspondant du faisceau incident : le faisceau émergent sera donc également divergent, il aura la même amplitude que le faisceau incident, mais son sommet A' sera plus près de la lame, ou peut même être dans l'épaisseur de la lame. Ce sommet serait, pour un observateur qui recevrait dans l'œil le faisceau émergent, l'image virtuelle du point A : l'influence de la lame sera donc de donner une image plus rapprochée que l'objet.

Cette remarque n'est pas sans intérêt au point de vue pratique et, par exemple, explique quelques effets produits dans l'observation au microscope par l'interposition du couvre-objet.

51. Si le faisceau incident était convergent, la lumière étant supposée venir en sens contraire, A' serait le point de convergence du faisceau sans l'action de la lame, et A le point de convergence effectif après interposition de la lame : on voit que cette interposition a pour effet de reculer le point de convergence.

Il va sans dire que, si les faisceaux ne sont pas très-étroits, ils donnent lieu à des caustiques, Qi les résultats sont très-complexes ; il est inutile d'insister.

Dans le cas, qui se présente rarement, où la lame à faces parallèles serait moins réfringente que le milieu dans lequel elle se trouve, les résultats généraux resteraient les mêmes : il y aurait déplacement et non déviation des rayons, seulement le déplacement se ferait en sens contraire, c'est-àdire en éloignant le rayon émergent de la normale au point d'incidence.

Dans le cas d'un point lumineux envoyant un pinceau divergent, l'image du point serait éloignée, tandis que précédemment elle était rapprochée.

Z'i. Considérons maintenant le cas oii l'on a trois milieux différents séparés par des plans parallèles et soient y^, v.^ et v^^, les vitesses de propagation dans ces milieux.

Soient i^, r^; — Zg, r^, les angles d'incidence et de réfraction à chacune de ces surfaces en I^ et I^ (fig. 16) pour un rayon incident donné Slj ; on a les relations :

Fig. 16.

sm II Vi

sin Vi Dg

sm i

sin i\

Les angles 7\ et 4 sont égaux comme alternes-internes ; si alors on multiplie ces égalités membre à membre, il vient :

sin il Vi

smr»

c'est-à-dire que le rayon a, dans le 5' milieu, la même direction qu'il aurait eue s'il était passé directement du l^"" au 3« sans interposition du 2^: ce fait est important.

Le faisceau émergent ne coïncidera pas, cependant, avec ce qu'eût été le rayon réfracté dans ce cas et il aura subi un déplacement par rapport à celui-ci ; ce déplacement sera proportionnel à l'épaisseur du 2d milieu et sera négligeable, si cette épaisseur est très-petite. Dans ce cas, on pourra dire que pratiquement, et malgré l'interposition du 2'' milieu, le rayon pénétrera dans le 5« milieu comme si le second n'existait pas^

53. 11 est nécessaire de remarquer que, dans le cas où il existe trois milieux différents successifs, il peut arriver que le rayon IJ^ (fig. 18) qui a pénétré dans le 2*' milieu ne puisse pas en sortir. L'angle d'incidence à la 2« surface i^ est toujours égal à ?\ et, par suite, ne peut dépasser l'angle limite qui correspond à la réfraction entre le 1'^^'" et le 2*^ milieux; mais cet angle n'a évidemment aucune relation avec l'angle limite correspondant à la réfraction entre le 2« et le 3' milieux. 11 pourra donc se produire une réflexion totale sur la 2'^ surface et le rayon, traversant le 2'' milieu, reviendra en l\ à la 1" surface qu'il traversera nécessairement : il ressortira ainsi dans le 1" milieu suivant l'iR, et l'on voit

1 11 n'est pas sans intérêt de faire remarquer que, si les rayons considérés ne font que de

petits angles d'incidence et par conséquent aussi de petits angles de réfraction, on peut i^emplacer les deux i^éfractions par une seule qui se produirait sur une surface plane séparant le 5° milieu du 1" directement. Soit, en effet, K (fig. 17) le point d'intersection des prolongements du rayon incident et du rayon émergent; menons les normales I^B, KG et la perpendiculaire KA. On a IgB = IgC -f KA. Les triangles rectangles de la figure donnent immédiament :

Fig. 17.

l,B = liB.

loC = KG.ro

KA = I,\.îi,

en remplaçant les tangentes pai' les angles puisque ceux-ci sont très-petits. On a aussi nécessairement :

ri'

I, __ Vi

Il vient alors

On déduit de là

IjB . j'i = KG . T'a -{- Ii^ • h

Yaleur indépendante des angles et qui restera la même, quelle que soit la direction d'incidence (pourvu que les angles restent petit?) : donc les rajons incidents et les rayons émergents se coupei'ont tous dans un plan parallèle aux faces et défini par cette relation. Comme nous savons déjà que le rayon émeigent aura la même direction que si la lumière passait directement uu 1" au 3= milieu, on voit que l'on pourra étudier la marche de la lumière en remplaçant les deux retractions successives par une seule s'effectuant sur une surlace plane séparant le 1'='' milieu du 3®.

Jl est évident, sans qu'il soit nécessaire d'insister, que, si l'on avait plus de 3 milieux, on arriverait au même résultat en répétant le raisonnement de proche ou proche. D'où l'on conclut :

Étant donné plusieurs milieux séparés par des plans parallèles, si l'on considère des rayons faisant de peiits angles d'incidence, l'effet total subi par un rayon sera le même que celui qui se produirait par une seule réfraction s'elfectuant sur une surface plane séparant le milieu dans lequel se fait l'incidence de celui dans lequel l'émergence a lieu.

Fig. iS.

immédiatement que l'angle d'émergence sera égal à l'angle d'incidence, mais qu'il est compté de l'autre côté de la normale: il a une direction symétrique de la direction incidente.

Ajoutons que lors même que l'angle i^ est moindre que l'angle limite correspondant aux 2^ et 5« milieux, et comme il arrive toujours, toute la lumière ne traverse pas la 2^ surface : une partie est réfléchie et suit un chemin qui la fait sortir dans une direction symétrique de sa direction d'entrée.

54. d. Deux surfaces inclinées. Une masse réfringente comprise entre deux faces planes faisant entre elles un certain angle constitue ce que l'on appelle en

optique un pj'isme; contrairement à ce que l'on étudie en géométrie sous ce même nom, le prisme peut être terminé d'ailleurs par des surfaces quelconques qui n'interviennent pas dans la réfraction; le plus souvent cependant on fait usage de prismes triangulaires proprement dits.

L'arête formée par l'intersection des deux faces réfringentes est appelée sommet en optique, et la partie opposée, quelle que soit sa forme, est la hase du prisme.

Nous étudierons seulement, comme on le fait ordinairement, des rayons lumineux incidents perpendiculaires à l'arête ; pour chacun d'eux le plan d'incidence est une section droite, c'est-à-dire que ce plan contiendra les normales aux deux faces et que le rayon y restera situé tout entier : les ligures qui se rapporteront à ce cas seront donc des figures planes. Dans le cas oii le rayon arriverait dans une direction quelconque, il faudrait avoir recours à la trigonométrie sphérique.

Bien que des circonstances différentes puissent se présenter, nous examinerons seulement le cas d'un prisme plus réfringent que le milieu dans lequel il est situé, et que nous supposerons le même avant la première face et après la deuxième .

Dans ces conditions, un rayon incident SI, (fig. 19) quelconque arrivant sur la face AB^ pénétrera toujours dans le prisme, quelle que soit sa direction ; il pourrait arriver que le rayon réfracté correspondant ne rencontrât pas la 2« face, alors il n'y aurait évidemment pas émergence : le rayon irait sortir par la partie opposée au sommet, sans avoir traversé le prisme considéré B^ABj. Mais, si le rayon réfracté rencontre la 2*^ face, il pourra arriver que l'angle d'incidence correspondant soit plus grand que l'angle limite : le rayon se

trouvant dans un milieu plus réfringent que le milieu suivant ne sortira pas, il subira la réllexion totale et sera renvoyé sur la partie opposée à la base, il ne traversera pas le prisme considéré B^AB^. Enfin, si le rayon réfracté IJ2 rencontre la 2« tace en faisant un angle d'incidence plus petit que l'angle limite, il sortira alors en s'écartant de la normale et, comme on le reconnaît aisément, il présentera une direction différente de celle du rayon incident, le rayon lumineux a

Fig, 19.

été dévié. On voit également que la déviation produit un effet toujours le même : le rayon, par son passage à travers le prisme, est dévié du côté de la hase, dans tous les cas. Il résulte évidÊmment de là que, si un observateur regarde un point lumineux à travers un prisme, et s'il peut le voir, le point lumineux paraîtra déplacé du côté du sommet.

35. On appelle déviation du rayon l'angle que fait la direction du rayon émergent avec celle du rayon incident; c'est l'existence de cette déviation qui rend les prismes utiles dans un grand nombre de circonstances, c'est elle dont il est important de déterminer la grandeur et les causes de variation.

On peut faire cette détermination à l'aide des formules ou à l'aide d'une construction géométrique.

Les données générales étant les mêmes que précédemment et en appelant a l'angle du prisme et S la déviation, on a immédiatement, d'une part:

sin i.

sin 1*2 sinrj

— ni smr^

D'autre part, la construction du triangle \C\^ donne : et le triangle I^DIg donne de mêir:e:

a = ?'l -h Zg.

On peut entre ces 4 équations éliminer r^, i^ etr^et déterminer par conséquent S en fonction de a, de m et de z\. Dans le cas général, la formule ne présente rien d'intéressant et la discussion, qui montre évidemment que la déviation dépend de a, m et i^, est longue: nous ne nous y arrêterons pas.

La question se simplifie beaucoup dans le cas, qui se présente fréquemment dans la pratique, où i^ est très-petit ainsi que a; tous les angles sont alors trèspetits et les formules de Descartes sont remplacées par les formules approxima-

tives — = m et ~ = —, L'élimination se fait très-rapidement et l'on arrive à:

Ti 7'2 m

C'est-à-dire que dans ce cas la déviation est indépendante de l'angle d'incidence, pourvu, bien entendu, que celui-ci reste petit.

36. La construction géométrique permet d'obtenir rapidement la valeur de la déviation et de faire la discussion. Soient le prisme B^ABa (fîg- 20) et Slj le rayon incident : du sommet comme centre, traçons les deux circonférences

précédemment employées et telles que le rapport -— , = m, et menons par A

la parallèle sA au rayon incident. Nous pouvons effectuer la construction générale, qui nous donnera en AH la direction réfractée dans le 2** milieu du rayon incident sA : si donc nous menons I^l^ parallèle à AH, nous aurons le rayon réfracté cherché. Considérons alors AH comme la direction d'un rayon tendant à sortir dans l'air à travers la surface ABj et effectuons la construction correspondante qui nous donnera la direction AK : le rayon émergent cherché sera donc JjPi parallèle à AK.

Il importe de remarquer que l'angle GAK est précisément la déviation ô et que, par suite, cette construction permet de l'étudier très-facilement ; d'autre part, l'angle GHK est égal toujours à l'angle du prisme, car ces angles ont leurs côtés perpendiculaires. On voit donc que pour faire la discussion relative à la déviation, il faut supposer l'angle GHK se déplaçant parallèlement à luimême, de manière que le point H décrive la circonférence extérieure : l'arc intercepté par ses côtés sur la circonférence intérieure donnera la mesure de la déviation correspondante, en même temps que la ligne analogue à AG donnera la direction du rayon incident.

On reconnaît bien aisément que ; 1° la déviation dépend de l'angle du prisme, augmentant avec celui-ci; le rayon AG étant invariable, si l'angle du prisme croît, le point K s'abaissera et par suite la déviation GAK croîtra également. On -voit également que, si cet angle est trop considérable, la normale HK ne rencontrera pas la circonférence intérieure, il n'y aura pas émergence, mais réflexions totale.

Fig. 20.

Fig. 21.

2" La déviation varie avec l'indice de réfraction de la substance qui constitue le prisme. Si cet indice augmente, le rayon AH croît, le rayon AG étant invariable; le point H est alors plus éloigné du centre et le point K se trouve abaissé; les conclusions sont les mêmes que précédemment.

5° Enfin, la déviation varie avec l'angle d'incidence. On voit en effet que, lorsque Fangle GHK prend successivement toutes les positions qu'il peut occuper, l'arc GK et par suite la déviation subissent des modifications de grandeur. Cet angle peut varier de la position extrême G^HiKi (fig. 21) à la position extrême GjHaKa ; entre ces limites l'arc GK croît d'abord pour diminuer ensuite; il en est de même de la déviation, qui passe dès lors par une valeur minima. On comprend aisément, par raison de symétrie, et on peut démontrer sans difficulté que la position de l'angle auxiliaire GHK qui correspond à ce minimum est celle qui est à moitié distance entre les positions limites ^ Dans ce cas, qui a une importance réelle, la ligne AH' est bissectrice de l'angle MV-^» ce qui revient à dire que dans le prisme le rayon réfracté IJ2 est perpendiculaire à la

* II importe de remarquer que ce qui, au fond, caractérise la position de l'angle GHK. c'est l'angle que font ses côtés avec le rayon AH ; il résulte de là que les variations de l'arc GK seront les mêmes, si l'on suppose que, le point H étant immobile, l'angle tourne autour de son sommet.

Soit G'H'K' (fig. 22) la position moyenne de cet angle, c'est-à-dire celle pour laquelle se&

DIOPTRIOUE.

bissectrice AK de l'angle du prisme; d'autre part, les angles d'incidence et d'émergence sont aussi égaux, et la figure toute entier est symétrique par rapport à cette bissectrice.

La valeur de la déviation minima entre dans une formule importante : les relations que nous avons indiquées précédemment donnent, lorsque l'on y introduit les conditions i^ = rg et r^ = i^ :

ô = 2 (il — r^) et

d'où

n = ô et

Appliquant la formule de Descartes à ces valeurs, il vient :

sm^

équation qui donnerait ô, connaissant a et m : plus souvent elle est utilisée pour déterminer m, les angles a et ô étant donnés par l'expérience. C'est la méthode la plus fréquemment employée pour la recherche des indices de réfraction.