NT
F\C,xC,F',
et N"F" =
On peut déduire de là diverses relations et notamment :
42. Connaissant les plans focaux et les points nodaux d'un système, définis comme nous venons de le dire, on peut résoudre toutes les questions relatives à la marche des rayons dans ce système. On peut, et c'est là le point essentiel, déterminer la position d'un rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque.
Soit SI (fig. 27) un rayon incident quelconque; nous pouvons le considérer comme
appartenant à un faisceau parallèle qui, après avoir traversé le système, sera transformé en un faisceau unique dont le sommet sera dans le plan focal F"; menons par le point nodal W un rayon parallèle au rayon incident SI, il a}»partiendra au même faisceau parallèle; mais on sait que, à l'émergence, il passera par N" et sera parallèle à sa direction incidente, on peut donc le tracer en N"ll,et le point où il rencontrera le plan focal F" sera le sommet du faisceau
Fig. 27.
conique cherché : donc le rayon émergent correspondant à SI devra passer par H.
Mais, d'autre part, on peut considérer le rayon incident comme faisant partie d'un faisceau conique dont le sommet serait dans le plan focal en I ; on sait que, à l'émergence, ce faisceau sera transformé en un faisceau parallèle. Si nous considérons maintenant un rayon passant par I et par N', il appartient au même faisceau conique, et nous savons que, à l'émergence, il donnera un rayon N"M passant par N" et parallèle à sa direction primitive. Le rayon émergent cherché correspondant à SI doit être parallèle à N"M ; nous avons dit déjà qu'il doit passer par H, donc il est complètement déterminé.
11 importe de remarquer que, pour la construction, il est inutile de tracer les lignes LN' et N"M ; il suffit de remarquer directement que N"I1 est parallèle au rayon incident et que le rayon émergent est parallèle à IN'.
Nous devons ajouter que la construction restera absolument la même, quelles que soient les positions relatives des plans focaux et des points nodaux, comme on le voit dans la figure 28.
Enfin, comme nous l'avons dit dans un autre cas, ces constructions donnent la direction du rayon émergent : elles n'apprennent rien sur la direction du rayon dans le second milieu;
cette direction que, en général, il est inutile de connaître, serait déterminée, si l'on connaissait la position des surfaces réfringentes, qu'il n'est pas nécessaire Je tracer, comme on le voit, puisque nous avons pu nous en passer ^
45. Nous allons démontrer maintenant que des conditions analogues se rencontrent dans un assemblage quelconque de surfaces centrées. Pour cela nous liions admettre un système de n surfaces présentant deux plans focaux et deux points nodaux définis comme nous venons de le dire, et nous allons démontrer que l'adjonction d'une nouvelle surface donnant naissance à une ?i + 1'? réfi\iction permet de déterminer les plans focaux et les points nodaux du nouveau système. Comme nous avons fait la démonstration pour deux surfaces, elle sera aussi vraie pour trois, puis pour quatre, et ainsi de suite, c'est-à-dire qu'elle sera générale.
Soit donc un système défini par ses plans focaux F' et F" (fig. 29) et ses points
K¥' V nodauxN'etN"entrelesquelsonalarelation j^77î=r,/= — ; nous plaçons à la suite
une surface réfringente définie par son centreC» + 1 et ses foyers F'„ ^ i et F"„ ^. ^ ;
Fig. 28.
' Il y a d'autres éléments encore que l'on pourrait déterminer et qui peuvent être utiles dans quelques cas, sans être cependant indispensables. Nous signalerons ainsi les plans principaux qui seront introduits ultérieurement d'une manière plus rationnelle que nous ne pourrions le faire ici.
Il y a également deux points que nous appellerons points nodaux inverses qui sont respectivement symétriques de N' et N" par rapport aux plans focaux correspondants. Ces points jouissent de la propriété que tout rayon incident qui passe par le premier N'j donne un rayon émergent qui passe par le second N''^ ; ces deux rayons font le même angle avec l'axe, mais d'un même côté de l'axe, c'est-à-dire qu'ils se rencontrent sur un phm médian 0 situé à mi-distance entre N'j et N",. CeUe propriété, qu'il est très facile de vérifier, peut-être utilisée pour construire le rayon émergent correspondant à un rayon incident donné.
nous savons d'ailleurs que l'on a
Cherchons ce que
CF" v,,^,
devient un rayon SI qui arrive horizontalement sur le système : nous savons que les n premières réfractions le font passer par F" et qu'il est parallèle à la ligne de direction IN' : il est donc absolument déterminé en F"H; on cherche alors ce que devient F"H en traversant la n + 1'^ surface, et la construction géné-
F'n + i rn + i Fn+i ' $'
Fig. 29.
raie nous donne pour rayon émergent la ligne J *". La comparaison de la figure ainsi obtenue et de la figure 24 montre que, aux lettres près, les constructions sont les mêmes à partir du 2<= plan focal F"^ ou F". On aura donc immédiatement par de simples changements de lettres :
Tpii r II ^/i + 1 ^ » 4- 1 ^^ ^n -(- 1 r n-+- l
^ n-^l^i' rv rv^ •
De même, si la lumière venait en sens contraire (fig. 30), on ferait une con-
jN-
Cn+i
struction inverse et la comparaison avec la figure 25 donnerait immédiatement :
, NT' X wr
**- F''F'„^, ' Cherchons à déterminer des points nodaux en employant la même construc-
Fn+J cn+i
Fig. 51.
tion que dans la figure 26, avec cette seule différence que les deux parallèles menées au début de la construction passent l'une par G^ + i (fig. 31) et l'autre
par N". Nous déterminerons des points v' et v" de la même façon, et les triangles semblables presque identi(|uement place's de l'une et l'autre figure nous donnent immédiatement par comparaison :
, , 'i.'N'(N^ï."+CP) „ „ CF"(N"*" -h CF') *' FV ^^ *' = W
Il y a donc bien des foyers et des points nodaux définis de la manière générale; il nous reste à chercher si les distances de ces points obéissent bien à la loi que nous avons trouvée pour deux surfaces et que nous avons admise, en la généralisant, pour n surfaces.
On a : v'f = v'<^' — f $' et v'Y = v'T" ~ -i^'T,
ce qui donne en réduisant :
n> ^^^^XGF- ^ „., CF"XNV' " ^ = F'4>" ^^ ' ^ = ~FV •
Le rapport de ces deux longueurs donne :
yf ^ 'f^N^ X CF^ ^v. Vu ^ Vq
Ce qui est bien la valeur admise pour le cas de n surfaces ; comme elle a été démoQtrée pour trois milieux et deux surfaces, elle est donc absolument générale. Ainsi donc, quel que soit le nombre des surfaces centrées, nous pourrons y considérer deux plans focaux et deux points nodaux qui serviront à construire le rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque d'après la règle que nous avons donnée ci-dessus. De plus, le rapport des distances du premier et du deuxième point nodal au plan focal correspondant est égal à l'indice de réfraction du dernier milieu (celui où se fait l'émergence) par rapport au premier (celui oiî arrive le rayon incident).
On voit, comme cas particulier, que, si les milieux extrêmes sont de même nature, ce rapport doit être égal à 1, c'est-à-dire que les distances de chaque point nodal au plan focal correspondant sont égales. C'est ce que l'on appelle alors la distance focale du système.
44. Les plans focaux et les points nodaux peuvent occuper les uns par rapport aux autres des positions très-variées; il est inutile d'examiner tous les cas, nous en examinerons deux seulement, correspondant l'un à un système convergent, l'autre à un système divergent.
45. Soit un système complexe formé par un nombre quelconque de surfaces sphériques centrées, séparant des milieux diversement réfringents et défini par ses plans focaux qui coupent en F' et F" l'axe principal XX' (ûg. 52 et 53) et par ses points nodaux N' et N". Considérons un objet lumineux ka formé d'une droite perpendiculaire à cette ligne, de telle sorte qu'elle sera complètement définie, si nous trouvons l'image du point A, extrémité de l'objet. Pour cela, il suffitdeconsidérerdeux rayons passant par A et de chercher ce qu'ils deviennent à l'émergence: on pourrait prendre deux rayons quelconques pour lesquels on opérerait comme il a été dit plus haut suivant la méthode générale; il est plus commode de choisir deux rayons particuliers dont ou puisse trouver directement le rayon
émergent correspondant. On choisira, par exemple, le rayon AI passant par le point A parallèlement à l'axe et qui, à l'émergence, passera par le point F" parallèlement à la ligne de direction IN', et le rayon AF' passant par le premier
Fk. 52.
foyer principal, rayon qui sortira parallèlement à l'axe en passant par le point J où le deuxième plan focal est percé par la ligne de direction parallèle à AF'. Ces deux rayons (ou leurs prolongements) se coupent en un point A' qui est l'image du point A; la droite k'a' est l'image de ka.
Il est facile de reconnaître l'avantage du choix de ces rayons comme lignes de construction, indépendamment même de la simplicité du tracé; d'abord,
Fig. 53.
quelle que soit la position de l'objet, le même rayon AI servira à l'incidence, puisque la grandeur de cet objet ne change pas, et par suite l'image A' de ce point sera toujours sur la droite F"A'; d'autre part, on a sur la figure les longueurs IF' et JF" qui sont respectivement égales l'une à l'objet et l'autre à l'image, ce qui facilite grandement la discussion.
46. Dans le cas général, avec les indications que nous avons données et qui sont suffisantes pour effectuer les constructions, on ne peut savoir d'une manière rigoureuse la limite où les objets et les images cessent d'être réels pour devenir virtuels ou inversement. C'est la première surface réfringente qui forme la limite pour les objets, et la dernière qui constitue la limite pour les images. Faute de connaître d'une manière générale la position de ces surfaces, il est impossible de donner aucune règle s'appliquant à tous les cas pour la nature des images.
Remarquons que lorsque, à partir d'une certaine position, l'objet se rapproche de la lentille, se déplaçant de la gauche vers la droite, la droite AF' se rapproche de la verticale ainsi que la droite N"J : le point J s'abaissera donc de plus en plus ainsi que le point A' qui, dès lors, se déplacera vers la droite, marchant ainsi dans le même sens que l'objet (règle absolument générale).
Les triangles semblables AaF' et ]N"F"J, d'une part, et IF'N' et A'a'F", d'autre part, donnent immédiatement :
ka ar
et
